二次函数与幂函数新高考数学自主复习

第2章

函数的概念与基本初等函数Ⅰ

目录第7节函数与方程第2节函数的基本性质第6节函数的图像第5节对数与对数函数第4节指数与指数函数第3节二次函数与幂函数第8节函数模型及其应用第1节函数的概念真题自测考向速览必备知识整合提升考点精析考法突破第3节二次函数与幂函数第3节二次函数与幂函数真题自测考向速览考点1二次函数的解析式1．已知函数y＝ax－1＋3(a>0，a≠1)的图像过定点P，如果点P是函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的顶点，那么b，c的值分别为()A．2，5B．－2，5C．－2，－5D．2，－5【答案】B【解析】第3节二次函数与幂函数2．[广东揭阳三中2020届月考]已知二次函数f(x)满足f(2x)＋f(x－1)＝10x²－13x＋7，则f(f(1))＝()A．0B．1C．4D．115【答案】B【解析】由题意，设f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，则f(2x)＋f(x－1)＝4ax²＋2bx＋c＋a(x－1)²＋b(x－1)＋c＝5ax²＋(3b－2a)x＋2c＋a－b.又f(2x)＋f(x－1)＝10x²－13x＋7，因此f(x)＝2x²－3x＋1，所以f(1)＝2－3＋1＝0，f(f(1))＝f(0)＝1.第3节二次函数与幂函数考点2二次函数的图像与性质3．[浙江2017·5]若函数f(x)＝x²＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为函数f(x)＝x²＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值、最小值在f(0)＝b，f(1)＝1＋a＋b，第3节二次函数与幂函数4．[河北张家口2020届开学考试]已知函数f(x)＝x³－mx²＋2nx＋1，f′(x)是函数f(x)的导数，且函数f′(x)的图像关于直线对称．若在[1，π]上f(x)≥1恒成立，则实数n的取值范围为()第3节二次函数与幂函数【答案】C【解析】依题意可得f′(x)＝3x²－2mx＋2n.因为f′(x)的图像关于直线对称，第3节二次函数与幂函数【解析】【答案】第3节二次函数与幂函数6．[江西南昌2019一模]若对任意t∈[1，2]，函数f(x)＝t²x²－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________．【解析】【答案】（－∞,]第3节二次函数与幂函数考点3幂函数的图像与性质7．[内蒙古呼市二中2020届月考]若幂函数y＝f(x)的图像过点(8，)，则函数f(x－1)－[f(x)]²的最大值为()A.

B．C.

D．－1【解析】【答案】C第3节二次函数与幂函数【答案】A【解析】(1)定义函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数．其图像称为抛物线．(2)表达式①一般式：y＝______________(a≠0)．②顶点式：y＝________________(a≠0)，其中__________为抛物线的顶点坐标．③交点式：____________________(a≠0)，其中x₁，x₂是抛物线与x轴交点的横坐标．第3节二次函数与幂函数必备知识整合提升

1．二次函数的定义和表达式2．二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图像及其性质第3节二次函数与幂函数第1节函数的概念第1节函数的概念3．关于二次函数的几个常用结论第3节二次函数与幂函数(1)已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)．①若f(x)的图像与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x₁，x₂是方程f(x)＝0的实根，且|AB|＝|x₁－x₂|＝＝；②f(x)＞0恒成立⇔③f(x)＜0恒成立⇔(3)函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)零点的分布问题设x1，x2是实系数一元二次方程ax²＋bx＋c＝0(a＞0)的两根，即函数y＝f(x)＝ax²＋bx＋c(a>0)的零点，则函数y＝f(x)的零点的分布等价不等式组的关系是：第3节二次函数与幂函数(2)关于函数f(x)＝a(x－h)²＋k(a＞0)，x∈[p，q]的最值问题若h[p，q]，则x＝h时有最小值k，最大值是f(p)与f(q)中较大者；若h[p，q]，则f(p),f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值．第3节二次函数与幂函数对于二次函数零点的分布情况，关键在于以下四点：①抛物线开口方向；②判别式与0的大小关系；③对称轴与区间的关系；④区间端点处函数值的正负情况．4．幂函数一般地，形如________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.幂函数有以下特征：①自变量x处在幂底数的位置，幂指数α为常数；②的系数为1；③只有一项.第3节二次函数与幂函数5．幂函数的图像和性质(1)当α＝1，2，3，，－1时，幂函数

的图像如图．幂函数在第一象限内的图像，以直线x＝1为界，当0<x<1时，α越大，图像越低(即图像越靠近x轴，可记为“指大图低”，不包含)；当x>1时，α越大，图像越高(即图像离x轴越远).第3节二次函数与幂函数第3节二次函数与幂函数(2)幂函数的性质观察(1)中图可以得到常见幂函数的特征如下：[0，＋∞)且x≠0[0，＋∞)[0，＋∞)且y≠0奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数第3节二次函数与幂函数增[0，＋∞)(－∞，0)[0，＋∞)增(0，＋∞)(－∞，0)第3节二次函数与幂函数①幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否出现在第二、三象限要看函数的奇偶性．②所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过定点(1，1)．③单调性：在区间(0，＋∞)上，当α＞0时，是增函数；当α＜0时，是减函数．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数.考点精析考法突破考点1二次函数的解析式第3节二次函数与幂函数求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件选择恰当的二次函数解析式的形式，选择规律如下：第3节二次函数与幂函数[陕西汉中2020届月考]已知二次函数f(x)的图像经过点(2，－6)，方程f(x)＝0的解集是{－1，4}，则f(x)的解析式为________．【答案】f(x)＝x²－3x－4【解析】因为f(x)是二次函数，且方程f(x)＝0的解集是{－1，4}，即f(x)的图像过点(－1，0)和(4，0)，所以可设f(x)＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)．又因为f(x)的图像经过点(2，－6)，所以(2＋1)×(2－4)a＝－6，即a＝1.故f(x)＝(x＋1)(x－4)＝x²－3x－4.第3节二次函数与幂函数1．[陕西宝鸡2019期末]已知二次函数f(x)＝x²＋bx＋c满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(0)＝0，则f(x)的解析式为________．【答案】【解析】第3节二次函数与幂函数2．[吉林长春外国语学校2019月考]已知f(x)是二次函数．若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)的解析式为________．【答案】【解析】考点2二次函数的图像与性质第3节二次函数与幂函数(1)涉及的单调性，可结a的符号(a>0或a<0)及其图像的对称轴求解；(2)涉及由二次函数复合而成的函数的单调性，可结合复合函数单调性的判断及二次函数的单调性求解；(3)涉及

的单调性，可结合其图像特征求解.1．二次函数的单调性第3节二次函数与幂函数(1)定轴定区间，无参数存在时，一般先用配方法化为

的形式，得其图像的顶点坐标(h，k)和对称轴方程x＝h，结合对称轴与区间位置关系得最值．若x∈R，则(a＞0).(2)动轴定区间，结合函数单调性讨论对称轴是否在区间.(3)动区间定轴，结合函数单调性，讨论区间与对称轴的位置关系.2．二次函数在闭区间上的最值第3节二次函数与幂函数3．与二次函数有关的不等式恒成立的条件第3节二次函数与幂函数【答案】B.【解析】【答案】B第3节二次函数与幂函数【解析】.第3节二次函数与幂函数【解析】第3节二次函数与幂函数第3节二次函数与幂函数【答案】C第3节二次函数与幂函数【答案】B3．[湖南宁乡一中2019联考]定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．[－2，2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】定义在R上的函数f(x)＝－x³＋m单调递减，所以函数g(x)＝x²－kx＋m在[－1，1]上单调递减，所以g(x)图像的对称轴方程满足，所以k≥2.第3节二次函数与幂函数【答案】C【解析】第3节二次函数与幂函数【答案】D5．[山东章丘四中2020届月考]已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数在区间(1，＋∞)上一定()A．有最小值B．有最大值C．是减函数D．是增函数【解析】由二次函数y＝f(x)在区间(－∞，1)上有最小值，可知其图像的对称轴方程x＝a满足a<1.当a<0时，函数和函数在(1，＋∞)上都为增函数，函数在(1，＋∞)上为增函数；当a＝0时，g(x)＝x在(1，＋∞)上为增函数；当0<a<1时，由对勾函数的单调性知，函数在上单调递增，因为(1，＋∞)⊆，所以函数在(1，＋∞)上为增函数．综上所述，函数在区间(1，＋∞)上为增函数.第3节二次函数与幂函数【答案】C【解析】.第3节二次函数与幂函数【答案】C【解析】由y＝f(x)为偶函数，可知y＝f(2－x²)也为偶函数．令m＝2－x²，y＝f(2－x²)即为y＝f(m)，在[0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．因为m＝2－x²在[0，＋∞)上单调递减，且0≤x≤时，m≥0，所以m＝2－x²在[0，]上单调递减，y＝f(m)单调递减，所以f(2－x²)在[0，]上单调递增.第3节二次函数与幂函数【解】(1)不等式x²＋(1－a)x－a<0等价于(x－a)(x＋1)<0，当a<－1时，不等式的解集为(a，－1)；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a>－1时，不等式的解集为(－1，a)．第3节二次函数与幂函数考点3

幂函数的图像与性质第3节二次函数与幂函数(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图像关于y轴对称；(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图像关于原点对称；(3)当m为偶数时，自变量满足x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图像只在第一象限(或第一象限及原点处).1．形如(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数的图像和性质第3节二次函数与幂函数(1)对于幂函数图像的掌握只要抓住第一象限内的三条线(x＝1，y＝1，y＝x)分第一象限为六个区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定第一象限内图像的位置后，其余象限内的图像由函数奇偶性确定．(2)在比较幂函数值的大小时，必