八年级数学全册教案华东师范版

八年级数学全册教案（华师大版教材）

第12章数的开方

121平方根与立方根（D

知识技能目标

1.从实际问题的需要出发，引进平方根概念，体现从实际到理论、具体到

抽象这样一个一般的认识过程，培养学生辩证唯物主义观点；

2.从求二次募的平方运算引出求平方根的运算，突出平方运算和开平方运

算的互逆性；

3.扣住定义去思考问题，重视解题技巧；

41以旧引新，以新带旧，从旧知识引进新知识，讲新知识时尽可能复习一些旧知识.

教学重点与难点

通过实际问题的研究，认识平方根；正确区分平方根与算术平方根的关系;

会用计算器求任意正数的算术平方根。

教学过程

一、创设情境

问题1要剪出一块面积为25cni的正方形纸片，纸片的边长应是多少？

问题2已知圆的面积是16rcm2,求圆的半径长.

学生探索，回答问题）

二、探究归纳

问题1解设正方形纸片的边长为阿依题意有：段25,

求出满足送=25的熠，就可得正方形纸片的边长.

因5屋25,⑶225,故满足送=25的微值可以是5,也可以是一5,

但正方形边长只能取正值.所以户5.

答正方形纸片的边长为5cm

这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于25.

问题2解设圆的半径为火5依题意有：

n咫=16r,即咫=16,

求出满足是16的碓值即可求出圆的半径.

因42166423故满足元=16的五的值为4或一4但圆的半径

只能取正值.所以数尺=4

答圆的半径为4cm

这个问题实质上就是要找一个数，这个数的平方等于16

刚才具体的二个例子，从数学意义上都是要解决这样一个共同的问题：已

知某数的平方，要求这个数.用式子来表示就是如果送=4求取值.

概括如果一个数的平方等于4那么这个数叫做a的平方根(也叫a的二

次方根).

三、实践应用

例1求100的平方根.

解因为itf=100,61(F=I。。除了I。和一I。以外，任何数的平方都不

等于10Q所以100的平方根是10和-10,也可以说，100的平方根是土10.

学生试一试：

(1)144的平方根是什么？②0的平方根是什么？③”4的平方根是什

么？@一4有没有平方根？为什么？请学生也编三道求平方根的题目，并给出

解答.与同学交流，你发现了什么？

1.平方根的性质：

问(D正数的平方根是什么？.

问②。的平方根是什么？

问③负数有平方根吗？为什么？

请同学概括数的平方根的性质.

答一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本

身；负数没有平方根.

2一个非负数a的平方根的表示法.

3.开平方.

求一个数a(心。的平方根的运算，叫做开平方.

例2将下列各数开平方：①49,②1.69.

分析开方运算就是求平方根，我们可以通过平方运算来解决.

例3下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明

理由.

(1)-64;②。③“Z

分析因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数

或0.

四、交流反思

L一般地，如果X2=4那么叫x做a的平方根.也叫a的二次方根).当a

=0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.

2求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联

系.区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是嘉；而在开平方运算中，

已知的是指数和幕，求的是底数.在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果

是唯一的；在开平方运算中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一

的.

3.平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算.

4求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决.

五、作业

P41

121平方根与立方根（4

知识技能目标

1.引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根的概念的意义和

平方根的表示方法基础上，专门讨论算术平方根的概念及其表示方法；

2对于右表示的算术平方根中的a的条件和右的本身的意义作合理性的

说明，例如：面积为a（的。的正方形的边长为石，从而直观形象地说明算术

平方根约定的合理性；

3.针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和

加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构

中.

教学重点与难点

1.理解算术平方根的概念，掌握它的求法及表示方法；

2体会到平方根和算术平方根这两个概念的联系和区别，进一步熟练地进

行平方根与算术平方根的运算；

3.用计算器求一个非负数的算术平方根.

教学过程

一、创设情境

1.在-5252中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有平方根？

为什么？

20.49的平方根记作=____L

3.的正的平方根记作=；

36---------------------

4说出平方根的概念和性质.

二、探究归纳

1.算术平方根：

9的平方根是______,9的正的平方根是______,囱=3表示的意义是什么？

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根.记作右，读作“a的算术平方

根4-nn.

这里应强调两点：

(1)这里的石不仅表示开平方运算，而且表示正值的根.

②这里右中有两个“正”字，即被开方数必须为正，算术平方根也是正

的.

0的平方根也叫做0的算术平方根，因此0的算术平方根是0.即C=0.从

以上可知，当a是正数或是0时，。表示a的算术平方根.

例1求100的算术平方根.

解因为10^=100,

所以100的算术平方根是10.即VI而=10.

注意100的平方根是士10,而100的算术平方根是10.

例2求下列各数的平方根和算术平方根：

7

0)36;②289;⑤

(3)因为±旧=±后=±$所以g

说明求一个数的平方根时，根号前的“土”号一定要写，它是区别平方根

和算术平方根的主要特征.

例3求下列各式的值：

(1)7625；⑵(3)±^4-2||；

(4)A/252-242-732+42；(5)J2O---VO36--7900.

V435

分析(1)、②、③题主要在于理解各题所表示的含义，是求平方根还是

求算术平方根，第④、⑤题除了分清各题所表示含义之外，还有掌握好运算

顺序.

2用计算器求一个非负数的算术平方根.

例4用计算器求下列各数的算术平方根：

(1)522②1225;⑤448L

三、实践应用

1.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？

-0.3；y/(-0.3)2；(0.3)2.

2求下列各数的平方根和算术平方根：

1144

121；0.25；400；0.01；—；—；0.

256169

3.求下列各式的值，并说明它们各表示的意义:

,25

71000；-5/144；-Vo.00001；±76255±J—；7o.

121V81

4用计算器计算:

(1)V676;②J27.8784;③J4.225(精确到0.01).

四、交流反思

1.平方根和算术平方根的区别：

2平方根和算术平方根的联系：.

五、作业

P43P74

121平方根与立方根($

知识技能目标

1.在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念，重点放在讨论立方

的概念，立方根的个数的唯一性及立方根的求法；

2在学生对数的立方根的概念及个数的唯一性有了一定的理解的基础上，

提出数的立方根与数平方根的区别；

3.渗透特殊------般——特殊的思想方法.通过特例研究等式

f=-指(。＞0),运用归纳的思想方法，让学生理解“一个负数的立方根是

它的绝对值的立方根的相反数”，运用这一关系式求一个负数的立方根.

教学重点与难点

1.掌握立方根的概念，掌握由立方运算，求一个数的立方根的方法；

2明确立方根个数的性质，分清一个数的立方根与平方根的区别；

3.会用计算器求数的立方根.

教学过程

一、创设情境

计算下列各题：

23,(-，03，0.43,(-0.4)3.

强调指出上述各题都是已知一个数，求这个数的立方，即其中，

已知数a叫底数，它可为正数，也可为负数，也可是零；知U做a的三次骞，同

样可为正数，可为负数，也可是零.这种运算是乘方运算，是已知底数、指数,

求褰的运算.

问题现有一只体积为216加的正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？

分析上面所提出的问题，实质上就是要找一个数，这个数的立方等于216.

解设正方体纸盒的棱长为网则

x3=216,

因为63=2为所以户6

答正方体的棱长应为6cm

二、探究归纳

问这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题？从这里可以抽象出

一个什么数学概念？

答已知乘方指数和3次寒，求底数，也就是“已知某数的立方，求某数”.即

/=4a是已知数，求x

1.立方根的概念：

如果一个数的立方等于4那么这个数就叫做a的立方根(cuberoob(也

叫做三次方根).

试一试(1)27的立方根是什么？②一27的立方根是什么？

傍0的立方根是什么？请学生也编三道求立方根的题目，并给出解答.

2立方根的表示方法：

3.开立方：

求一个数的立方根的运算，叫做开立方.开立方与立方也是互为逆运算，

因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.

三、实践应用

例1求下列各数的立方根：

(1)^；0-125;③-0.00&40.

根据上述练习提问：

(D一个正数有几个立方根？是否任何负数都有立方根？如都有，一个负数

有几个立方根？0的立方根是什么？

启发学生得出立方根的性质，并通过下表与平方根的有关性质进行比较.

方短、正数零负数

有两个互为相反数

平方根零的平方根是零没有平方根

的平方根

立方根有一个正的立方根零的立方根零有一个负的立方根

②一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？

例2用计算器求下列各数的立方根：

(1)1331;②-343;39.263.

分析用计算器求一个有理数的立方根，只需要直接按书写顺序按键.若被

开方数为负数，“一”号的输入可以按叵］,也可以按三.

四、交流反思

请思考下面的问题：

1.什么叫一个数的立方根？怎样用符号表示数瞰立方根？然取值范围是

什么？

2数a的立方根与数a的平方根有什么区别？

3.求一个数的立方根，可以通过立方运算来求.

五、作业

P71.25

122实数与数轴(1)

知识技能目标

1.了解实数的意义，能对实数进行分类；

2了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数；

3.会比较两个实数的大小.

教学重点与难点

1.通过探索，使学生从数和形两方面体会到无理数可以在数轴上找到一个

对应点，从而认识到实数和数轴上的点一一对应；

2通过计算器辅助，能比较两个无理数的大小.

教学过程

一、创设情境

1.做一做：①用计算器求四;②利用平方关系验算所得结果.

这里，我们用计算器求得a=1.414213562,再用计算器计算1.414213562

的平方，结果是1.999999999,并不是2,只是接近2这就是说，我们求得的血

的值，只是一个近似值.

2如果用计算机计算应，结果如何呢？

阅读课本第15页的计算结果，在数学上已经证明，没有一个有理数的平方

等于2,也就是说，也不是有理数.那么，a是怎样的数呢？

二、探究归纳

1.回顾有理数的概念.

(1)有理数包括整数和分数；

②任何一个分数写成小数形式，必定是有限小数或者无限循环小数.

2无理数的概念.

与有理数比较，及计算结果是无限不循环小数，所以血不是有理数.类

似地，约、圆周率》等也都不是有理数，它们都是无限不循环小数.

无限不循环小数叫做无理数

有理数和无理数统称为实数

三、实践应用

1.试一试：你能在数轴上找到表示血的点吗？

如图，将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直

角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2,所以

大正方形的边长为血.

这就是说，边长为1的正方形的对角线长是四,利用这个事实，我们容易

在数轴上画出表示值的点，如图所示:

0172x

例1试估计6+/^与万的大小关系.

说明：正实数的大小比较和运算，通常可取它们的近似值来进行.

提问：若将本题改为“试估计一版短）与一兀的大小关系”，如何解

答？

例2如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗?如果再将所

有的无理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

答如果将所有的有理数都标到数轴上，数轴未被填满；如果再将所有无

理数都标到数轴上，那么数轴被填满.

四、交流反思

数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数.数学上可以说明，

数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的

点来表示.换句话说，实数与数轴上的点一一对应.

五、作业

Pll1.23

122实数与数轴（飞

知识技能目标

1.了解有理数的相反数和绝对值等概念、运算法则和运算律在实数范围内仍然

适用；

2能利用运算法则进行简单运算.

教学重点与难点

有理数中的相反数、倒数和绝对值等概念与运算法则和运算律在实数范围

内仍成立，让学生体会到这是一种知识的迁移.

教学过程

一、创设情境

1.复习提问：

（D用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

②用字母表示有理数的加法交换律和结合律.

③平方差公式？完全平方公式？

④有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于

什么？

二、探究归纳

在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、

运算法则及运算律仍然适用.

三、实践应用

例1计算：|^-|2V3-3V2|（结果精确到0.01）.

分析对于实数的运算,通常可以取他们的近似值来进行.

解用计算器求得20-3鱼七一0.778539072,

于是，右一3行|=0.778539072,

所以5一卜6―3夜|=1.570796327-0.778539072

=0.792257255

四、交流反思

1.一个数的绝对值就是这个数在数轴上表示的点到原点的距离；

2互为相反数的两数在数轴上表示的点在原点两侧且到原点的距离相等

（除0以外）;

3.从有理数扩大到实数，有理数的运算法则和运算律适用于实数.

五、作业

1.借助计算器计算下列各题:

(1)711-2;②J1111-22;

aV111111-222;④V11111111-2222.

仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规

律吗？与同学交流一下想法.并用所发现的规律直接写出下面的结果：

1…1-22…2=.

2002个1001个

第13章整式的乘除

§13.1福的运算

1、同底数塞的乘法

教学目的

1.熟记同底数哥的乘法的运算性质，了解法则的推导过程.

2能熟练地进行同底数孱的乘法运算.

3.通过法则的习题教学，训练学生的归纳能力，感悟从未知转化成已知

的思想.

4.会逆用公式誓a』那1.

教学重点：掌握并能熟练地运用同底数塞的乘法法则进行乘法运算.

教学难点：对法则推导过程的理解及逆用法则.

教学过程

一、复习活动，

1.填空.

（］）2x2x2x2X2=（）,a-a.........a=（）

②指出各部分名称.

二、探索，概括.

1.下述题目，要求学生说出每一步变形的根据之后，再提问让学生直接说

出于X方=（),乎x37=(）,由此可发现什么规律?

()=2(）,

()=5(）,

)=a(

2如果把Ax成中指数3和4分别换成字母m和n8n为正整数），你能写

出才a"的结果吗?你写的是否正确?

a",a"=（段二乎）•（丝:P）（骞的定义）

=（图二p）（乘法的结合律）

=d+・（寨的定义）

即誓•fnn为正整数）

让学生用文字语言表述法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

三、举例及应用.

1.例1计算：（1）10X1。（?）a-a（5a-a?-a

解（D10Xltf=1（T=IO7.（》a・*=产=a4.

（3a•a3•a5=a-a=a

2练习第19页练习第1题.

3.提问：通过以上练习，你对同底数是如何理解的？在应用同底数羯的

运算法则中，应注意什么？

四、拓展延伸.由于才=那:可得#n=（mn为正整数.）

例2已知空=3,f=&则d*n=（）

五、巩固练习.P191.2

六、课堂小结.

L在运用同底数骞的乘法法则解题时，必须知道运算依据.

2“同底数”可以是单项式，也可以是多项式.

3.不是同底数时，首先要化成同底数.

七、布置作业.课本第23页习题13.1第1题的1、

2哥的乘方

教学目的

1.熟记塞的乘方的运算法则，知道嘉的乘方性质是根据乘方的童义和同

底数骞的乘法性质推导出来的.

2能熟练地进行福的乘方的运算.

3.在双向应用骞的乘方运算公式中，培养学生思维的灵活性.

教学重点：理解幕的乘方的意义，掌握塞的乘方法则.

教学难点：注意与同底数塞的乘法的区别.

教学过程

一、复习活动.

1.如果一个正方体的棱长为16厘米，即42厘米，那么它的体积是多少？

2计算：①4•I•3；②父•父♦父♦父.

3.你会计算⑥3与吗？

二、新授.

1.金表示什么意义？

2如果把x换成a4,那么0)3表示什么意义？

3.怎样把a2-a2-a"a2=a""Q写成比较简单的形式？

4由此你会计算0)5吗？

5.根据乘方的意义及同底数塞的乘法填空.

(1)&2=2();②0V=()X()X()

=3<);

③叙()x()x()x()=a<

6用同样的方法计算：@)4；为正整数).

这几道题学生都不难做出，在处理这类问题时，关键是如何得出3+3+3

+3=12,教师应多举几例.

(a11)9=*/一•••/

…3；...•?=6安炉=户5为正整数。)

n个

教师应指出这样处理既麻烦，又容易出错.此时应让学生思考，有没有简

捷的方法?引导学生认真思考，并得到：

0)2=产2=艺；团3=猿3=分/)9=屋'9=渣(J?3)=

Xn__yn

现察结果中孱的指数与原式中塞的指数及乘方的指数，猜想它们之间有什

么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?)

怎样说明你的猜想是正确的？

(a-y上沪乘方的意义)

=姆寄•(同底数赛的乘法)

(乘法定义)

即@)"=小成(nn是正整数).

这就是得的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗？塞的乘方，底数不

变，指数相乘.

三、举例及应用.

1•例1计算：

(1)(W；②6)t

解(1)(ltf)=1(F5=Itf5.②(b)4=叶4=也

2练习.课本第20页练习第2题.

3.例2下列计算过程是否正确？

①它。，4+4•4。X=X"+4°=必.②&)?+&)'=4+d=q3

⑤3•a・/+a?-a?,a?=a8+a8=2a8.④(^)3+a3,d=3+SL=2a6.

说明.

(D要让学生指出题中的错误并改正，通过解题进一步明确算理，避免公

式用错.

②进一步要求学生比较“同底数孱的乘法法则”与“得的乘方法则”的

区别与联系.

4练习.课本第20页练习的第1题.

5.例3填空.

(1)a12=@)(>=(^2)()=a3•a<，=Q")?;

②4=3<);③32X32X3()=3().

此题要求学生会逆用塞的乘方和同底数塞的乘法公式，灵活、简捷地解

题.)

四、巩固练习.补充习题.

五、课堂小结.

1.°Mn是正整数)，这里的底数a,可以是数、是字母、也

可以是代数式；这里的指数是指塞指数及乘方的指数.

2.对于同底数骞的乘法、塞的乘方、合并同类项这三个法则，要理解它

们的联系与区别.在利用法则解题时，要正确选用法则，防止相互之间发生混淆

如：小才=那⑥"=非").并逐步培养自己“以理驭算”的良好运算习惯.

六、布置作业.课本第23页习题第2题.

3.积的乘方

教学目的

L能说出积的乘方性质并会用式子表示.

2使学生理解并掌握积的乘方的法则.

3.使学生能灵活地运用积的乘方的法则进行计算.

4通过法则的推导过程培养学生分析问题、解决问题的能力.

教学重点：探索积的乘方法则的形成过程.

教学难点：积的乘方公式的推导及公式的逆用.

教学过程

一、提问.

1.成•/=a5,也就是说：().即引4=那"(an为正整数).

让学生明白所用到的运算法则及运算律.)

2@)'=a()，也就是说：().即④”=必"(Un为

正整数.)

让学生明白同底数骞的乘法与塞的乘方法则的区别.)

二、引导观察.

L计算.

Tx号=4X9=36,Qx32=(2X$(2x$=6x6=36.

从而得到：Qx$2=2x32=36进而猜想：颔2与4b2是否相等？

2探索，概括.

(1)(ab)2=(a6)•(ad)=(a•a)(6•6)=a2b2;

*It

(2)(ab)3=(a)・(ab)•(叱)=(a•a•a)(6•6•6)=a363;

'5T'•

(3)(ab)4=(砂)・(而)•(ab)・(g)=(a•a•a•a)(b•b•b•b)

??

=a464；

(4)(W=(ab)•(ab).........(ab)=(a•a...........a)(b•b•••••6)

wM

=a6o

于是我们得到了积的乘方法则：(a5n=a?b"引是正整数).

这就是说，积的乘方，等于各因数乘方的积.

教师应一步一步地引导学生，得出结论因为指数是用字母表示的，就学

生的思维状况来说是个难点).然后让学生自己对照公式总结，自己叙述出法则.

3.引导学生剖析积的乘方法则.

问题:三个或三个以上因式的积的乘方，是不是也具有这一性质？

(1)如。"=^ncn=rfbncn.

(2)(aic)ft=(aic),(abc).....(aic)=(a•a...........a)(6,6............6)

(c,c........c)=a*6"c"o

即3bOn=a?bncng为正整数).

三、举例及应用.

1.例1计算：

(1)Qtf;0(2xa3)2;③6犷；④63».

解(1)(2》3=吸日=8b3.(2(2Xa?)2=?x(a3)2=4xa6.

(3)(-a)3=(-1)3.*=_*.(4)(—3力£(-34.攵

=814

第(D题由学生回答，教师板演，并要求学生说出每一步的根据是什么；

第②、③、④题由学生完成，根据学生完成的情况，提醒学生注意：①系数

的乘方；②因数中若有塞的形式，要注意运算步骤，先进行积的乘方，后作因

数塞的乘方.)

2练习.课本第21页练习的第1题.

五、拓展延伸.

因为颂三a?bn,所以”=颔:

逆用性质进行计算：

(1)2,xdX0.125=(2x4x0.125)\②(-4)2002xQ25)2002=?

六、看谁做的又快又正确？

1.65a旷=()2.伙月，()3.(-2x/”=

()；

462X1。=();5.63犷=().

七、开放性练习.

准备若干张边长为a的小正方形纸片，让学生前后位四人一组，动手拼图

形.

现有若干个边长为a的小正方形纸片，你能拼出一个新的正方形吗?多少个

小正方形才能拼成一个新的正方形?并用不同的表示方法表示新正方形的面积.

从不同的表示法中，你发现了什么？

八、课堂小结.

这节课你有什么收获?学到了什么?还有哪些需要老师帮你解决的问题？

请注意：积的乘方要将每一因式特别是系数)都要乘方.

九、布置作业.课本第23页习题13.1第4题

13.2同底数鬲的除法

教学目的：

1、能说出同底数骞相除的法则，并正确地进行同底数幕的除法运算;

2理解任何不等于零的数的零次嘉都等于1；

A能正确进行有关同底数羯的乘除混合运算。

教学重点：掌握同底数骞的除法的运算性质，会用之熟练计算；

教学难点：理解同底数鬲的除法运算性质及其应用。

教学过程：

一、知识点讲解：

1、复习同底数塞的乘法法则。

试一试

用你熟悉的方法计算：

(1)咪+22=;

(②10=10=;

($a4-a?=(转。.

概括

由上面的计算，我们发现：咪+2二?=r；

i(y+io=io*=吟

a7-?a'=SL=aM.

同底数塞的除法性质：同底数塞相除，底数不变，指数相减。

用字母表示：屋+废=产"(。，0,山、鹿是正整数且加>〃)

当m=n时屋:优=a°=l(a/O)零指数的意义：a°=l(.，O)

二、典例剖析：

例1、计算：

(1)4+4;(3(-0s+a3(3/+非(@(a+1)3。

(a+1)2

解：(D原式=f2=e；(飞原式=-*+3=-a2

(3原式=a“(相=3(④原式=(a+1)>2=a+l

*当指数是多项式时，在同底数鬲相除时，指数相减时，必须底数加括

号。

*指数为1时可以省略。

例

2计算：

1),一(产+/；(与y+x・(一耳4

3(X-力，+(y-6+(-X-y)34-(2

解：(D原式=:r+yn=,

(2原式=x+x-x=x=24；

(3原式=(X-力=(X-y)6-(x+9=(92

=(x-/-(x+j^=x-y-x-y=-2y

三、课内小结：

1、同底数幕相除的法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减。

用字母表示：am^an=am-\a^O,rn.〃是正整数且〃?〉〃)

练习P231.2

四、提高：

例1、解关于x的方程：(x-1)1x1-1=1

lxl-l=OJx-1=-l

解：x-1^0或Jxl-l为偶数x=-1或x=2

解得：x=-1解得：x=2

例2,已知：k=5,必=3,求严-

解：xm-"=—=-

x"3

作业P235.6

13.2整式的乘法

1、单项式与单项式相乘

教学目标

1.通过学生自主探索，掌握单项式相乘的法则.

2掌握单项式相乘的几何意义.

3.会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计

算中的问题.

4.培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯.

重点：单项式与单项式相乘的法则.

难点：单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义.教学过

程

一、复习活动.

我们已经学习了嘉的运算性质，你能解答下面的问题吗；

1.判断下列计算是否正确，如有错误加以改正.

(J)a?,a=a100a-a,a5=a7;③(3?)2=a;④Oab2)2,a=6ab*.

2计算：

(1)10Xltfx10*=()；②斜1$,(34-tj)3,(3-f-tj)4=();

362方y=().

一、导入新课.

我们刚才已经复习了塞的运算性质.从本节开始，我们学习整式的乘法.我

们知道，整式包括什么？包括单项式和多项式.)因此整式的乘法可分为单项式

乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式.这节课我们就来学习最简

单的一种：单项式与单项式相乘.

一个长方体底面积是4xy,高是3K那么这个长方体的体积是多少？学生

探讨4xy,3x如何计算？

3x=3,x,4xy=4,xy,

因此4xy-3x=4-xy-3-x=^1-$•仅•力・y=12xy.

要强调解题的步骤和格式.)

仿照刚才的做法，你能解出下面的题目吗？

(D34y62xj0=/64]•位•好•fy-V)=—6打.

2)65a?b3)-64b2。=[6，X6④]•成•(b3•b2)•(?=20^b5a

总结法则：单项式和单项式相乘，系数与系数相乘，相同字母的哥分别相乘;

对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式.

例1.计算：(1)2x3*5x5(》3x2y5»(-2xy2z)

点评：可先提示，运算乘法交换律，结合律，把各因式的系数，相同的字

母分别结合，然后相乘.2x3和5,可看成是2―/和5・/,同样2r2y5可看成

是3。X?•>5和(一0•x・y2.z

解L2x3•5x5=(2X5)(x2,x3)=10x5

23x2y5・(-2町2，=3x(―^)(x2•(y5•y2)•z=-6x3y7z

通过两式计算，可以引导学生归纳出：

1、系数相乘作为积的系数.

2相同字母的因式，应用同底数得的运算法则，底数不变，指数相乘.

3.只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式.

4单项式与单项式的积仍是单项式.

例2计算：

(1)3^y(一2寸)；②(-5烈).(一如。

解：

(1)34y(-2x/)=B6。](i*.(y力=-

6^y

(3(-5^b3).(-4b2c)=[(-5).64)]a2(b3-I)).c

=20ab5c

思路点拨：例1的两个小题，可先利用乘法交换律，结合律变形成：数与

数相乘，同底数赛与同底数塞相乘的形式，单独一个字母照抄.

我们已经掌握了两个单项式相乘的情况，那么三个或三个以上的单项式相

乘，你会不会计算呢？

计算：3a?b-2ab2-65/b2).

例3.卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9X10米邓，则卫

星运

行3X1(/秒所走的路程约是多少？

解：7.9XItfx3Xltf=23.7X10=237Xltf

答：卫星运行3X1。秒所走的路程约是237X1(/米.

思路点拨：对于单项式与单项式相乘的应用问题，首先要依据题意，列出

算式，含10的哥相乘同样用单项式乘法法则进行计算，还应将所得的结果用科

学记数法表示.

练习课本第25页练习第1.23.题.

L—4nn3,&m2;2—3a?c-(-2ab2)2;3.3x-(-4力力•2y

五.全课小结，

本节内容是单项式乘以单项式，重点是放在对运算法则的理解和应用上.

六、布置作业.第28页练习的第1.2题.

2单项式与多项式相乘

教学目标

1.能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果

仍然是多项式.

2.会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运

算.

3.通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

重点：本节课的教学重点是掌握单项式乘以多项式的法则.

难点：熟练地运用法则，准确地进行计算.

教学过程

一、复习活动.

1.单项式与单项式相乘的法则？

2完成下列各题.

(1)2x•(-4xy)=();0(-2x)'(-3x。=();

③61ali)•《ab2)=();④124-J+])

Z334O

二、引导观察，图形演示.

1.在12Xs一[+[)中，你是怎样计算的?用什么样的方法较简单？乘

法分配律.)

235235

即12X£—%+%)=12x--12x-+12X%.

2我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，

你会计算m好计c)吗？

引导学生用乘法的分配律解决.)

3.你算出的结果能否用长方形的面积加以验证？出示图.)

大长方形的面积有两种表示方法，一是长为奸计c,宽为用面积是

m好计。；二是三个小长方形的面积和，即an+皿cm它们都是大长方形的

面积，所以它们是相等的，即m(Hb+O=an+bmFcm

4.在m的计。=marl-n±H-me中，“褶是单项式，"tH-cf是多项式,

这两者相乘，从中你能看出什么规律？

法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的各项，再

将所得的积相加.

用式子表示为：m鼾计。=maH-me

三、举例及应用.

1.例1计算：62a2)。6ab-Sab5).

解：62a2)•6ab2—5ab3)=62或•3at?+62a2)•6Sab3)=-6a?b2

+1033b$

此题是为了熟悉法则，解题时要严格按法则，教师示范解题格式.)

2例2计算：0a2-5坊•2次

此题是否是单项式乘以多项式?应怎样计算？

GI导学生归纳出当单项式在右边时，法则仍然成立.)

3.练习.课本第26页练习第1题.

4例3计算：一2成ga计b2)—5a6b-ab2).

该题是含有两个单项式与多项式相乘的混合运算，对于后一个括号中的

“一”的处理，要看成是单项式的符号.)

5.练习.课本第26页练习第2题.

五、问题思考.

1.当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立？

2非零单项式乘以不含同类顶的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多

项式的项数有什么联系？

六、课堂小结.

1、注意不要漏乘任何一项.注意“一”的问题.

2在几个单项式乘以多项的混合运算中，要注意运算顺序，完成乘法后，

要合并同类项，得出最简结果.

七、布置作业.课本第28页习题第3.4

3.多项式与多项式相乘

教学目标

1.能说出多项式与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果

仍然是多项式.会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算.

2培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

3.培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力.

重点：掌握多项式乘以多项式的法则.

难点：运用法则进行混合运算时，不要漏项.

教学过程

一、复习活动.

指名学生说出单项式与多项式相乘的法则.

二、引导观察，图形演示.

1.式子p鼾耳邛廿pb中的R可以是单项式，也可以是多项式.如果

尸时n,那么p斜0就成了时0必功，这就是今天我们所要讲的多项式与

多项式相乘的问题.由此引出课题.)

你会计算这个式子吗?你是怎样计算的？

教师引导学生由繁化简，把时n看作一个整体，使之转化为单项式乘以

多项式，即：E(ftFn)(3H-1?)=(nl-ii)arl-(nFii)b=?na4-nb-l-naH-nb.]

2你能用图形验证你算出的式子吗？

某地区在退耕还林期间，有一块原长m米、宽a米的长方形林区增长了

n米，加宽了b米.请你表示这块林区现在的面积.

问题：①如何表示扩大后的林区的面积？

②用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？

学生得到了两种不同的表示方法,一个是(n+-n)鼾4米2；另一个是fna

+m升n什⑯米乙以上的两个结果都是正确的.

3.观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系，能不能由

原来的多项式各项之间相乘直接得到?如果能得到，又是怎样相乘得到的？教师

示范.)

你能用语言叙述这个式子吗？

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的

每一项，再把所得的积相加.

即：(nFmQH-@=maH-mb+naH-nb.

三、举例及应用.

1.例1计算：

(1)••0(X-3；②6x-1)Q肝1).

解(1)(肝4(l3=4—3肝2x-6=4—x—6.

(2(3x-])(2x4-1)=6x4-3x-2x-1=6x4-x-1.

2.练习.课本第28页练习第1题的①、②.

3.例2计算：

(1)23。奸7力；②Q肝5y)0x-2y).

解(x—3力(肝7力=x+7xy—3yx-21y=x+4xy—21y.

(2肝5力(3x-2y)=64—4xy+15yL10^=64+llx『10%

例3.先化简，再求值

(3x—2力(y~3力-(2中0(3^,其中y='

22

解：原式,町-9x2-2y2+^Xy-(6x+2xy-3xy-y)

=9xy-9x2-2y~-6x2+xy+y2=-15x2+lOxy-y2

当小时

,,In132

-15x2+10Ay-y2=-15x(-)2+10x(-)-l=--+2-1=-

4练习.课本第28页练习第1题的③、@.2

五、课堂小结

1、多项式乘法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘.

2运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏.

3.在含有多项式乘法的混合运算时，要注意运算顺序，计算结果要化简.

七、布置作业课本28页习题6,7题

13.3乘法公式

1、两数和乘以它们的差

教学目标

1.能说出平方差公式的特点，并会用式子表示.

2能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法.

3.通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想.

重点：掌握平方差公式的特点，牢记公式.

难点：具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.

教学过程

一、新课引入.

王剑同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖块10.2千克，售货员刚拿

起计算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货

员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学

上刚学过的一个公式."你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?你现在能

算出来吗?学了本节之后，你就能解决这个问题了.

从而引出课题：平方差公式.

二、知识回顾.

1.多项式乘以多项式的法则：L

2利用多项式与多项式的乘法法则说出斜a)奸耳的结果.

3.计算：

(1)豺3(X-3；②团■2》纭2功；

⑤加*ri)(fat-力；@(升4/0-49.

三、引导观察.

1.请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什

么特点?积有什么特点？

2这四个题目与好a)刨-54+鼾坊叶ab有什么关系?你还能再举

出这样的几个例子来吗？

引导学生发现：当kb时，(HNM—bl从而得出平方差公

式.)

3.观察这个公式，你能说出它左边的特征吗?右边呢?

4你能用图形来验证它的正确性吗？

5.你能用语言叙述这个公式吗？

(aH-tj)(a—t()=a2—也

这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.

四、举例及应用.

例1计算：

(1)鼾3—3;②。什3》Qa-3》；③(1+2。(1-2。.(④

(-2x-y>(2x-力.

解(a4-$(a-$=a2-32=d—9.

3(2什35(2a-3》=(2a)-(35="一9M.

(1+2。(1-2。=12-(2。2=1-4cL

(一2x-力(2x-9=(一x2力(一升2*=(一9J(2力

2=y—4x

例2利用平方差公式计算：

(1)(5+6另(5-6组(2)(3nt-2n)(3nH^n)(3)(-4^4-1)(-4A1)

(④(-Jx-y)(-Jx+y)

44

(5)(ab+^)(ab-^(6(m+ii)(m-5i)+3rf

解：(D原式=5?一微2=2X6，(2)原式(3原式

=2-12=16^—1

(④原式W-L)2_y2=—(5原式=(a旷Yfb2y4(。原式

416

rf=?ri-E2ii

练习p301

例2计算：1998X2002

分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行

计算.

解1998X2002=(2000-》X(200叶②=2000—22=4000000-4

=3999996

在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感受构

造数学“模型”的乐趣.

练习.课本第30页练习第2题.

例3.街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要

加长2米，而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少？

解(叶2(a-)=3—4(平方米).

答：改造后的长方形草坪的面积是(成一④平方米.

练习.课本第30页练习的第3题.

1、判断正误：

1)(―<2—/?)(<?—b)——a*"+£>-4(_4+/?)(—a—b)=­a—b~

55QX-5』2-94)(3X-1)(-3X-1)=9X2-1

2化简(x-力(9-(x-2y)(2肝力

六、课堂小结

1、本节课你学到了什么？

2注意：一定要记住公式的特点.

七、布置作业课本33页第1题

2两数和的平方

教学目标

1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示.

2能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法.

3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合

的思想.

重点：掌握公式的特点，牢记公式.

难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算.

教学过程

一、复习活动.

1.说出平方差公式.

两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差.)

2计算：05+■功的5=.

二、引导观察.

1.在好3)的5中，若Ab,那么上述式子将会成为怎样的式子?计算

结果是什么？

学生回答：变为