第三知识块导数及其应用知识网络

第三知识块导数及其应用知识网络考情回顾近三年高考试题统计分析（以山东为例）科类时间理科文科题号分值题号分值2022年(14)(21)412(21)122022年(21)12（21）122022年（22）14（8）（21）5121、纵向比较近几年山东的高考题：理科：08年求函数的极值，证明不等式；09年解应用题求最值；10年考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；文科：08年考查了知函数的极值点求参数，判断函数的单调性，比较代数式的大小；09年求函数的极值，求参数的取值范围；10年解应用题求最值，导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性2、横向比较2022年各省的考试题：（1）所涉及的题目类型：①应用题；②求参数的取值范围；③判断函数的单调性或求单调区间；④证明不等式；⑤具体函数的极值，最值及切线方程间的运算；⑥创新题：导数和函数，方程，不等式，线性规划及函数的零点的结合题。(2)题目特点及分析：①与导数有关的题目多为高档题。多和方程，不等式，函数联系。②原函数多为三次函数、指数函数与二次函数结合或对数函数与二次函数结合，求导后多转化为定义在上的二次函数，或定义域为某一区间的二次函数，③导数的应用涉及面广，考查的范围大，但与定积分有关的题目基本没有，希望引起同仁的注意，这也是在考试范围之内。知识网络导数概念导数概念平均变化率瞬时变化率导数的几何意义几个初等函数的导数导数在研究函数中的应用函数的单调性函数的极值和最值生活中的优化问题导数导数的运算法则2022考纲解读1、了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念；2、熟记基本导数公式。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用；3、了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数；4、了解复合函数的概念（理科）。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。2022命题趋势导数是高考重点考查内容之一，其中运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2022年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2022年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，预测2022年高考呈现以下几个特点：（1）注意基本概念、基本性质、基本公式的考察及简单的应用；高考中本讲的题目一般为选择题、填空题，考查定积分的基本概念及简单运算，属于中低档题；（2）定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型热点题型解读考点一、导数的概念与运算1、（2022全国卷2文7）若曲线在点处的切线方程是，则（A）(B)(C)(D)【解析】∵，∴，在切线，∴【命题意图】本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程2、（2022全国卷2理10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（A）64（B）32（C）16（D）8【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..3、（2022辽宁文12）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角则的取值范围是(A)[0,)(B)（C）(D)【解析】选D.，，即，【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。4、（2022江西理12）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为【解析】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。【命题立意】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。5、（2022天津文20）已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=,f’(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=.令f’(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-f(x)极大值当等价于解不等式组得-5<a<5.因此.若a>2，则.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：X0f’(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）>0等价于即解不等式组得或.因此2<a<5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0<a<5.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.考点二、导数在函数中的应用题型一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。6、（2022辽宁理21）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].题型二、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，极值点、最值等问题这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题。解决极值，极值点问题转化为研究函数的单调性；参数的取值范围转化为解不等式的问题；有时需要借助于方程的理论来解决。从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想。7.（2022天津理21）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（Ⅲ）如果，且，证明【解析】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分（Ⅰ）解：f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).（Ⅲ)证明：（1）若（2）若根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2.题型三、函数，导数，方程，不等式综合在一起，利用导数的几何意义，解决求函数的解析式、参数值、极值、切线方程，单调性及切线方程有关的问题此类问题求单调性的过程就是解一元二次不等式和高次不等式的问题。从而达到考查化归与转化的数学思想。8、（2022北京文）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，∴（Ⅱ）∵,当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴此时是的极大值点，是的极小值点.题型四、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决极值，最值等问题。求极值的过程就是讨论函数单调性及解含参数的不等式问题；通过构造函数，以导数为工具，证明不等式，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。9、（2022年，山东卷）已知函数为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当时，有【解析】（Ⅰ）定义域为，当时， ∴①当时，，∵，∴恒成立，即在上恒成立，故在上为减函数，∴无极值。②当时，由得，判别式，∴不等式对恒成立，从而在上恒成立，故在上为减函数，∴也无极值。③当a>0时，由，即，判别式，∴方程有两个不同实根，解之得： 又时，恒成立，∴当时，，当时，，故在上为减函数，故在上为增函数，∴在处有极小值为 综上所述，n=2时，当a>0时，在处取得极小值，极小值为当a≤0时，无极值.（Ⅱ）证明：当时，当时，对任意的正整数n，恒有，∴故只需证明即可，下面直接作差构造函数证明：令则当时，故在上单调递增，因此当时，，即成立.故当时，有，即题型五、函数，导数，方程，不等式综合在一起，解决求参数值、单调性问题‘用导数探讨函数图像的交点求解参数的取值范围和解决有关证明问题，常常借助极值的分布特征，再结合函数单调性，函数的零点值、端点值，画出原函数的草图来解决。值得强调的是：必须考虑函数的定义域，从而达到考查数形结合的思想10、（2022广东卷理）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．解析（1）依题可设()，则；又的图像与直线平行，，设，则当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时，解得当时，解得（2）由()，得当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，，函数有两个零点，即；若，，函数有两个零点，即；当时，方程有一解,,函数有一零点综上，当时,函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点思维方法小结（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的的取值范围为B，则应有.如：.（2）最值与极值的区别与联系：①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函