模糊控制论-理论基础

1/102目录2.1引言2.2模糊集合论基础2.4模糊控制系统的组成2.5模糊控制系统的设计2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的应用2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成第一页，共101页。2/102模糊控制的发展历史1965年，L.A.Zadeh提出模糊集理论；1972年，L.A.Zadeh提出模糊控制原理；1974年，应用于蒸汽机和锅炉控制中；80年代：污水处理、汽车、交通管理模糊芯片、模糊控制的硬件系统；90年代：家电、机器人、地铁；21世纪：更为广泛的应用。第二页，共101页。3/102模糊控制的特点无需知道被控对象的数学模型与人类思维的特点一致模糊性经验性构造容易鲁棒性好第三页，共101页。4/102主要内容模糊控制的理论基础模糊集合论基础模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成模糊控制系统模糊控制系统的组成模糊控制系统的设计模糊PID控制器模糊控制器的应用第四页，共101页。5/102目录2.1引言2.2模糊集合论基础2.4模糊控制系统的组成2.5模糊控制系统的设计2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的应用2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成第五页，共101页。6/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系第六页，共101页。7/102经典集合19世纪末德国数学家乔•康托(GeorageContor，1845-1918)，是现代数学的基础。内涵和外延都必须是明确的经典集合论表示方法特点列举法定义法归纳法特征函数法第七页，共101页。8/102表示方法列举法：U=｛1，2，3，4，5，6，7， 8，9，10｝归纳法：U=｛ui+1=ui+1，i=1,2,9，u1=1｝特征函数法定义法：U=｛u|u为自然数且u<5｝表示方法第八页，共101页。9/102特征函数法用特征函数值表示元素属于集合的程度第九页，共101页。10/102隶属度函数将特征函数值扩展为上取值的隶属度μF

（DegreeofMembership），描述思维和语言的模糊性。第十页，共101页。11/102模糊集合(FuzzySets)1F={（u,μF(u))|u∈U}（离散域，序偶表示法）论域U中的模糊集F可以用元素u和它的隶属度μF来表示

（查德表示法）

（连续域）第十一页，共101页。12/102支集(Support)模糊集合F的支集S是一个普通集合，它是由论域U中满足μF(u)>0的所有u组成的，即第十二页，共101页。13/102模糊单点(Singleton)如果模糊集合F的子集在论域U上只包含一个点u0,且μF(u0)=1,则F就称为模糊单点。即第十三页，共101页。14/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系第十四页，共101页。15/1022.2.2模糊集合的运算考察具有公共论域U的模糊集合A、B之间的各种运算关系，包括以下内容：相等、包含空集、全集交、并、补其他第十五页，共101页。16/102相等、包含空集、全集对于所有的u∈U，均有μA(u)＝μB(u)。记作A=B。相等对于所有的u∈U，均有μA(u)≤μB(u)。记作AB。包含对于所有的u∈U，均有μA(u)＝0。记作：A＝

。空集对于所有的u∈U，均有μA(u)＝1。全集第十六页，共101页。17/102交、并、补如果模糊集合C具有以下性质：对于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∧μB=min{μA(u),μB(u)}则称C为A与B的交集，记为C=A∩B

交集对于所有的u∈U，均有μC(u)=μA∨μB=max{μA(u),μB(u)}

。则称C为A与B的并集，记为C=A∪B。并集对于所有的u∈U，均有μB(u)=1-μA(u)

则称B为A的补集，记作补集第十七页，共101页。18/102举例已知模糊子集求第十八页，共101页。19/102求解第十九页，共101页。20/102代数积代数和有界和有界差有界积其它运算第二十页，共101页。21/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系第二十一页，共101页。22/102幂等律结合律交换律分配律模糊集合运算的基本性质1第二十二页，共101页。23/102同一律零一律吸收律德·摩根律双重否认律模糊集合运算的基本性质2第二十三页，共101页。24/102与经典集合性质的比较基本性质完全相同模糊集运算不满足互补律第二十四页，共101页。25/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系第二十五页，共101页。26/102是一个关键问题是一个难题具有“模糊性”、经验性和主观性无统一的设计方法具有客观的原则隶属度函数的建立第二十六页，共101页。27/102隶属度函数的设计原则1必须是凸模糊集合（呈单峰形）通常是对称和平衡的要遵从语意顺序、避免不恰当的重叠第二十七页，共101页。28/102隶属度函数的设计原则2考虑重叠指数（一般取重叠率为0.2～0.6、或鲁棒重叠性）第二十八页，共101页。29/102举例重叠率=0重叠鲁棒性=0重叠率=5/35=0.143重叠鲁棒性＝5/20=0.25重叠率=10/30=0.333重叠鲁棒性=10/20=0.5第二十九页，共101页。30/102设计方法模糊统计法例证法专家经验法二元对比排序法第三十页，共101页。31/102隶属度函数的常见形状1Z函数第三十一页，共101页。32/102隶属度函数的常见形状2S函数第三十二页，共101页。33/102隶属度函数的常见形状3Π函数第三十三页，共101页。34/1022.2模糊集合论基础2.2.1模糊集概念2.2.2模糊集合运算2.2.3模糊集合运算的基本性质2.2.4隶属度函数的建立2.2.5模糊关系第三十四页，共101页。35/102模糊关系普通关系：表示元素之间是否关联。模糊关系：表示两个论模糊集合之间的关联程度，用其直积空间的隶属度函数表示。定义：所谓A，B两集合的直积

中的一个模糊关系R，是指以A×B为论域的一个模糊子集，序偶(a,b)的隶属度为μR(a,b)。第三十五页，共101页。36/102多元关系二元关系多元关系：考察n个集合的直积

A1×A2...×An，其隶属度函数为：

μR(a1,a2,...,an)第三十六页，共101页。37/102模糊集合表示法举例 考查两个整数间的“大得多”的关系。设论域U=｛1，5，7，9，20｝。模糊关系的表示方法1第三十七页，共101页。38/102模糊关系的表示方法2模糊矩阵表示法（适用于二元关系）其中第三十八页，共101页。39/102笛卡尔积算子（算子）A1，A2，...

，An的笛卡尔积是在积空间U1×U2×...×Un中的一个模糊集，其隶属度函数为：直积（极小算子）用μmin

表示

代数积：用μAP表示第三十九页，共101页。40/102例2-9考虑如下模糊条件语句 如果C是慢的，则A是快的。 其中C，A分别属于两个不同的论域U，V。其隶属度函数分别为：

A=快=0/0+0/20+0.3/40+0.7/60+1/80+1/100；

C=慢=1/0+0.7/20+0.3/40+0/60+0/80+0/100。求它们的直积和代数积。第四十页，共101页。41/102直积第四十一页，共101页。42/102代数积第四十二页，共101页。43/102模糊关系的合成背景： 已知：IFATHENB，IFBTHENC

求：IFATHENC定义：如果R和S分别为笛卡尔空间U×V和V×W上的模糊关系，则R和S的合成是定义在笛卡尔空间U×V×W上的模糊关系，并记为RoS。其隶属度函数的计算方法有两种。第四十三页，共101页。44/102模糊关系的合成的隶属度函数计算上确界（Sup）算子下确界（Inf）算子：第四十四页，共101页。45/102例2-10已知某家中子女与父母的长像相似关系R： 父母与祖父母的相似关系S：求：家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度。R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10第四十五页，共101页。46/102解第四十六页，共101页。47/102合成算子Sup-min的特性1分配率第四十七页，共101页。48/102结合律包含转置运算不满足交换律合成算子Sup-min的特性2第四十八页，共101页。49/102目录2.1引言2.2模糊集合论基础2.4模糊控制系统的组成2.5模糊控制系统的设计2.6模糊PID控制器2.7模糊控制器的应用2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成第四十九页，共101页。50/102模糊逻辑模糊逻辑是研究含有模糊概念或带有模糊性的陈述句的逻辑。是不确定性推理的主要方法之一。是经典数理逻辑的推广。第五十页，共101页。51/1022.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解2.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成第五十一页，共101页。52/102二值逻辑命题P中的元素可以赋予一个二元真值T(P)。在二元逻辑中，T(P)或者为1（真）或者为0（假）。设U是所有命题构成的论域，则T就是从这些命题（集合）中的元素u到二元值（0，1）的一个映射：T:u∈U→(0,1)第五十二页，共101页。53/102名称符号意义析取“∨”“或”的意思合取“∧”“与”的意思否定“－”是对原命题的否定蕴涵“→”表示“如果...那么...”等价“”表示两个命题的真假相同，是“当且仅当”的意思命题联结词第五十三页，共101页。54/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解第五十四页，共101页。55/102模糊命题模糊命题是普通命题的推广。模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。第五十五页，共101页。56/102模糊逻辑补用来表示对某个命题的否定.，模糊逻辑合取模糊逻辑析取基本运算1第五十六页，共101页。57/102模糊逻辑蕴含如P是真的，则Q也是真的，模糊逻辑等价模糊逻辑限界积各元素分别相减部分作为限界差。基本运算2第五十七页，共101页。58/102模糊逻辑限界和模糊逻辑限界差各元素分别相加，比1小的部分作为限界和。各元素分别相减部分作为限界差。基本运算3第五十八页，共101页。59/102幂等律交换律结合律吸收律P∨P=P， P∧P=PP∨Q=Q∨P，P∧Q=Q∧PP∨(Q∨R)=(P∨Q)∨R,P∧(Q∧R)=(P∧Q)∧RP∨(P∧Q)=P，P∧(P∨Q)=P分配律P∨(Q∧R)=(P∨Q)∧(P∨R),

P∧(Q∨R)=(P∧Q)∨(P∧R)基本定律1第五十九页，共101页。60/102双否律交换律常数运算法则注意互补律在模糊逻辑中不成立基本定律2第六十页，共101页。61/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解第六十一页，共101页。62/102模糊语言逻辑模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。针对自然语言的模糊性；涉及概念：语言值语言变量语言算子第六十二页，共101页。63/102语言值语言中与数值有直接联系的词，如长、短、大、小等，可以再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组。可以用模糊数来表示。所谓模糊数，指至少有一个元素u的隶属度值为1的模糊子集。举例：［个子高］=0.2/150+0.4/160+0.6/170+0.8/180+1/190+1/200第六十三页，共101页。64/102语言变量用一个五元素的集合（X，T(X)，U，G，M）来表征。第六十四页，共101页。65/102语言算子语气算子模糊化算子判定化算子第六十五页，共101页。66/102语气算子表示语言中对某一个单词或词组的确定性程度。包括强化算子和淡化算子强化算子，如“很”、“非常”等淡化算子，如“较”、“稍微”等Hλ(A)=Aλ

（A为语言值）第六十六页，共101页。67/102如“大概”、“近似于”、“大约”等。把原来的概念模糊化。记模糊化算子为F。则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足：其中，μR(x,c)是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线，即：模糊化算子第六十七页，共101页。68/102判定化算子肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。记判定化算子为P，则判定化变换可表示为P(A)，并且它们的隶属度函数关系满足：当取α=1/2时，P1/2可用来表示“倾向于”。第六十八页，共101页。69/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解第六十九页，共101页。70/102模糊逻辑推理不确定性推理方法的一种方法还在发展之中，比较典型的有扎德（Zadeh）方法、玛达尼（Mamdani）方法、鲍德温（Baldwin）方法、耶格（Yager）方法、楚卡莫托（Tsukamoto）方法。最常用的是玛达尼极大极小推理法。第七十页，共101页。71/102常见种类近似推理（常识性推理）广义肯定式推理广义否定式推理模糊条件推理多输入推理多输入多规则推理第七十一页，共101页。72/1021.近似推理：广义肯定式推理前提1：如果x

是A，则y

是B前提2：如果x

是A＇，结论：y是隶属度函数的计算第七十二页，共101页。73/102模糊关系矩阵R的计算采用Mamdani推理法模糊蕴含最小运算法模糊蕴含积运算法第七十三页，共101页。74/102广义否定式推理前提1：如果x

是A，则y是B前提2：如果y

是B＇，结论：x

是隶属度函数的计算其中：

（Zadeh推理法）第七十四页，共101页。75/102例2-14考虑如下逻辑条件语句：如果“转角误差远远大于15°”，那么“快速减少方向角”；其隶属度函数定义为：

A=转角误差远远大于15°=0/15+0.2/17.5+0.5/20+0.8/22.5+1/25B=快速减少方向角

=1/-20+0.8/-15+0.4/-10+0.1/-5+0/0。求：当A＇=转角误差大约在20°时，方向角应该怎样变化？第七十五页，共101页。76/102步骤1定义A＇=转角误差大约在20°的隶属度函数=0.1/15+0.6/17.5+1/20+0.6/22.5+0.1/25则问题化为 已知

μA(x)=[0,0.2,0.5,0.8,1], μB(y)=[1,0.8,0.4,0.1,0]

当μA＇(x)=[0.1,0.6,1,0.6,0.1]时,

求解B＇。第七十六页，共101页。77/102步骤2由玛达尼（Mamdani）推理法计算出关系矩阵：第七十七页，共101页。78/102步骤3计算代数积算子

直积算子第七十八页，共101页。79/102代数积算子第七十九页，共101页。80/102直积算子问题：如何比较两种算子？第八十页，共101页。81/1022.模糊条件推理如果x

是A，则

y是B，否则y

是C。其逻辑表达式为：模糊关系R：隶属度函数：推理结论第八十一页，共101页。82/1023.多输入模糊推理前提1：如果A

且B

，那么C前提2：现在是A＇且B＇结论：

基于玛达尼推理，则模糊关系矩阵为：第八十二页，共101页。83/102例2-16已知、时，问、时，第八十三页，共101页。84/102解第八十四页，共101页。85/102第八十五页，共101页。86/102推理简化（削顶法）推理形式可等价为

可得隶属度关系如下：α是指模糊集合A与A＇交集的高度。第八十六页，共101页。87/102削顶法图示第八十七页，共101页。88/1024.多输入多规则推理如果A1

且B1

，那么C1

否则如果A2

且B2

，那么C2

： 否则如果An

且Bn

，那么Cn

已知A＇

且B＇，那么C＇=？

在这里，An

和A＇、Bn

和B＇、Cn

和C＇分别是不同论域X、Y、Z上的模糊集合。第八十八页，共101页。89/102推理方法推理结果可表示为其中第八十九页，共101页。90/102推理过程图示第九十页，共101页。91/1022.3模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成2.3.1二值逻辑2.3.2模糊逻辑的基本运算2.3.3模糊语言逻辑2.3.4模糊逻辑推理2.3.5模糊关系方程的解第九十一页，共101页。92/102模糊关系方程已知A和B，有以下关系：

求关系矩阵R；A∈F(U×V)、B∈F(U×W)、

R∈F(V×W)，分别为笛卡尔空间U×V、U×W、V×W上的模糊关系矩阵，有

A=(aij)m×n

、B=(Bij)m×s

、R=(rij)n×s,第九十二页，共101页。93/102问题分解用分块矩阵的形式表示，有

其中，则原问题可化为s个简单的模糊矩阵方程：第九十三页，共101页。94/102问题的分解考察设合成算子

取，需要考虑以下问题：第九十四页，共101页。95/102问题的分解具体有以下两类问题：等式问题：

(ai1∧r1)=bi,（ai2∧r2)=bi,..., （ain∧rn)=bi,不等式问题：(ai1∧r1)bi,（ai2∧r2)bi,...,（ain∧rn)bi第九十五页，共101页。96