数学建模讲座(杨国增教授)

数学建模的思想方法

与

数学建模文章选讲

一.什么是数学?

二,什么是数学模型?

1.什么是数学模型?

2.数学模型的特点

3.数学模型的分类

4.什么是数学建模?

5.为什么要学习数学建模?

6.怎样学习数学建模?

三.数学建模竞赛

1.数学建模竞赛的特点

2.数学建模竞赛的技巧

3.数学建模主要参考资料

4.数学建模竞赛论文写作技巧

四.历年全国大学生数学建模竞赛试题选讲

1.复利和抵押贷款买房问题

2.易拉罐问题一一个想法改变了可

口可乐易拉罐的形状

3.2009高教社杯全国大学生数学建模

竞赛题目

C题卫星和飞船的跟踪测控

4.2008年全国大学生数学建模竞赛

D题：NBA赛程的分析与评价

一,什么是数学？

1、数学就是解题

数学家科利亚说过，什么是数学？数学

就是解题，就是把不熟悉的题型向熟悉的题

型转化。

2、数学是训练思维的体操

数学是由数学、字母、符号、图形构成

的一座迷宫。我们在数学中重视思维的训

练，思想和方法的潜移默化比知识的传授更

为重要。

3、数学是一种国际通用的科学语言。

数学是一种科学的语言。伽利略说过：

“宇宙这本书是用数学语言写成的。……除

非你首先学懂了它的语言，……这本书是无

法读懂的

4.数学是生活学习、科研的一个有力工具

数学是一个有力的工具，在人们的

日常生活及生产中随时发挥重要的作用。

5.数学是一切科学的基础。

数学是各门科学的基础。

6.数学是门科学。

数学不仅具有上述那些服务性功能，而

且特色鲜明，自成体系，本身是一门重要的

科学。

7.数学是一门技术。

数学的思想和方法与计算技术的结合的

确已经形成了技术，而且是一种关键性的、

可以实现的技术，称为“数学技术”。

8.数学是一种文化。

数学是一种先进的文化，是人类文明的

重要基础。在西方，数学作为一种文化、作

为一种文明的象征受到尊重，还是有悠久历

史的。

9、数学是哲学

数学中充满了哲学，许多数学家（比如

毕达哥拉斯）也是哲学家。或者说，许多哲

学观点在数学中找到了实证，得到了体现。

10、数学是艺术

数学中存在着美。对于有鉴赏能力的人

来说，对数学美的感悟可以震撼他的灵魂。

另外，还有“逻辑说”，“集合说”，“结

构说”，“活动说”，“构造说”，“符号

说”，“直觉说”，“精神说”等等

综上所述，对数学本质特征的认识是发展

的，变化的。用历史的、发展的观点来看待

数学的本质特征，数学可以这样定义：

“数学是研究现实世界中数与形之间各

种模型的一门计算性结构性科学”。

学好了数学这个重要的语言和工具，掌

握了数学这个重要基础，那就掌握了开启任

何科学技术之门的金钥匙。

二.什么是数学模型?

1.什么是数学模型?

什么是数学模型？为此，我们先看几个

全国大学生数学建模竞赛题:

2001年B题……公交车调度

2001年C题……基金使用计划

2002年A题……车灯线光源的优化设

计

2002年B题・・彩票中的数学

2003年A题・・SARS的传播

2003年B题,•露天矿生产的车辆安

排

2003年D题・・抢渡长江

2004年C题・・饮酒驾车

2004年B题••电力市场的输电阻塞

管理

2008年B题••高等教育学费标准探

讨

2008年D题……NBA赛程的分析与评价

2009年A题……制动器试验台的控制

方法分析

2009年B题……眼科病床的合理安排

2009年D题……会议筹备

从以上几道竞赛题的内容可以看出，既

有工程技术方面的问题，也有社会以及和我

们日常生活学习中有关的问题；既有医疗、

疾病传播等问题，也有我们所喜欢的体育运

动等方面的问题。总之一句活，几乎涉及所

有的问题。什么是数学模型,至今还没有一

个统一的说法。

但可以这样讲:

这就是对于现实世界的一个特定对象,

为了一个特定目的，根据特有的内在规律，

做出一些必要的简化假设，运用适当的数学

工具（如等式，不等式，图表，函数，方程,

方程组等）得到的一个数学结构式（如函数、

图形、代数方程、微分方程、积分方程、差

分方程等）。

也就是说，数学模型是通过抽象、简化

的过程，使用数学语言对实际现像的一个近

似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究

对像。

数学模型并不是新事物，它早就有之。

自从有了数学，也就有了数学模型。

2.数学模型的特点

模拟性创造性强键性计算复杂性

渐进性抽象性经济性可转移性非预测

性应用广泛性局限性

3.数学模型的分类

数学模型可以按照不同的方式分类，下面介

绍常用的几种.

1.按照模型的应用领域（或所属学科）分：如

人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、

城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用

模型、污染模型等.范畴更大一些则形成许

多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数

学、数量经济学、数学社会学等.

2.按照建立模型的数学方法（或所属数学分

支）分：如初等数学模型、几何模型、微分

方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论

模型等.

3.按照模型的表现特性又有几种分法：

确定性模型和随机性模型取决于是否

考虑随机因素的影响.近年来随着数学的发

展，又有所谓突变性模型和模糊性模型.

静态模型和动态模型取决于是否考虑

时间因素引起的变化.线性模型和非线性模

型取决于模型的基本关系.

离散模型和连续模型指模型中的变量

（主要是时间变量）取为离散还是连续的.

虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性

的、动态的、非线性的，但是由于确定性、

静态、线性模型容易处理，并且往往可以作

为初步的近似来解决问题，所以建模时常先

考虑确定性、静态、线性模型.连续模型便

于利用微积分方法求解，作理论分析，而离

散模型便于在计算机上作数值计算，所以用

哪种模型要看具体问题而定.在具体的建模

过程中将连续模型离散化，或将离散变量视

作连续，也是常采用的方法.

4.按照建模目的分：有描述模型、分析模型、

预报模型、优化模型、决策模型、控制模型

5.按照对模型结构的了解程度分：有所谓白

箱模型、灰箱模型、黑箱模型.这是把研究

对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模

来揭示它的奥妙.

4,什么是数学建模？

简而言之,建立数学模型的这个过程就

称为数学建模。数学建模是利用数学方法解

决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、

假设、引进变量等处理过程后，将实际问题

用数学方式表达，建立起数学模型，然后运

用先进的数学方法及计算机技术进行求解

验证并得到结论的全过程。（画出图表）

数学模型不同于其他学科，建立数学模

型没有固定的模式，通常它与实际问题的性

质、建模的目的等有关。当然，建模的过程

也有共性，一般说来大致可以分为以下几个

步骤：

1.形成问题

2.假设和简化

3.模型的构建

即尽量采用简单的数学工具。

4.检验和评价（模型求解前的检验）

数学模型能否反映原来的现实问题，必

须经受多种途径的检验。这里包括：（1）.数

学结构的正确性，即有没有逻辑上自相矛盾

的地方；（2）.适合求解，即是否有多解或无

解的情况出现；（3）.数学方法的可行性。评

价模型的根本标准是看它能否准确地反映

现实问题和解决现实问题（这点往往需要求

解后方能看出）。此外，是否容易求解也是

评价模型的一个重要标准。

5.模型的改进

6.模型的求解

数学建模的过程是一种创造性思维的

过程，对于实际工作者来说，除了需要具有

想象力、洞察力、判断力这些属于形象思维、

逻辑思维范畴的能力外，直觉和灵感往往不

可忽视，这就是人们对新事物的敏锐的领

悟、理解、推理和判断。它要求人们具有丰

富的知识，实惯用不同的思维方式对问题进

行艰苦探索和反复思考。这种能力的培养要

依靠长期的积累。

此外，用数学模型解决现际问题，还应

当注意两方面的情况。

一方面，对于不同的实际问题，通常会

使用不同的数学模型。但是，有的时候，同

一数学模型，往往可以用来解释表面上看来

毫不相关的实际问题。

另一方面，对于同一实际问题要求不

同，则构建的数学模型可能完全不同。

5.为什么要学习数学建模?

(1)、数学模型无处不在，我们的生活、工

作、学习都离不开它

例如：生活中的合理投资问题、银行的按揭

问题、养老保险问题、住房公积金问题、

新技术的传播问题、流言蜚语的传播问

题、流行性传染病的传播问题、语言学

中用词变化问题、人口的增长问题、.减

肥问题以及各种资源的管理问题等等。

(2)、是学好数学用好数学的必经之路

戴维(1972年曾任尼克松总统的科学顾问，

1966年入选美国工程院院士)在1984年说的

一段话：“…对数学研究的低水平的资助

只能来自对于数学研究带来的好处的完全

不妥的评价，显然，很少有人认识到当今被

如此称颂的‘高技术'本质上是数学技术。”

数学等于机会

数学建模的方法能使人们在解决复杂

的科学技术问题时设计出在最佳情势下可

行的新的技术手段，并且能预测新的现象.

(3)、是数学教学改革的重要手段和有效路

径

数学的教学，不仅要使学生学到许多重

要的数学概念、方法和结论，而且应该在传

授数学知识的同时，使他们学会数学的思想

方法，领会数学的精神实质，知道数学的来

龙去脉，在数学文化的熏陶中茁壮成长。

实践证明，数学建模教育和竞赛就是最

好的方法和最有效的途径。

(4)、数学建模竞赛所提唱的团队精神是现

代大学生必须具备素质

(5)、数学建模竞赛鼓励学生用跳跃式的、

发散式的形象思维方法，这有利于培养学生

的创新意识。

数学建模固然需要逻辑思维，但逻辑思

维有其局限性，主要是逻辑思维过分主张言

必有据，亦步亦趋，缺少浮想联翩的遐想。

(7)、数学建模是培养学生综合素质的好方

法好途径

数学建模的工作是综合性的，所需要的

知识和方法是综合性的，所研究的问题是综

合性的，所需要的能力当然也是综台性的。

(8)、数学模型可以培养学生理论联系实际

的能力

(9)、从应用的观点来看更重要的是预测和

控制所建模系统的行为的强有力的工具。

6.怎样学习数学建模？

数学建模方法

一、机理分析法从基本物理定律以及系统

的结构数据来推导出模型。

1.比例分析法一建立变量之间函数关系的

最基本最常用的方法。

2.代数方法一求解离散问题(离散的数据、

符号、图形)的主要方法。

3.逻辑方法一是数学理论研究的重要方

法，对社会学和经济学等领域的实际问题，

在决策，对策等学科中得到广泛应用。

4.常微分方程一解决两个变量之间的变化

规律，关键是建立〃瞬时变化率〃的表达式。

5.偏微分方程一解决因变量与两个以上自

变量之间的变化规律。

二、数据分析法从大量的观测数据利用统

计方法建立数学模型。

1.回归分析法一用于对函数f(x)的一组

观测值(xi.fi)i=1,2,…，n,确定函数的

表达式，由于处理的是静态的独立数据，故

称为数理统计方法。

2.时序分析法一处理的是动态的相关数

据，又称为过程统计方法。

3.回归分析法一用于对函数f(x)的一组

观测值(xi.fi)i=1,2,…，n,确定函数的

表达式，由于处理的是静态的独立数据，故

称为数理统计方法。

4.时序分析法一处理的是动态的相关数

据，又称为过程统计方法。

三、仿真和其他方法

1.计算机仿真(模拟)一实质上是统计估

计方法，等效于抽样试验。①离散系统仿

真一有一组状态变量。②连续系统仿真一

有解析表达式或系统结构图。

2.因子试验法一在系统上作局部试验，再

根据试验结果进行不断分析修改，求得所需

的模型结构。

3.人工现实法一基于对系统过去行为的了

解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统

有关因素的可能变化，人为地组成一个系

统。

(参见：齐欢《数学模型方法》，华中理工

大学出版社，1996)

三.数学建模竞赛

1.数学建模竞赛的特点

数学建模竞赛的特点我把它归结为灵

活、有趣、有用、影响大、培养人才十三个

字。

灵活表现在：

(1)内容形式灵活，比赛题目内容灵

活，可以是理、工、文、经济、社会、以及

军事等各种专业学科的学生。

(2).充分的开放性，数学建模竞赛不

同其他封闭式的比赛，它对所有的学员开

放，参赛的三个队员可以是任何专业的自由

结合，在比赛过程中三人可以互相讨论切

磋，可携带任何笔记、资料、杂志、图书，

以及上网查找资料。(但队与队之间不能进

行讨论，也不能与指导教师或其他老师讨

论。必须三个队员独立完成。)

(3).比赛的题目是来源于实际问题，

经过适当简化提炼而成。没有唯一的答案，

也没有标准答案，更没有现成的可供套用的

方法。

(4),论文的优劣主要看思想方法好不

好，有没有创新意识及论文是否清晰。是综

合的评判过程。论文要经过多个专家的考

评。

有趣表现在：

(1)竞赛题目内容有趣。。

(2)比赛气氛热烈，三个队员可以相互

切磋，讨论争论。

(3)结合实际应用有趣。

有用主要表现在：竞赛过程所学的知

识、思想方法(包括使用数学软件的方法，

查阅资料的方法及计算方法等)对今后的学

习工作都有用。

影响大：数学建模竞赛的规模是现有各

项比赛中规模最大，参赛学校和人数最多的

全国大学生课外科技活动。

培养人才：数学建模竞赛是培养优秀人

才的有效方法和途径这是已被实践证明了

的事实。

2.数学建模竞赛的技巧

1、合理组队（数学+计算机编程绘图

数学软件使用+文笔好）

2、时间合理高效安排

3、要注意审题，弄清题意；

4、站在巨人的肩膀上

全面高效率的搜索相关书籍和文章（一

般考题都有相关资料）

5、第一印象是成功的一半（要写好论

文的摘要）；

6、注意论文语言的准确性、专业性和

简练性及策略性。

7、建模贵在创新性和建模思想过程的

完整性

8.建模竞赛中不回避失误，但它重考查

参赛者是否掌握建模思想，是否有创新的闪

光点，所以在竞赛中我们应该提出合理的假

设，然后通过建立严格的数学模型对其进行

合理验证。

9、注意建模方法的简洁性多样性

数学建模大赛的宗旨是培养大学生解

决实际问题的能力，因此在比赛中大家应注

意从简单到实际的思维模式。

10、建模论文的标准化和高规格化

文中指明参考文献出处细到具体页码

文后一定要带上计算程序

11.团结就是力量！(团结和谐协作有利

于创造性的发挥)

3.数学建模主要参考资料

1、数学模型相关软件工具：

matIab,Iingo,Iindo,mathmatic,mapIe,

spss等

2、数学基础：

高等数学，概率统计，线性代数，离散数学,

微分方程，运筹学，图论与网络流，

3.数学建模的十大算法

(1)、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性

模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的

算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模

型的正确性，是比赛时必用的方法)

(2)、数据拟合、参数估计、插值等数据

处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需

要处理，而处理数据的关键就在于这些算

法，通常使用Matlab作为工具）

（3）、线性规划、整数规划、多元规划、

二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问

题属于最优化问题，很多时候这些问题可以

用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、

Ling。软件实现）

（4）、图论算法（这类算法可以分为很多

种，包括最短路、网络流、二分图等算法，

涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需

要认真准备）

（5）、动态规划、回溯搜索、分治算法、

分支定界等计算机算法（这些算法是算法设

计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞

赛中）

（6）、最优化理论的三大非经典算法：模

拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题

是用来解决一些较困难的最优化问题的算

法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的

实现比较困难，需慎重使用）

（7）、网格算法和穷举法（网格算法和穷

举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞

赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视

算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好

使用一些高级语言作为编程工具）

（8）、一些连续离散化方法（很多问题都

是实际来的，数据可以是连续的，而计算机

只认的是离散的数据，因此将其离散化后进

行差分代替微分、求和代替积分等思想是非

常重要的）

（9）、数值分析算法（如果在比赛中采用

高级语言进行编程的话，那一些数值分析中

常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函

数积分等算法就需要额外编写库函数进行

调用）

（10）、图象处理算法（赛题中有一类问题

与图形有关，即使与图形无关，论文中也应

该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如

何处理就是需要解决的问题，通常使用

MatIab进行处理）

4.常用网站：

;;

5.其他主要算法：Floyd算法、分治算法、

概率算法、模拟退火算法、神经网络、搜索

算法、贪婪算法、遗传算法、组合算法、蒙

特卡罗算法、数据拟合、参数估计、插值等

数据处理算法、线性规划、整数规划、多元

规划、二次规划等规划类问题、图论算法、

动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界

等计算机算法、模拟退火法、神经网络、遗

传算法、网格算法和穷举法

4.数学建模竞赛论文写作技巧

写好数模答卷的重要性

1.评定参赛队的成绩好坏、高低，获奖级

别，

数模答卷，是唯一依据。

2.答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面

形式。

3.写好答卷的训练，是科技写作的一种

基本训练。

二、答卷的基本内容，需要重视的问题

评阅原则：假设的合理性，

建模的创造性，

结果的合理性，

表述的清晰程度。

三.如何写作数学建模竞赛论文

(1).论文格式

论文的封面：

题目-----------------

参赛队员：XXXXXXXXX

指导教师：--------

单位：----------------

论文的第一页是摘要，第二页开始是论

文的正文，论文要有以下几方面的内容：

一.问题的提出

二.问题的分析

三.模型的假设

四.模型的建立

五.模型的求解

六.模型的检验

七.模型的修正

八.模型的评估

九.附录

以上各部分内容应该都是要具备的，但

有些步骤可以合并在一起。例如：问题的提

出与问题的分析，模型的假设与模型的建

立，模型的检验与模型的修正等。下面就每

一步以及建模过程中应注意的几个问题作

一简要介绍。

1.选题：赛题一般有两道，我们可以

从中任选一道，这就面临选哪道题合适的问

题。因此，首先必要弄清题目的意义。数学

建模的题目有时很长，有时很复杂。不易弄

懂它的意义，一般要用几个钟头的时间才能

弄清楚它的含义。因此我们要求：

(1).深刻理解题意

(2).弄清题目的实际背景

(3)正确选择题目，根据自身的特长和

优势作出决定。要注意不要被题目的繁长的

叙述吓住。

2.问题的分析：当选定题目后，接下

来就应该是对题目进行进一步的分析。下面

的几项工作是必需要做的：

(1).在弄清问题的背景下，说清事情

的来龙去脉。

(2).列出必要的数据，题目所给的数

据往往是不够的，还要寻找题目以外的数

据。

(3),列出和题目相关的各种条件和变

量，分清各变量之间的主从关系。

(4).给出研究对象的关键信息内容。

3.问题的假设：在分析问题的基础上,

提出合理的假设

模型是在假设的前提下建立起来的。对

情景的说明不可能也不必要提供问题的每

一个细节。由题目所提供的假设来建立数学

模型还是不够的，还要补充一些假设。假设

是建立数学模型很关键的一步，关系到模型

的成败和优劣。所以应该仔细地分析实际问

题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本

质的变量，并简化它们的关系。这部分内容

就应该在论文的问题的假设部分中体现。由

于假设不是实际问题直接提供的，它因人而

异，所以，在撰写这部分内容时要注意以下

几个方面：

(1).论文中的假设要以严格、确切的

数学语言来表达，使读者不致产生任何曲

解。

(2).所提出的假设确实是建立数学模

型所必需的，与建立数学模型无关的假设只

会扰乱读者的思考

(3)假设应该是合理的；怎样的假设才

是合理的呢？

A、假设应合乎生活常识。

B、假设不能与已知的科学定律相悖。

C、假设必需是对建模有用的。

D、尽量使用数学的语言。

E、假设不要超出题目要求的范围。

4.模型的建立

在假设的基础上下一步当然就是模型

的建立。在建立模型之前要引变量及其记

号。每个字母所表达的确切含义。经过抽象,

确切表达各变量之间的关系，用一定的数学

方法，建立起方程式或归纳为其它形式的数

学关系式，如图形、表格等。在建模过程中

要注意以下几个问题：

(1).要用分析和论证的方法，让读者

清楚地了解到建模的过程。

(2),上下文之间切忌逻辑推理过程中

跃度过大，影响论文的说服力。

(3).需要推理和论证的地方，应该有

推导过程且应该力求严谨。引用现成定理

时，要先验证满足定理的条件。论文中用到

的各种数学符号，必须在第一次出现时加以

说明。

5.模型的求解

把实际问题归结为一定的数学问题后，

就要求解或进行分析，数学模型的求解多数

是数值求解。在求解时应对计算方法有所说

明。使用何种数学软件，给出计算程序(通

常以附录形式给出)。有时还用图形或表格

形式表示出计算结果。有些模型还要作稳定

性或灵敏度分折。

6.模型的检验

数学模型未必都是正确的，这就需要检

验，如何检验：

(1).检验是否符合生活常识；

(2).用己给的数据检验；

(3).用分析推理检验。

7.模型的评估

(1),模型的优缺点，对自已建立的模

型要有正确的评价，既要实事求是，不要过

分谦虚，也不要过分善张。

(2).模型的推广，模型的适用范围。

对所作的模型，可以作多方面的讨论，

例如可以就不同的情景，探索模型将如何变

化；也可以根据实际情况，改变文章中的某

些假设，指出由此引起数学模型的变化。还

可以用不同的数值方法进行计算，并比较所

得结果。甚至可以拓广思路，考虑由于建模

方法的不同选择而引起的变化。

8.论文写作中语言表述应注意的问

题。

语言是构成论文的基本元素，数学模型

论文的语言与其他科学论文的语言一样，要

求达意、精炼，不要把一个句子写得太长，

使人不甚辛读。语言中应多用客观陈述句，

切忌使用你、我、他等代名词和带主观意向

的语句。要特别注意以下几点：

(1).语言要简炼清晰，不要用含糊不

清、莫临两可的语言。

(2).不要随意造句。

(3)..不要用倒装句

(4).要通俗易懂

9.如何写论文摘要

竞赛论文要求写论文摘要，摘要放在论

文写完最后写。摘要不是提纲，摘要应把论

文的主要思想方法、结论和模型的特色讲清

楚。让人看到论文的新意。摘要是给读者和

评阅专家的第一印象，直接影响到能否获奖

的重要因素。从98年开始，由于参赛规模

的不断扩大，为了节省阅卷时间和质量，规

定论文摘要写祥细一些，即评阅论文时，先

看摘要，如果看了你论文的摘要，认为这

篇文章不值得参加评奖，则就被打掉。因此

希望大家要十分重视论文摘要的写作。

最后论文要用计算机打印出来，装订好

连同电子版上缴，论文一律用A4打印。

附两篇论文的摘要供参考

NBA赛程的分析与评价摘要

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之

一，而一个完整、对各球队尽可能公平的赛

程是一件非常重要的事情。在本题中，我们

通过建立数学模型对2008-2009新赛季常规

赛的赛程安排进行了定量的分析与评价。

在问题一中，为了分析赛程对某一支球

队的利弊，我们考虑到下列因素：（1）：比

赛时间间隔的均匀度：由于比赛时间是一定

的，每一支球队所要打比赛的总场数也是一

定的。比赛分配越均匀，球员才有足够的时

间来休息调整，而如果连续的打比赛或连续

休息都不是好的选择。（2）计算“背靠背”

的个数：连续两天打比赛是对球员极大的挑

战，球员体能将有极大的消耗。（3）连续地

遭遇强手：这样也会严重消耗球员的体能，

使球队处于疲劳状态，影响下面的比赛。（4）

连续的客场比赛。

而对以上四个因素的衡量，我们分别用

（a）方差衡量时间间隔的均匀度：

加一19

,=\一，并在Matlab中实现（见附录

2）；（b）在Matlab中编程计算出各球队“背

靠背”总数s来衡量此因素（见附录3）；（c）

用连续函数来衡量连续遭遇强队的指标：

h/1\乂力-1

%=?-［之（见附录4）；（d）同样用连续

、&T

函数表示连续的客场之旅：k（11（见

4=1'乙）

附录5）。最后我们用层次分析法，通过分

析、计算及一致性检验给出四个因素的一个

合理性数量指标，分别为：0.290771

0.3056940.200367

0.203168,并且将这些因素转化为数学

公式:

Y；=Z,xA.x10+z2xB.4-10+z3xCj+z4xD.

在问题二中，我们根据第一问的计算结

果对30个队进行利弊的总排序，顺序见表

(8),从而找出赛程对魔术队最有利，对森

林狼队最不利，并可以分析出此次赛程的安

排对姚明所在的火箭队也不利。

对于问题三，我们通过对04—05,05

—06…，08—09五年中，各球队的赛程安排

进行分析，发现了NBA联盟对同部异区打三

场或是四场比赛的安排是采取以五年为一

个周期的特定模式来循环进行的，我们通过

“钟盘”模型加以实现；同时我们另外给出

了一种编排方法，得到的结果比NBA的实际

编排结果均衡性更好、也易于实现。

关键词：综合评价模型层次分析法

方差矩阵变换

B题高等教育学费标准探讨

【摘要】

本文探讨了高等教育学费标准高低对

社会的影响，从培养质量、收益、教育成本、

支付能力与入学率等几方面入手，构建了学

费制定加权模型，举例计算得到几类有代表

性的专业的具体学费，并进一步讨论了确定

助学金发放对象及具体金额的方法。

论文第一步按照教育部教学评价优秀

标准对学校教育质量指标量化，考虑教育成

本，从整体上构建学校学费的最低标准计算

模型。

通过分析我国财政指标、人民生活水

平指标相关数据，可得支付能力和个人、社

会收益与学费的关系的一些结论，在这些结

论和最低标准计算模型的基础上进一步建

立完整学费计算模型。

所建学费计算模型学费分为两个部分：

个人收益学费和支付能力学费。其中利益获

得学费与所在专业的个人收益获得率和专

业的生均成本有关，支付能力学费与我国国

民经济水平有关，进而有区别的建立了不同

专业学费的普遍加权模型和某家庭实际可

以承受的学费具体模型，给出了确定某专业

学费的具体步骤，这是论文的核心。

在模型计算中，首先根据全国统计数据

确定了模型中的加权系数&，夕，得到了计算

特定专业学费具体的经验公式，并对其方法

进行了单因素方差分析，证实了这样计算的

合理性；然后再有选择的计算出了一些学科

专业的学费标准（见表6）。

在计算所得学费基础上说明了助学金

的必要性，进一步拓展模型，按照不同收入

人群分类计算应补助学费金额，并设立公平

度指标，讨论了给谁发放助组学金和最终发

放金额。

模型的验证尝试新的思路，借鉴蚁群和

蒙特卡罗算法的一些思想，从微观到宏观验

证模型。通过定义个体行为，设定意愿度指

标，用matlab编程，以计算机仿真的形式

试验，用统计学观点说明学费是否合理。这

是本文的亮点之一。

讨论了模型的优缺点后，本文提出了问

题拓展的几点思路，一是综合考虑各种因

素，量化指标，给出建立优化模型，直接计

算学费的思路；二是讨论了文章前一部份没

有考虑的各种因素对学费的影响，以及加入

这些因素后建模的思路。

文末以报告的形式给出了关于学费制

定标准的一些研究结论和建议(附录5)。

关键词：学费标准培养质量生均

培养成本加权模型

四.数学建模文章格式模版

题目：明确题目意思

一、摘要：500个字左右，包括模型的主要

特点、建模方法和主要结果

二、关键字：3—5个

三.问题重述。略

四.模型假设

根据全国组委会确定的评阅原则，基

本假设的合理性很重要。

(1)根据题目中条件作出假设

(2)根据题目中要求作出假设

关键性假设不能缺；假设要切合题意

五.模型的建立

(1)基本模型：

1）首先要有数学模型：数学

公式、方案等

2）基本模型，要求完整，

正确，简明

（2）简化模型

1）要明确说明：简化思想，依

据

2）简化后模型，尽可能完整给

出

（3）模型要实用，有效，以解决问题

有效为原则。

数学建模面临的、要解决

的是实际问题，

不追求数学上：高（级）、

深（刻）、难（度大）。

u能用初等方法解决的、就不用

高级方法，

u能用简单方法解决的，就不用

复杂方法，

U能用被更多人看懂、理解的方

法，就不用只能少数人看懂、理解的方法。

（4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞

标新立异

数模创新可出现在

▲建模中，模型本身，简化的好方法、

好策略等，

▲模型求解中

▲结果表示、分析、检验，模型检验

▲推广部分

（5）在问题分析推导过程中，需要注意

的问题：

u分析：中肯、确切

u术语：专业、内行；；

u原理、依据：正确、明确，

U表述：简明，关键步骤要列出

U忌:外行话，专业术语不明确，

表述混乱，冗长。

六.模型求解

（1）需要建立数学命题时：

命题叙述要符合数学命题的表述规范，

尽可能论证严密。

（2）需要说明计算方法或算法的原理、

思想、依据、步骤。

若采用现有软件，说明采用此软件的理由，

软件名称

(3)计算过程，中间结果可要可不要

的，不要列出。

(4)设法算出合理的数值结果。

七、结果分析、检验；模型检验及模型修

正；结果表示

(1)最终数值结果的正确性或合理性

是第一位的；

(2)对数值结果或模拟结果进行必要

的检验。

结果不正确、不合理、或误差大时，分析原

因，

对算法、计算方法、或模型进行修正、改进;

(3)题目中要求回答的问题，数值结

果，结论，须一一列出；

(4)列数据问题：考虑是否需要列出

多组数据，或额外数据

对数据进行比较、分析，为各种方案的提出

提供依据；

(5)结果表示：要集中，一目了然，

直观，便于比较分析

▲数值结果表示：精心设计表格；可能

的话，用图形图表形式

▲求解方案，用图示更好

(6)必要时对问题解答，作定性或规

律性的讨论。

最后结论要明确。

八.模型评价

优点突出，缺点不回避。

改变原题要求，重新建模可在此做。

推广或改进方向时，不要玩弄新数学

术语。

九、参考文献.

十、附录

详细的结果，详细的数据表格，可在此

列出。

但不要错，错的宁可不列。

主要结果数据，应在正文中列出，不怕

重复。

检查答卷的主要三点，把三关：

n模型的正确性、合理性、创新性

n结果的正确性、合理性

n文字表述清晰，分析精辟，摘要精

彩

四.历年全国大学生数学建模竞赛试题选讲

例1买房贷款问题

设某人买房因资金不足需向银行贷款p元，年利率为r%,计划办理〃年银

行按揭，问每个月末应向银行存款多少钱？即每月等额应还银行多少钱？

设每月还款4元，由现值公式可知：

A

第一期还款4元的折现值为上一,其中/为月利率=「/12

1+i

A

第=期还款A元的折现值为

(1+0

A

第n期还款4元的折现值为一一

所以，

故A=P

1-(1+。"

上术公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式(已知严求1)。

例2物体冷却过程的数学模型

将某物体放置于空气中，在时刻片o时，测量得它的温度为〃()=15O()C,

io分钟后测量得温度为%=1OO()C,试求决定此物体的温度"和时间z的关

系。并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为“a=240C

解：为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律：例如：热量

总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内(其中包括了

上述问题的温度在内)，一个物体的温度变化速度与这物体的温度和其所在介质

温度的差值成正比例。这是己为实验证明了的牛顿冷却定规。

/、du

设物体在时刻t的温度为«=«V),则温度的变化速度为—.注意到热

量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而所以温差

W-4〃恒正；又因为物体的温度将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度一恒

dt

负，因此由牛顿冷却定律得到

牛二-《("以).....(1)

at

这里A>0是比例常数。方程⑴就是物体冷却过程的数学模型。

为了确定物体温度u和时间，的关系，我们要从方程⑴中解出//o注意到

%是常数，且M->0,可将上式改写成

d(u-u),

———Un=-Kdt

u-ua

ln(w-wa)="Kt+ct

Kt+CKl

u-ua=e'=ce

K,

即〃=ut+ce

根据初始条件：传加上式解

C="0-%

K,

于是,〃=ua+Go-ua)e

又根据条件：当t=io时，“=%.代入上式得

%=4+(%-4,)e")K

O1iM0-Ua

K=—In-------

10%-ua

用时A得隹％=100,露=24,

150-24

K——In—In1.660.051

10100-2410

从而,〃=24+126e005k

这就是冷却该物体温度〃随时间f的变化规律。用420代人得

u»24°c

同时由上式可知，当时,u24°c

事实上，经过二小时后，即当片120时〃》24.3°c,当片180时（三小时）

u»24.0l°c,这时一般的测量仪器已测不出它和空气温度的差别，我们可

以认为这时冷却过程已基本结束。以上两个例子，一个是我们日常生活中的实际,

一个是物理现象。都是我们所熟悉的。

两个例子

数学建模最关键的是：合理假设，数学问题，解释验证

1.复利和抵押贷款买房问题

复利

4=4(1+〃)”

4

A)=

(l+rf

/、i/〃

r—-1

IA)J

ln[1+r]

应用实例一位使用工商银行国际信用卡的张姓用户，2004年12月用工商银行

的信用卡，刷卡消费39771.52元，由于记错了还款额，他在还款日期（2005年1

月25日）到期之前，分多次共计还款39771.28元，少还了0.24元（事后才发现）.

但就是这区区0.24元，工商银行在他1月份的摩单里记裱两笔共计853元的利息.

张先生从网上查到裱单后，立即致电工商银行95588,得到的答复是最新的国

际信用卡章程已将原来只对逾期没有还的欠款部分收取利息改为对消费款全部

从消费发生日起收取每日万分之五的利息.

我们先不说张先生是否及时知道新的章程，这种收费是否合理.这里，我

们只问一个问题：工商银行按多少天来收的利息？

解已知&=39771.52

4n二39771.28+853=40624.52,r=O.OOO5

^ln[A/Al

由（3.i-2）中的=—ln[l+r]，代入计算得n42.46

天.

在①pp.27-33"第二节数列极限的定义”中强调等比数列，特别是在p.31

的例3中，加上最重要的几何（等比）级数部分和的求和公式

Sn=1+q+q2+q3H-----q"i=--------,q>0

i-q

的内容，然后提出下面的问题：

例1.在“文曲星”电子词典（或类似的电子词典）中，打开其目录，在“计算”

目录下有一项“贷款计算”，打开后有下列显示：

贷款金额200,000

贷款年数20

年利率册）6.39%=0.0639

（月利率=6.39/12=0.5325%）

如果是上述输入，则会见到如下“计算结果”

每月应付款数（记为x）1478.22

总还款额354,773.41

总利息154,773.41

问题：用数学建模的方法来回答：这是怎么算出来的.

假设：月等额还款

提示:借款模型是按月利率，按月计算的。

用符号表示，设一开始的贷款金额记为%(=200,000)

贷款年数记为N（=240月），

年利率记为R=0.0639,

月利率记为r=M2=0.005325

确定变量以及变量之间的关系，即数学模型的建立：这个月（记为第〃个月）尚

欠银行的款数记为Ai,上个月（记为第n-1个月）结余欠款记为4-1加上

利息记为A?-l（1+r）

,减去这个月的还款x,还欠

Ai（l+r）r.

所以数学模型为：这个月的欠款等于上个月欠款加上利息，再减去这个月的

（等额）还款；一开始的借（欠）款已知；20年必须还清.用数学语言表示，即数

学模型为：

4=A〃_i（l+r）-xn=1,2,3,…,N

<A）已知

A=o

N=240,A240=°表示20年=240个月还清贷款.

求解这个数学模型只需栗用到等比级数部分和的求和公式.

解：

4=&(1+r)-x

—Aj(1+r)-x

=[—(I+r)-x](l+r)-x

=4(1+厅-x[l+(l+r)]

4—A2(1+r)-x

={4(l+r)2-x[l+(l+r)]}(l+r)-x

2

=4(1+厂>一%[1+(1+r)+(1+r)-

容易观察出规律，并用数学归纳法证明，对于任何A有

A“=4(l+r)〃-x[l+(l+r)+(l+r)2+_+(i+r)〃T-

由等比级数部分和的求和公式(1+厂=y)

/-l=()；-l)(l+y+/+...+/-1),H>l,y>l

于是有

人人,1、〃(1+r)〃一1、〃(1+rf-l

A,=4(1+厂)〃-x--=4(1+ry-x^-

(1+r)-1r

由于AN—°,所以

(l+r)N_]

验证“文曲星”电子词典显示的结果是否正确.

不算出数值，怎么让人相信？但是，手算是不现实的，这就涉及到在教学中要

不要(允许不允许)使用计算器和计算机及相应的数学软件这个不可回避的问题

(实际上也是不应该回避的问题).

我认为，做课外作业应该允许，考试不允许.

到底应该怎么做，值得认真研究，但这不是今天在这里要讨论的问题.

不过，我们必须及时关注于2009年5月18日由WolframResearch(沃尔弗

拉姆研究)公司正式推出(发行)的一个基于Mathematica数学软件和ANewKind

ofScience(一种新科学，厚达1280页，缩写为NKS)名为Wolfram|Alpha的新

的计算型知识(搜索)引擎(Computationalknowledgeengine)以及它将对科学

研究和教育产生的影响.

WolframiAlpha的作者StephenWolfram(1959,8,29-,1979年在加

州理工学院(CIT)获理论物理学博士学位，1988年他推出了强大的计算机软件

Mathematica),他最近撰文表示：“(Wolfram|Alpha的)用户所要做的就是用自

然的语言问问题，而搜索引擎则能准确进行回答.我很高兴地宣布，通过综合使

用多种启发性的算法(algorithmsandheuristics)和语法发现(linguistic

discovery),我们很可能取得了一些重要的理论突破，并能实际上使其运转.我

们将最终形成一个网站：通过这个网站，只票简单输入

问题，我们就可以接入到一个巨大的系统，这个系统是拥有极其庞大信息量的

数据库.”

关于它将对数学教育产生的影响，例如，可以看，由JeffreyR.Young写的发

表在2009年6月12日ChronicleofHigherEducation(高等教育记事)上的文

章"ACalculatingWebSiteCouldIgniteaNewCampus'MathWar*(计

算搜索网站可能会点燃新一轮的‘数学战争‘)”.

用Mathematica数学软件的输入和输出

输入：

Clear[r,n,N,x\

x[rnA)」=

(1+r)n-1

4=200000;n=N=240;r=0.005325;

x[r,N,4]

榆出：1478.22

更多的应用可参考[1]:《大学生数学建模竞赛辅导教材(五)》第3章，叶其孝

主编，湖南教育出版社，2008.

模型的变形：口]p.33,(3.1-4)(3.1-9),

4个变量中知道任何3个就可以求出另一个.

Y

(3.1-4)

A/(l+r)"

(l+r)H-l(3.1-6)

ln[

x-Aor

n二

ln(l+r)(3.1-7)

或

log[^―]

x-Ar

n(]=--------------

log(l+r)(3.1-

7)*

x[(l+r)〃-1]

r(l+r)H(3.1-8)

为求A〃二°的厂，需要求解下面的代数方程式

4(1+r)向一(4+x)(l+/)〃+x=0

例2.根据报道，乔先生向银行贷了22万元，贷款期限是2003年9月-2013

年9月共120期，采用等额本息还款法，月供2338元.目前，已还16期，还

剩104期，贷款余额为198155元，

乔先生手头正好有5万元可用，因此提出申请提前还款5万元.如果提前

还款5万元.得到批准，乔先生又想保持贷款期限不变，即再继续105期，那

么按照新的利率6.12%他的月还款是多少？

解：该报道中没有说月利率r为多少，因此我们首先要求工

因为4=220000,〃=120,X=2338.解方程(3.1-9),即解

220000(1+r)120+1-(220000+2338)(1+r)120+2338=0

我们可以利用Mathematica数学软件来求解.首先定义(3.1-9)右端的函数

如下

Clear[aO,f,n,r,x]

f[aO_,n_,x_,r-]:=aO(1+r)A(n+l)-(aO+x)(l+r)An+x

也可以单击“File”菜单，把光标移到“Palettes”选项，在弹出的子菜单中

再单击“BasicCalculation”项，按屏幕上出现的基本命令选择窗口，可以直

接输入以下数学公式的形式

£aO,n,*,r:aO1rp1aOx1rnx

f[aO,n,x,r]

4(l+r)〃+i—(Qo+x)(l+r)"+x

然后给已知的aO,n,x赋值，并画图.根据我们对利息的了解，r的变化范围

为一定大于0,小于0.2.

a0=220000;n=120;x=2338;

Plot[f[aO,n,x,r],{r,0,0.02},AxesLabel{r,f}]

可见，的零点大约在0.005附近。我们可以再精细一点画图看得更清楚一点，r

的变化范围为{0.004,0.005},画图如下

Plot[f[aO,n,x,r],{r,0.004,0.005},AxesLabel->{r,f)]

因此，我们可以用0.0042作为初值，求f的零点

FindRoot[f[aO,n,x,r]=0,{r,0.0042}]

{r->0.00420197）

注意，利用FindRoot语句，初值确定的好坏是很重要的，所以上述做法的步骤

是彳艮有效的.

思考题：能否用Solve[f[a0,n,r,x]=0,r]或NSolve[f[aO,n,r,x]

==0,r]来求r.进行比较，哪个更好些，或者说它们各自的优点是什么？

r«0.00420197,或者r«0.004202,年利率为0.050424.再由（3.1-4）,

分别令&=16和k=15计算之，分别计算

16233816

A16=220000(1.004202)[(1.004202)-1]

0.004202

和

2338

46=220000(1.004202)15[(1.004202)15-1]

0.004202

得到的结果分别为：196656和198161.如果报道中的198155没有错误，那么

198161非常接近198155.这就说明报道有误.实际上，乔先生只还了15期，

还有105期要还.

现在的40=148,155,H=105,利用（3.1-6）按照新的月利率r=

0.0051计算，他的月还款是1825.86.如果他不还5万元，继续还105期的话，

他的月还款是2442.06.

对Mathematica有兴趣的读者可以做下面的思考题。

综上所述，如果我们能应用模型⑶1-3）到（3.1-9）的话，我们可以解决

许多相关的问题.

习题

A）

1.如果不是等额还款，例如，每月先还利息再加还N等分的本金N，

数学模型将会怎样？

2.你当前的信用卡欠款余额为12,000美元，而当前的利率为19.9%/年.利息

是按月计算的.确定什么样的月还款p美元才能在

a.2年，假定不会有新的信用卡支付.

b.4年，假定不会有新的信用卡支付.

还清欠款.

现在假定你每月用信用卡支付105美元.

确定什么样的月还款P美元才能在

a.2年

b.4年

还清欠款.

考试题

某人想贷款买房，他在10年里变月的还款能力x=3000没有问题，已知

贷款年利率r=5%,贷款年数%=10―15年.请通过数学建模的方法回答：如

果N=10,请你估算一下他应该借（贷款）多少？（提示：