《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰第一章课后习题答案

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《矩阵分析》(第3版)北京理工大学出版社,课后习题答案,整理出来的,比较实用。

第1章线性空间和线性变换（详解）

1-1证：用Eii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用

第j列元素与第j行第i列元素为Eij(ij,i1,2,,n1)表示n阶矩阵中除第i行，1外，其余元素全为0的矩阵.

n(n1)

个.不难证明Eii，Eij是线性无关的，2

n(n1)n(n1)

且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成

22

n(n1)

维线性空间.2

n(n1)

同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.

2

n(n1)

评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，只需找出

2

n(n1)n(n1)

个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即22

显然，Eii，Eij都是对称矩阵，Eii有可.

1-2解:令x11x22x33x44解出x1,x2,x3,x4即可.

1-3解：方法一设Ax1E1x2E2x3E3x4E4

即故

1211111110

xxxx1234

0311100000

12x1x2x3x4x1x203

于是

x1x2x3

x1

x1x2x3x41,x1x2x32

x1x20,x13

解之得

x13,x23,x32,x41

即A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,3,2,1).

T

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方法二应用同构的概念，R

22

是一个四维空间，并且可将矩阵A看做(1,2,0,3)T，

E1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有

111110003111021

01003110000102

1

000

300

00

11

因此A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,3,2,1)T.

1-4解：证：设k11k22k33k440

即

k1111k11201k11310k101411

k1k

2k3k4k1k2k3k1k3k4

kkk0

124于是

k1k2k3k40,k1k2k30k1k3k40,k1k2k40

解之得

k1k2k3k40

故α1,α2,α3,α4线性无关.设

abcdx11111x11201x111310x41x1x2x3x4x1x2x3x1x3x4

x

1x2x4于是

x1x2x3x40,x1x2x30x1x3x40,x1x2x40

解之得

x1bcd2a,x2ac

01

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x3ad,x4ab

x1,x2,x3,x4即为所求坐标.

1-5解：方法一（用线性空间理论计算）

1

3230p(x)12x1,x,x,x0

2

y1y

2321,x1,(x1),(x1)y

3y4

又由于

23

1,x1,(x1),(x1)

111122301,x,x,x001

000

1331

23

于是p(x)在基1,x1,(x1),(x1)下的坐标为

y11y02y30y40

3

11113

06123

01306

00122

1

方法二将p(x)12x根据幂级数公式按x1展开可得

p(x)12x3

p(1)p(1)

(x1)2(x1)32!3!

36(x1)6(x1)22(x1)3p(1)p(1)(x1)

23

因此p(x)在基1,x1,(x1),(x1)下的坐标为3,6,6,2.

T

评注：依照向量坐标定义计算，其次种方法比第一种方法更简单一些.

1-6解：①设

β1,β2,β3,β4α1,α2,α3,α4P

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将α1,α2,α3,α4与β1,β2,β3,β4代入上式得

2111

故过渡矩阵

03105321

6100

1106

1011

30010

1

10P01

11P

0012321232

②设

01102112

12

100

101

111122

5

42

9

52

11

82

056

336121

013

y11

y0

ξ(β1,β2,β3,β4)2

y31

0y4

将β1,β2,β3,β4坐标代入上式后整理得

y12y12y31y41

03105321

79

1

618

6027

111

303

227

评注：只需将αi,βi代入过渡矩阵的定义β1,β2,β3,β4α1,α2,α3,α4P计算出

P.

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1-7解：由于

span{α1,α2}span{β1,β2}span{α1,α2,β1,β2}

由于秩span{α1,α2,β1,β2}3，且α1,α2,β1是向量α1,α2,β1,β2的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为α1,α2,β1.

方法一设ξspan{α1,α2}span{β1,β2}，于是由交空间定义可知

11212111

k1k2k3k4011030117

解之得

k1l2,k24l2,l13l2(l2为任意数)

于是

ξk1α1k2α2l2[5,2,3,4]T(很显然ξl11l22)

所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T.方法二不难知

span{α1,α2}span{α1,α2},span{β1,β2}span{β1,β2}

其中α2[2,2,0,1],β2[

T

13

,2,1,0]T.又span{α1,α2}也是线性方程组3

x1x32x4

x2xx342

的解空间.span{β1,β2}是线性方程组

13xx32x41

3

2x3x4x2

的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组

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x32x4x1

x2x3x42

13

x13x32x4

2x3x4x2

的解空间，简单求出其基础解系为[5,2,3,4]T，所以交空间的维数为1，基为

[5,2,3,4]T.

评注：此题有几个知识点是很重要的.(1)span{α1,α2,,αn}的基底就是

α1,α2,,αn

的极大线性无关组.维数等于秩

{α1,α2,,αn}.(2)span{α1,α2}span{β1,β2}span{α1,α2,β1,β2}.(3)方法

一的思路，求交span{α1,α2}span{β1,β2}就是求向量ξ，既可由α1,α2线性表示，又可由β1,β2线性表示的那部分向量.(4)方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间〞，将此题已知条件改造为齐次线性方

程组来求解.

1-8解:

x12x2x3x40

(1):解出方程组的基础解系,即是V1的基,（Ⅰ）

5x10x6x4x02341

解出方程组（Ⅱ）x1x2x32x40的基础解系,即是V2的基;

x12x2x3x40

(2):解出方程组5x110x26x34x40的基础解系,即为V1V2的基;

xxx2x0

4123

(3):设V1span1,,k,V2span1,,l,则1,,k,1,,l的极大无关组即是V1V2的基.1-9解:仿上题解.

1-10解:仿上题解.

1-11证：设

l0ξl1A(ξ)l2A2(ξ)lk1A

k1

(ξ)0①

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用A

k1

从左侧成①式两端，由A

k

(ξ)0可得

l0A

由于A

k1

k1

(ξ)0

(ξ)0，所以l00，代入①可得

k1

l1A(ξ)l2A2(ξ)lk1A

用A

k2

(ξ)0②

从左侧乘②式两端，由A

k

(ξ)0可得l00，继续下去，可得(ξ)线性无关.

l2lk10，于是ξ,A(ξ),A2(ξ),,A

k1

1-12解：由1-11可知，n个向量ξ0,A(ξ),A

一个基.又由

2

(ξ),,A

n1

n1

(ξ)线性无关，它是V的

A[ξ,A(ξ),A2(ξ),,A[A(ξ),A2(ξ),,A[A(ξ),A2(ξ),,A

n1n1

(ξ)]

(ξ)](ξ),0]

000

000

100

000

010nn

010

[ξ,A(ξ),A2(ξ),,An1(ξ)]

00

所以A在ξ,A(ξ),A

2

(ξ),,A

01000

n1

(ξ)下矩阵表示为n阶矩阵

000000100

000

010

评注：n维线性空间V中任何一组n个线性无关的向量组都可以构成V的一个基，

因此ξ,A(ξ),A

1-13证:设1,,r,,s1,,mA,A1,,r,,s设1,,r是1,,r,,s的极大无关组，

2

(ξ),,A

n1

(ξ)是V的一个基.

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则可以证明1,,r是1,,r,,s的极大无关组.1-14解：(1)由题意知

A[α1,α2,α3][α1,α2,α3]A

111

[β1,β2,β3][α1,α2,α3]011

001

设A在基β1,β2,β3下的矩阵表示是B，则

1

BP1AP0

0232

11

1101443

1

123111103011215001468

(2)由于A0，故AX0只有零解，所以A的核是零空间.由维数定理可知

A的值域是线性空间R3.

1-15解:已知A

1,2,31,2,3A

1

(1)求得式1,2,31,2,3P中的过渡矩阵P,则BPAP即为所求;(2)仿教材例1.5.1.(见矩阵分析史荣昌编著.北京理工大学出版社.)

1-16解:

设A1,2,3,则R(A)span1,2,3;N(A)就是齐次方程组Ax0的解空间.1-17证:

由矩阵的乘法定义知AB与BA的主对角线上元素相等,故知AB与BA的迹相等;再由1-18题可证.1-18证:

对k用数学归纳法证。

1-19证：设A,则A

1-20证：设A,则A

2

2

2

2

,即=2,即=1或-1。

,即A=2,即=1或0。

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1-21解：设A,其中0，则A

111

1-22证：设BPAP,则E-BE-PAP=PEAPEA。

-1

1

。

1-23解：仿线性代数教材例题。

1-24证：若

10010000k1kkk2003104010

00

即

k1

k3k2

0k4

所以k1k2k3k40因此满足

k1E11k2E12k3E21k4E220

的k1,k2,k3,k4只能全为零，于是E11,E12,E21,E22线性无关.

1-25证：简单验证等式

α1α2α3=0

所以α1,α2,α3线性相关.

1-26证：先证：Rxn中的元素

1,x,x2,,xn1

是线性无关的.设

k01k1xk2x2kn1xn10

由于Rxn中x是变量，所以欲使上式对于任何x都成立的充分必要条件是

k0k1kn10

于是1,x,x,,x

2

n1

线性无关.

对于Rxn中任何一个向量（多项式）

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f(x)a0a1xa2x2an1xn1Rxn

均可由1,x,x2,,xn1线性表出，这说明：1,x,x2,,xn1是Rxn的基，于是Rxn

是n维的.

不难验证：1,xa,(xa)2,,(xa)n1也是Rxn的一组基.由于

f(a)f(n1)(a)2

f(x)f(a)f(a)(xa)(xa)(xa)n1

2!(n1)!

故f(x)在这组基下的坐标为

f(a)f(n1)(a)f(a),f(a),,,

2!(n1)!

1-27解：A的核空间就是Ax0的解空间，所以Ax0的基础解系就是核空间的基.对A

作初等行变换后得

10

12A

12

22

因此Ax0的解为

211

013

550

120

210000

1200

x12x3x4

3

x2x32x42

其中x3,x4为自由变量.不难知Ax0的基础解系可以取为

α1(4,3,2,0)T(4,3,2,0)Tα1

或TT

α2(1,2,0,1)α2(6,7,2,2)

它们都可以作为A的核空间的基，核空间是二维的.

1-28解：设α(1,2,1,1)在所给基α1,α2,α3,α4下的坐标为k1,k2,k3,k4，故

T

αk1α1k2α2k3α3+k4α4

即

(1,2,1,1)Tk1(1,1,1,1)Tk2(1,1,1,1)Tk3(1,1,1,1)Tk4(1,1,1,1)T

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(k1k2k3k4,k1k2k3k4,k1k2k3k4,k1k2k3k4)

于是有

k1k2k3k41kkkk21234

kkkk11234k1k2k3k41

解之得

5111

k1,k2,k3,k4

4444

5111T

所以α在所给基α1,α2,α3,α4下的坐标为(,,,).

4444

1-29解：设

1211111110

kkkk10111210301411

k1k2k3k4

k1k2k4

于是有

k1k2k3

k1k3k4

k1k2k3k41

kkk2123

kkk1412k3k40k1

解之得

k11,k21,k30,k41

所以A在已给基下的坐标为(1,1,0,1).

1-30解：由于

T

xa(a)11x

(xa)2(a)212ax1x2(xa)3(a)313a2x3ax2x3

(xa)n1(a)n11(n1)(a)n2x

故由1,x,x,,x

2

n1

2

(n1)(n2)

(a)n3x2xn1

2

n1

到1,xa,(xa),,(xa)

的过渡矩阵为

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1a(a)2(a)32023(a)3(a)

13(a)00

0000

1-31解：将矩阵α1,α2,α3,α4

(n1)(a)n2

(n1)(n2)n3

(a)

2

1

(a)n1

β1,β2,β3,β4作初等行变换得

α1,α2,α3,α4β1,β2,β3,β4

2

10102112122

11

030120

100001000011100011000111110

11112121

1110

0111

上式说明由基α1,α2,α3,α4到基β1,β2,β3,β4的关系为（为什么？）

11

(β1,β2,β3,β4)(α1,α2,α3,α4)

00

01100011

1110

所以由α1,α2,α3,α4到β1,β2,β3,β4的过渡矩阵为

1100

01100011

1110

设ξ=(x1,x2,x3,x4)T在β1,β2,β3,β4下的坐标为y1,y2,y3,y4，即

x1y1xy2

ξ(ε1,ε2,ε3,ε4)(β1,β2,β3,β4)2

x3y3x4y4

其中ε1(1,0,0,0),ε2(0,1,0,0),ε3(0,0,1,0),ε4(0,0,0,1)则

T

T

T

T

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x121x2

ξ(ε1,ε2,ε3,ε4)(β1,β2,β3,β4)

x30

1x4

于是

021y1

y1132

211y3

222y4

y12y21y30y41

021x1

x1132

211x3

222x4

6811681144xxx1313113213313x4131313

x

123912391x1x2x3x4

13131313x213131313

x327832783x1x2x3x4

13131313x41313131311826826x1x2x3x4

1313131313131313

1

1-32解：(1)由定理知

V1V2span{α1,α2,β1,β2}

α1,α2,β1是向量组α1,α2,β1β,的2极大无关组，故它是V1V2的基，

dim(V1V2)3.

(2)设αV1V2，即αV1且αV2，于是

αk1α1k2α2k3β1k4β2将α1,α2,β1,β2的坐标代入上式，解之得k10,k2于是

αk1α1k2α2k4(,,5,)所以V1V2的基为(,,5,)，维数为1.

52

k4,k3k433

55

33

53

T

553353

T

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又解交空间V1V2的向量实质上就是求在V2中向量k1β1k2β2也能由α1,α2线

性表示的这部分向量，即确定k1,k2使得

秩(α1,α2,k1β1,k2β2)秩(α1,α2)此即

15k15k212k13k203k12k2

00

2

于是3k12k20,k1k2

3

代入

214k1k21115k5k0

12

333k13k2011k1k20

2

k1β1k2β2k2(β1β2)

3

555T

k2(,,5,)

333

所以V1V2的基为(,,5,)，dim(V1V2)1.

55

3353

T

（Ⅰ）（Ⅱ）1-33解：方程组与的交空间就是这两个方程组的所有公共解所构成的空间，此

即方程组

3x4x50x1x2

xx2x4x01234

4x12x26x33x44x502x14x22x34x47x50

的解空间.简单求得该方程组的基础解系为(1,1,1,0,0),(12,0,5,2,6)，它就是所求V1V2的基，dim(V1V2)2.

T

T

（Ⅰ）1-34解：(1)不难看出α1,α2是线性齐次方程组

x32x1x2

（Ⅰ）

xx42

（Ⅰ）（Ⅱ）的基础解系，方程组的解空间为V1.而β1,β2是线性齐次方程组

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x22x13x4

（Ⅱ）

x33x4

（Ⅱ）的基础解系，方程组的解空间为V2.

（Ⅰ）（Ⅱ）交空间V1V2实质上是与公共解的空间，即方程组

x32x1x2

xx42

（Ⅲ）

x22x13x4x33x4

（Ⅲ）的解空间.不难求得方程组的基础解系为(1,1,3,1)，此即V1V2的基，

维数为1.

T

(2)

V1V2span{α1,α2,β1,β2}span{α1,α2,β1}

span{α1,α2,β2}span{α2,β1,β2}

所以dim(V1V2)3，基为α1,α2,β1.

1-35解：A(α1)(1,1,0)Tβ1β2,A(α2)(2,1,1)T2β1β2β3于是所求矩阵为

12

A11

0132

2nn1

1-36解：D(1)0，D(x)1，D(x)2x，，D(x)nx，于是所

求矩阵为

0010

0020D000nn(n1)

注对于线性映射D：R[x]n1R[x]nD(f(x))在基1,x,x,,x与基1,x,x,,x

2

n

2

n1

d

f(x)dx

下的矩阵表示为

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00D

00

1-37解：

100

020

00n000(n1)(n1)

xx1

S(1)dtx,S(x)tdtx2,

002x1

S(x2)t2dtx3,,

03S(x

n1

xn11)tdtxn

0n

于是所求矩阵为

010S

0

0000

1

0

2

10

n(n1)n

3

3

1-38解：(1)核子空间就是求XR满足A(x)0，由于XR.故

x1

,3)xX(α1,α2α2

x3

于是

x1x1

A(x)A(α1,α2,α3)x2(β1,β2)Ax2x3x3

所以所求X的坐标x1,x2,x3应是齐次方程组

x1

111

x20

012x

3

的解空间，求的它的基础解系为

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x13,x22,x31

因此核子空间N(A)的基是x1α1x2α2x3α33α12α2α3(5,4,4)T,dimN(A)1.

注：N(A)的基不是(3,2,1)T.而是3α12α2α3.为什么？N(A)的基是(3,2,1)T.(2)A的值域

R(A)span{A(α1),A(α2),A(α3)}

span{β1,β1β2,β12β2}span{β1,β1β2}span{β1,β2}R2

1-39解：(1)不难求得

A(α1)α1α1α2

A(α2)α2α1α2α3A(α3)α3