工程制图画图

1、学习投影法，重要是正投影法的基本理论及其应用。2、研究在二维平面上表达三维空间形体（图示法）及在平面上运用图形来解决空间几何问题（图解法）。3、培养和发展空间想象能力、构思能力和发明能力。由于画法几何所研究的是空间形体与它在平面上的图形之间的关系，因而在培养和发展学生对三维形状和相关位置的空间逻辑思维和形象思维能力方面起着及其重要的作用。4、培养学生绘制和阅读建筑工程图样的基本能力。学会使用各种绘图工具，并熟悉制图规定等；熟悉并能适当运用各种表达物体形状和大学的方法。三、学习方法画法几何的特点是理论性强、实践性强。因此，同学们在学习过程中要注意几点方法：1、要循序渐进。本课程是按点、线、面、体，由浅入深、由简到繁、由易到难的顺序编排的，前后联系十分紧密。学习时，必须对前面的基本内容真正理解，基本作图方法纯熟掌握后，才干往下作进一步的学习。2、要下工夫培养空间思维能力。由于画法几何学研究的是图示法和图解法，涉及的是空间形体和平面图形之间的相应关系。所以，学习时必须经常注意空间几何关系的分析，以及空间几何元素与平面图形的联系。对于每一个概念、每一个原理、每一条规律和每一种方法，都要弄清它们的空间意义和空间关系，碰到一时不懂的地方，要多问几个为什么，这样才干逐渐掌握相关知识、掌握读图和作图的规律；掌握课程的基本内容并善于运用它们。无论是学习或做作业，都要画图和读图相结合。通过认真学习，进一步掌握读图和作图规律：读图平面图形←＝→空间形体（二维）作图（三维）3、必须勤动手、多做题，不断提高解题能力。复习时不能单纯阅读课文，做题的过程也是学生运用所学的知识解决问题的过程，这一方面可以巩固知识、加深理解，另一方面也可提高学生的空间想像能力和逻辑思维能力，提高做题的速度和准确率。解题时，一方面要弄清哪些是已知条件，哪些是需规定作的。然后运用已学过的内容进行空间分析，研究如何从已知条件获得所规定作的结果，要通过如何的环节才干达成最后的结果。初学时，可以把这些环节记录下来，最后运用基本作图方法按照所拟定的解题环节一步步的进行作图，作图时要力求准确。最后还应作一次全面的检查，看作图过程中是否有错误，作图是否精确等。4、养成良好的学习习惯，提高自学能力。这门课程的基本理论多、空间几何关系抽象。因此，规定学生一定要注意解决好课前、课中和课后的关系，即：课前认真做好预习，带着问题听课；上课时思想要集中，并要认真思考；课后要及时复习，并完毕作业，及时消化、巩固所学的内容；同时，做题要按照环节逐步完毕，力求准确。因此，我们在进行课堂教学的同时，也要布置作业和预习下节课的内容，以加强学生的学习、分析和理解问题能力的培养。总之，在这门课的学习过程中，一定要多思考、多做题，认真听、认真记，及时复习、及时消化。也许有一部分同学刚开始时也这样做了，但学习的效果不太好，也许是由于你的三维立体感（空间想像能力）尚不太强。我相信，只要大家多练习，循序渐进，不断努力，一定可以轻松学习好这门课程。四、工程上常用的几种图示法土木建筑工程中常用的投影法有多面正投影法、轴测投影法、透视投影法和标高投影法。多面正投影法：由物体在两个互相垂直的投影面上的正投影，或在两个以上（其中相邻的两投影面互相垂直）的投影面上的正投影所组成。例如右图是由三级踏步和左、右各一块巨型栏板所构成的台阶的三面正投影图，由这个台阶分别向正立的、水平的和侧面的三个互相垂直的投影面所作的正投影组成图中被遮的不可见投形画成虚线。多面正投影图是土木建筑工程中最重要的图样，本书重要讲述多面正投形法。轴测投影法：是将物体连同其直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投影在单一投影面上所得的图形，可以是正投影，也可以是斜投影，通常省略不画坐标轴的投形。具体将在本课程第九章讲解。轴测投影有较强的立体感，在土木建筑工程中常用来绘制给排水、采暖通风和空气调节等方面的管道系统图。透视投影法：是用中心投影法将物体投射在单一投影面上所得的图形透视投影图，有较强的立体感，形象逼真，如拍摄的照片和人的视觉形象那样，图中通常也不画出不可见的投影。当投射中心、投影面和物体的相对位置配置得不同时，可以获得不同的透视图，正如照相机在不同的地点、以不同的方向拍摄，会得到不同的照片，以及在不同的地点、以不同的方向视物，会得到不同的视觉形象。在建筑设计中，常用透视图作为表现房屋、道路和桥梁等的外貌、室内装修与布置的视觉形象的效果图。标高投影法：是在物体的水平投影上加注某些特性面、线以及控制点的高程数值和比例的单面正投形。它常用来表达地形和工程建筑物。本书将在第十章阐述标高投影的作图原理和画法，在土木建筑专业图中还将应用到一些与地形有关的用等高线表达的土建图样。五、画法几何学发展概述在古代，由于丈量田地、兴修水利和航海等的需要，产生了度量几何。在绘画、雕刻、建筑防御工事、水利工程和房屋等方面，都需要精确和富有表达性的表达方法。但应用文字和语言都不也许十分完整和清楚地描述所要表达的对象，因而提出了许多有关必须在平面上表达表达空间物体的新的几何问题。由于人们的长期努力，逐渐的规定出一些解决问题的方法，据此可以在一定条件下和一定限度上满足所提出的规定。画法几何学正是由于人们生产实践的需要而产生和发展的科学理论。然而，在其形成为一个科学体系的很久以前，画法几何学的各种方法和规则早已由于世间的需要而应用于技术和艺术的各个领域中。例如，根据我国古代文献的记载，从传说中的禹开始就进行了大规模的治水工程，以便从事农业生产。在治水工程中，必先探测地形、水路，因此绘制地形图就发展起来了。营造技术在我国也是最早的科学之一。自周代以来，就有很多关于建筑的记载。其中完整无遗、保存至今的是宋代李诫所著的《营造法式》，该书著于，这部书完整的总结了两千数年间的我国建筑的伟大成就。全书共36卷，其中6卷为图册，所列图样大都是对的地按正投影规则绘制的，也有很多图样已完全脱离了艺术画的范畴，而用轴测画法来表达。此外在其他技术书籍中也可看到很多图样。例如明代宋应星所著的《天工开物》中就有大量插图，其中的很多图样就和现代的轴测投影相差不多，有的还适当运用了阴影。画法几何学完整而系统的著述，直到公元1795年才有法国的工程师和数学家加斯帕·蒙日所发表，蒙日所说明的画法是以互相垂直的两个平面作为投影面的正投影法。该方法保证了物体在平面上的图像明显、对的，且便于度量。蒙日著作发表后对世界各国科学技术是第一生产力的发展产生了巨大的影响。在以后的一个多世纪内画法几何学得到了广泛的应用和发展。画法几何这一中文名称是由我国著名物理学家萨本栋和著名教育家蔡元培大约在192023翻译定名的。在我国社会主义现代化建设中，画法几何学在国民经济建设和智力资源开发等方面都起着重要的作用。最近20数年来，随着计算机绘图系统在我国的研制、引进和开发，计算机绘图和图形显示技术在实际实用中得到了迅速的发展。为了适应科学技术的需要，在画法几何学方面把解析几何的数解法和画法几何的图解法有机地结合起来，使空间几何问题的解决得以从手工绘图转变为计算机绘图和图形显示，并实现对本课程的计算机辅助教学。这将对画法几何学的教学及其应用产生及其深远的影响。六、推荐参考书1、何铭新主编《画法几何及土木工程制图（第二版）》，武汉理工大学出版社；2、汪颖、龚伟主编《画法几何与建筑工程制图》，科学出版社；3、何斌、陈锦昌、陈炽坤主编《建筑制图》，高等教育出版社；4、陈文耀、陈启粱主编《建筑工程制图》，同济大学出版社。同时，同学们还可以运用网上资源进行学习。第二节投影的基本知识一、投影的概念投影法是从平常生活中光照物体的呈影现象中进行几何抽象、概括出来的。投影面：承受影子的平面H。△abc为物体ABC在投影面上的投影。从几何意义上解释，点A、线段AB、空间平面△ABC的投影。投影法的概念：投射线通过物体，向选定的面投射得到物体投影的方法称为投影法。画法几何的基础是投影法。构成投影体系的五项要素：投影中心：发出投射线的投射源投射线：从投射中心通过物体到达投影面的连线空间物体：被表达的物体投影面：用于承影的平面投影：物体在投影面上得到的投影图二、投影的分类按照投影中心与投影面的距离，投影分为：1、中心投影投影中心距离投影面有限远，投射线相交于该点时，所得到物体的投影。如图1。中心投影的大小由投影面、空间物体和投射中心三者的相对位置来拟定。投影中心：投射中心为一点。投射线：由一点发出，呈放射状。应用举例：透视投影法。2、平行投影投影中心距离投影面无限远，投射线互相平行时，所得到物体的投影。如太阳光产生的投影。只要给出投影面和投影方向，空间物体与投影面距离远近不影响投影的大小。投影中心：投射中心为无穷远处投射线：投射线互相平行应用举例：正投影法、轴测投影法、标高投影法根据光线与投影面的相对关系，平行投影又分两种：①斜投影：投射线与投影面倾斜时所得到的平行投影。②正投影：投射线与投影面垂直时所得到的平行投影。如图2。图1图2三、正投影的特性正投影法是工程制图中绘制图样的重要方法。以后提到的投影均为正投影，它有7个特性。1、同素性：点、直线、平面的正投影仍分别为点、直线、平面。如：A、BC、DEF。2、从属性：若点在直线上，则该点的正投影在直线的正投影上。如G。3、定比性：若点在直线上，则点分线段所成的比例等于该点的正投影分线段的正投影所成的比例。如：BG:GC=bg:gc。4、真实性：若线段或平面图线平行于投影面，则它们的正投影反映线段实长或平面图形的实形。如：BC＝bc,△DEF≌△def。5、积聚性：若直线或平面垂直于投影面，则直线的正投影为一点，平面的正投影为一线。6、平行性：若两直线段平行，则它们的正投影也平行，且两线段的长度之比等于其正投影的长度之比。7、类似性：若平面图形倾斜于投影面，则它的正投影不反映实形，而是原平面图形的类似性。四、立体的三面投影仅凭物体的单面正投影是局限性以拟定空间形体的形状。通常，我们多是选用三面正投影来完整地表达并拟定空间形体的形状。1、立体三面投影的形成（1）、建立三面投影体系：V⊥H、H⊥W、W⊥VOX⊥OY⊥OZ，投影轴（2）、立体的三面投影及展开投影线V面不动，H面绕OX轴向下旋转90度，W面绕OZ轴向后旋转90度，从而使V、H、W三个面处在同一平面上。由三个投影可知：立体的每个投影反映立体两个方向的尺寸。即：水平：长、宽；正面：长、高；侧面：高、宽。2、立体三面投影的性质（H水平，V正，W侧）正面投影和水平投影“长对正”；正面投影和侧面投影“高平齐”；水平投影和侧面投影“宽相等”。正面投影：上、下、左、右；水平投影：前、后、左、右；侧面投影：上、下、前、后。小结：这节课，我们重要讲了两部分内容。对于第一部分，大家了解就可以了，但一定要注意本课程的学习方法，并不断总结、完善，特别要注意提前预习、做好练习、课后复习。第二部分，同学们要掌握正投影的特性（7个）和三面投影的“三等关系”，这是以后的学习和工作都要经常用到的。作业题：预习点的投影。第一节点的两面投影点在单一投影面上的投影能否唯一拟定空间点的位置？一、点的两面投影及表达法根据正投影的同素性，空间点在投影面上的投影仍是点。但是只有点的一个投影是不能拟定点的空间位置的。对于空间点来说，在互相垂直的投影面体系中，只有作出点的两面投影，才可拟定其空间位置。将空间点A放在水平投影面H及正立投影面V上所形成的两面投影体系中，分别向H及V面作垂直投射线，形成：a：A的水平投影；a’：A的正面投影注意：A、a、a’各自表达的含义。二、点的两面投影特性为使点的两面投影画在同一平面中，规定：V面不动，H面连同水平投影a绕OX轴向下旋转90°，使其与V面重合，就得到点A的两面投影，如下图：通常在投影图中不画投影面的边界，如上图右。点A的两面投影a、a’可拟定该A点的空间位置。由此可推出点的两面投影特性：1、点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即a’a⊥OX。2、点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离，aax=Aa。点的两面投影规律(V/H两面投影体系中) 1、点的投影连线垂直于投影轴。2、点的投影到投影轴的距离,等于该点到相邻投影面的距离。三、两投影面的扩展在两面投影体系中，若把H面向V面之后扩展，把V面向H面之下扩展，就可把投影平面分为4个部分，即4个分角，逆时针命名：第一分角：H面之上，V面之前；第二分角：H面之上，V面之后；第三分角：H面之下，V面之后；第四分角：H面之下，V面之前。若在四个分角内，分别有四个空间点A、B、C、D位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ角内，当将投影面展开，即V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°（V面后的H面向上旋转）至于V面重合。则四个点在各自分角內的两面投影特点如下图：Ⅰ分角中：A点正面投影a’位于OX轴之上，a位于OX轴之下；Ⅱ分角中：B点正面投影b’位于OX轴之上，b位于OX轴之上；Ⅲ分角中：C点正面投影c’位于OX轴之下，c位于OX轴之上；Ⅳ分角中：D点正面投影d’位于OX轴之下，d位于OX轴之下。第二节点的三面投影一、三面投影体系的建立在两面投影体系基础上，包含OY和OZ轴做出第三个投影面――侧立投影面，即W面。三面投影体系的展开同两面投影体系相似。二、点的三面投影形成及其特性假设三面投影体系中有一点A，过点A分别向三个投影面作投射线，投射线与投影面的交点分别记为a、a’、a’’。为便于作图，保持V面不动，将H面连同水平投影a绕OX轴向下旋转90°，W面连同a”绕OZ轴向后旋转90°，都与V面重合，就得到点的三面投影（如上图）。由图可知，三面投影有以下特性（点的三面投影规律）：1、点的投影连线垂直于投影轴。2、点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标，也就是该点与相应的相邻投影面的距离。假如将三投影面体系当作直角坐标系，则：投影轴当作坐标轴，投影面当作坐标面，点O当作坐标原点。根据解析几何，空间点的位置可由其三维坐标决定，点到投影面的距离也可用坐标值表达，即X、Y、Z分别表达空间点到W、V、H面的距离。从而点的投影与坐标关系如下：1、点的投影与空间坐标有惟一相应关系。2、点的投影到投影轴的距离,等于点的坐标。点的正面投影到OZ轴的距离，等于X坐标值；点的水平投影到OX轴的距离，等于Y坐标值；点的正面投影到OX轴的距离，等于Z坐标值。即a(x，y)；a’(x，z)；a”(y，z)。所以，在点的三面投影中，任何两个投影都能反映出点到三个投影面的距离。因此，若已知点的两面投影，便能拟定该点的坐标值，进而拟定其空间位置。反之，已知点的坐标，可以画出三面投影。例1：已知a、a’，求a”。解：略例2：已知点B的坐标为（2，3，4），作点的三面投影。解：略三、各种位置点的投影点除位于空间位置外（前面已讲），尚有：投影面上的点，点的一个坐标为零；投影轴上的点，两个坐标为零；与原点O重合的点，三个坐标均为零。投影面和投影轴上的点投影特性：1、投影面上的点有一个坐标为零，在该投影面上的投影与点自身重合，在相邻投影面上的投影分别在相应的投影轴上。2、投影轴上的点有两个坐标为零，在包含这条投影轴的两个投影面上的投影都与该点自身重合，在另一投影面上的投影则与原点O重合。3、与原点O重合的点，三个坐标都为零，三个投影重合于原点。第三节两点相对位置和无轴投影一、两点的持相对位置相对位置是指空间两点的上下、左右、前后关系。正面投影，判断上下、左右位置关系；水平投影，判断前后、左右关系；侧面投影，判断前后、上下关系。（1）、两个点的投影沿左右、前后、上下三个方向所反映的坐标差，即两点相对投影面W、V、H的距离差，能拟定两点的相对位置。坐标值越大，就越左、越前、越上。（2）、特别要注意的是：对于水平投影而言，由OX轴向下代表向前；对侧面投影而言，由OZ轴向右也代表向前。通常判别两点在空间的位置，是将其中的一点作为基准点，判断另一点（即比较点）在基准点之上（下）、前（后）、左（右）多少距离。反映在投影中，是在拟定了基准点的前提下，找出两点在同一投影面上的投影的同名坐值的代数差（比较点的坐标减去基准点的坐标）△X、△Y、△Z。假如为正，则比较点在基准点的左、前、上方；若为负值，则相反。二、重影点及其可见性（1）、两个或两个以上的空间点在某投影面上的投影重合，称为该投影面上的重影点。该两点同面投影重合于一点的性质称为重影性。（2）、对W、V、H重影点的可见性判别原则分别为左遮右、前遮后、上遮下。点的不可见投影应加注（）。三、无轴投影对于不涉及点到投影面距离的作图问题，可不画出投影轴，即为无轴投影。第四节点的辅助投影一、辅助投影的基本概念如下图(a)所示，DABC是铅垂面，它在H／V投影体系中的两个投影都不反映实形。如何使DABC的投影反映实形呢？取一个平行于DABC且垂直于H面的V1面来代替V面，则构成一个新的H／V1投影体系。DABC在V1面上的投影Da1¢b1¢c再以V1面和H面的交线X1为轴，使V1面旋转至和H面重合，就得出在H／V1体系的投影图，如下图(b)所示。（a）(b)图V／H体系变为V1／H体系总结一下：新投影面的选择原则是：(1)新投影面必须和空间几何元素处在有助于解题的位置。(2)新投影面必须垂直于原投影体系中的一个投影面，并与它组成新投影面体系。二、点的投影变换规律点是最基本的几何元素，其投影变换自身没故意义，但研究点的投影变换规律是学习换面法的基础，能推导出换面法的一些基本规律。1．点的一次变换（辅助投影）在作点的一次变换时，可以变换V面，也可以变换H面。（1）变换V面如图6-2（a）所示，空间有一个点A，它在V-H体系中的投影是a和a¢。用垂直于H面的V1面代替V面和H面构成一新的直角投影体系（H、V1）。A点在V1-H体系中的投影是a和a1¢。V1和H的交线X1为新投影轴。V1绕新轴X1按图示箭头所指的方向旋转90°与H面重合，就得到图6-2（b）所示的投影图。从图中可看出，a1¢a⊥X1轴；a1¢ax1=a¢（a）(b)图点的一次变换（变换V面）具体作图环节如下：（1）在被保存的水平投影a附近作新轴X1（2）自a向新轴X1引垂线。（3）在此垂线上，从新轴X1起截取a1¢ax1=a¢ax，a1¢即为所求。注意：新旧两投影体系具有公共水平面H，故Aa=a’ax=a1’ax1（2）变换H面如图6-3(a)所示，空间有一个点B，它在V-H体系中的投影是b和b¢。用垂直于V面的H1面代替H面和V面构成一新的直角投影体系（H1、V）。(a)(b)图点的一次变换（变换H面）B点在H1-V体系中的投影是b1和b¢。V和H1的交线X1为新投影轴。H1绕新轴X1按图示箭头所指的方向旋转90°与V面重合，就得到如图6-3(b)所示的投影图。从图中可看出，b¢b1⊥X1轴；b1bx1=bbx。具体作图环节如下：（1）在被保存的水平投影b¢附近作新轴X1（2）自b¢向新轴X1引垂线。（3）在此垂线上，从新轴X1起截取b1bx1=bbx,b1即为所求。综上所述，无论变换V面或H面，可以得到点的一次投影变换的规律是：（1）点的新投影和不变投影的连线必垂直于新投影轴。（2）点的新投影到新投影轴的距离等于被替换的旧投影到旧投影轴的距离。(3)按实际需要拟定投影轴。2．点的二次变换（复辅助投影）在解决实际问题时，有时需要连续地更换两次、甚至更多次的投影面。但当你掌握了点的一次换面规律以后，就不难解决了。请看图例。在图5-4（a）中，第一次变换，用垂直于H面的V1面代替V面，将V/H体系变换成V1/H体系。第二次变换，用垂直于V1面的H2面代替H面，将V1/H体系变换成V1/H2体系。在每一次更换投影面过程中，点的投影作图均与更换一次投影面相同，如图5-4（b）所示。(a)(b)图6-4点的二次变换（现变换V面）注意：在多次变换投影面时，新投影面的建立除了符合前面讲的两个条件外，还必须交替变换H面和V面。§2－1直线的投影大家知道，通过两点可以画一条直线，而空间一直线可由该直线上的任意两点所决定，直线的投影一般仍是直线。因此，作直线上的投影，需先作出直线上任意两点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影即可。直线的投影特性：除直线垂直于投影面，在该投影面上的投影积聚成点外，直线的投影仍为直线，只要作出两个端点的投影，连线即为直线投影。平行于投影面的直线在该投影面上的投影，与直线自身平行且等长；倾斜于投影面的直线在该投影面上的投影短于直线的真长。§2－2、直线上的点一、直线上点的投影特性从下图可以看出，直线AB上的任一点K有以下投影特性：（1）.直线上的点的投影必在该直线的同面投影上（从属性）；（2）.直线的点分割线段的长度比，与该点的投影分该线段的投影的长度比相等（定比性）。如下图所示，K分AB为AK:KB，则ak:kb=a'k':k'b'=a"k":k"b"。反之，若一点的各个投影在一直线的同面投影上，分线段各投影长度成相同之比，则该点定在此直线上。这是我们判断点是否在直线上的依据。一般情况，根据点的两个投影是否在直线的同面投影上就可拟定该点是否属于直线。但当直线是某一投影面平行线时，还需分析点在直线所平行的投影面上的投影是否满足从属性，或运用定比性判断。例1：已知直线AB的投影图，试将AB直线提成2:3两段，求分点C的投影。分析：因点C将AB直线提成2:3，则C点必在AB直线上，c在ab上，c'在a'b'上，且ac:cb=a'c':c'b'=2:3。作图时，可过a点任作一直线aD0，并在此直线上以任意长度取5等分，得端点B0。在aB0上取第二等分点C0，运用平行定比性求得c、c'。例2：已知侧平线AB及点C的两面投影，判断C是否在直线AB上。解：方法一：作图。方法二：定比性判断解题时穿插提问：判断点是否属于直线可用几种方法？二、直线的迹点迹点：直线与投影面的交点。它是直线与投影面的共有点，具有直线上的点和投影面上点的投影特性。在三面投影体系中，特殊位置直线迹点为：投影面平行线只有两个迹点。投影面垂直线只有一个迹点。我们一般是在两面投影体系中来讨论一般位置直线的迹点。水平迹点：H面上迹点，记为M。迹点分为正面迹点：V面上迹点，记为N。侧面迹点：W面上迹点，记为S。1、求水平迹点M，M属于H面，故m′必在OX轴上；又点M属直线AB，故m′必在a′b′上，m在ab上。2、求正面迹点NN属V面，故n必在OX轴上，又N属直线AB，故n在ab上，n′在a′b′上。总结，迹点的投影特性：①迹点在投影面上的投影是迹点自身。即M≡m，N≡n′，S=s″；②迹点的另一投影必是直线相应投影与投影轴的交点因迹点属于投影面，故各迹点就将直线分为居于不同分角的几部分。§2－3直线的实长及其对投影面的倾角一、直线的实长及其对投影面的倾角那么如何求得一般位置直线的实长及其与投影面的倾角呢？我们将借助直角三角形的方法。求一般位置直线的实长和倾角，不如特殊位置的直线（投影面平行线和垂直线）直观、易解，只有运用直角三角形法。运用直线的某一投影（如水平投影ab）和直线两端点与这个投影面坐标差（如Δz）求一般位置直线的实长及与投影面夹角的方法称为直角三角形法。现以下例说明具体的求解环节。

例4：如图(a)所示，已知直线AB的两面投影ab和a'b'，求直线AB的实长及与水平面夹角a的实大。

分析：以水平投影ab和Δz为两条直角边构成直角三角形，其斜边是直线AB的实长，Δz的对角反映直线与水平面夹角a的实大，如图(b)。结论：当用直角三角形法求线段的实长及其对某投影面的倾角时，应以线段在该投影面上的投影长度为一直角边，以线段两端点到该投影面的距离差为另一直角边，构建直角三角形。直角三角形的斜边为线段的实长，斜边与投影长度的夹角即为空间直线对该投影面的倾角。构造直角三角形的四个条件为：斜边、两直角边和锐角，即线段的投影长，两点坐标差、真长及倾角。用直角三角形法求线段的实长及其对某投影面的倾角时，应注意：①求直线的真长，只要以它的任一投影的长度为一直角边，作出相应的直角三角形即可；若需求直线对某一投影面的倾角，则必须以直线在这个投影面上的投影长度为一直角边作行营的直角三角形。②在H、V两面体系中，只有当直线上所有点的x坐标都相等时，亦即为侧平线、铅垂线、正垂线时，α+β＝90°；其余各种情况，α+β≠90°。同样，在V、W两面体系中，只有当直线上所有点的z坐标都相等时，亦即为水平线、侧垂线、正垂线时，γ+β＝90°；其余各种情况，γ+β≠90°。例5：已知直线AB长30cm，试补全其水平投影ab。注意：一定要理解该法的原理，从而才干通过做题掌握其方法。二、已知直线的实长和倾角求解有关的定位和度量问题用直角三角形法不仅可以求作直线的真长和倾角，也可以反过来由已知直线的真长和倾角求解有关的度量和定位问题。举例讲解。（略）§2－4各种位置直线的投影特性在三投影面体系中，根据直线对投影面的相对位置，可分为：投影面平行线和投影面垂直线（特殊位置直线）、一般位置直线。2.1、一般位置直线定义：对H、V、W面都处在倾斜位置的直线。一般位置直线的α、β、γ都大于0°且小于90°；其三个投影为斜线，小于空间线段的实长，也不反映直线对投影面的倾角。投影特性：三个投影都仍为直线，且都小于线段的实长；三个投影都倾斜于投影轴，且不能反映直线对投影面的倾角。2.2、投影面平行线定义：平行于某一投影面、倾斜于另两个投影面的直线。它有三种情况：水平线：平行H面，倾斜V、W面；正平线：平行V面，倾斜H、W面；侧平线：平行W面，倾斜V、H面。同时，直线对H、V、W面的倾角分别为α、β、γ表达。左图中：正平线为SA、SC，s’a’、s’c’为实长，与OX、OZ的夹角分别反映与H、W面的倾角，水平投影和侧面投影分别平行于OX、OZ轴，不反映实长。水平线：AB、BC。侧平线：SB。通过讲解，总结平行线的投影特性：（1）、在所平行的投影面上的投影反映线段的真长及此外两个投影面的倾角。（2）、直线段的另两个投影分别平行于相应的投影轴，长度缩短。2.3、投影面垂直线定义：垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的直线。它有三种情况：铅垂线：⊥H，∥V和W；正垂线：⊥V，∥H和W；侧垂线：⊥W，∥V和H。右图中：铅垂线：AB正垂线：AC积聚为点，并垂直于侧垂线：AD相应的座标轴，且反映实长。总结出其特性：（1）、在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。（2）、在另两个投影面上的投影反映真长，且分别垂直于相应的投影轴（平行于投影轴）。§2－5两直线的相对位置我们在“点的投影”中讨论过空间两点的相对位置，即前后、左右、上下关系。空间两直线的相对位置，运用中学时学到的几何知识，知道有平行、相交和交叉三种情况。平行、相交两直线都位于同一平面上，是共面直线；交叉两直线彼此既不平行，又不相交，它们不在同一平面上，为异面直线。一、两直线平行根据绪论中讲到的平行投影的基本性质，即正投影的平行性，可知：若空间两直线互相平行，则其同面投影互相平行，且两平行线段长度之比等于其同面投影长度之比。P26图2.32中：AB∥CD，则ab∥cd，a′b′∥c′d′。也知a″b″∥c″d″,且AB:CD=ab:cd=a″b″:c″d″。反之，若两直线的同面投影分别平行且成定比，则该两直线在空间必平行。证明：ab∥cd平面abBA∥平面cdDC;又a′b′∥c′d′平面a′b′BA∥平面c′d′DC。平面abBA与平面a′b′BA相交于ABAB∥CD平面cdDC与平面c′d′DC相交于CD 一般情况下，根据直线的任意两个同面投影是否平行，即可拟定该两直线是否平行。但当两直线同时平行于某一投影面时，即对于平行于同一投影面的两直线，最佳要有一组是被平行的投影面上的投影，这样便于检查两直线是否平行。对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。在投影图上判别两直线是否平行时，若两直线处在一般位置，则只需判断两直线的任何两个同面投影是否平行即可拟定，如下图中由于直线AB、CD均为一般位置直线，且a'b'∥c'd'、ab∥cd，则AB∥CD。否则，则通常还需根据两直线在所平行的投影面上的投影是否平行来拟定（或根据定比性判断）。例6

试判断AB与CD直线是否平行。

分析：若两直线同时平行于某一投影面时，则还必须判断两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行来拟定。如下图所示，直线AB、CD为两条侧平线，虽然a'b'∥c'd'、ab∥cd，但还要通过判断侧面投影，知a"b"∥c"d"，从而鉴定AB∥CD。例7

试判断AB与CD直线是否平行。

分析：若两直线同时平行于某一投影面时，则还必须判断两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行来拟定。如下图所示，直线AB、CD为两条侧平线，虽然a'b'∥c'd'、ab∥cd，但还要通过判断侧面投影，知a"b"与c"d"相交，从而鉴定AB与CD不平行。二、两直线相交相交两直线的同面投影都分别相交；并且，同面投影的交点是同一点的投影。反之，亦然。一般情况下，两直线在空间是否相交，根据两面投影就可以直接判断，如下图所示。但假如两直线中有一条直线平行于某一投影面，则要加以判断。例8

已知两直线AB、CD相交，试补全投影。

分析：从图(a)可知，a'b'与c'd'相交于k'，运用相交两直线的投影规律就可求得cd。即过k'作c'c的平行线交ab于k，连ck并延长求得d。三、两直线交叉在空间既不平行，也不相交的两直线称为交叉两直线。交叉两直线的投影不具有平行或相交两直线的投影特性。交叉两直线的同面投影有的相交，有的平行；或者同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影，不符合点的投影规律。此时，两直线投影的交点事实上是两直线对投影面的重影点，按照重影点检定它们的可见性。交叉两直线有一个投影或两个投影平行：交叉两直线也许有一个或两个投影平行，如图所示，但不会有三个同面投影平行。两直线在三个投影面上的同面投影有四种模式：各组同面投影都分别互相平行。（平行）有的同面投影相交，有的同面投影平行。（交叉）各组同面投影都分别相交，且同面投影的交点是同一点的投影。（相交）各组同面投影都分别相交，但同面投影的交点不是同一点的投影。（交叉）交叉两直线中重影点的分析：如图中水平投影ab和cd的交点1(2)，其实是AB直线上的I点与CD直线上的II点对水平投影的重影点。同理，3'(4')是CD直线上的III点与AB直线上IV点对正面投影的重影点。根据重影点可见性的判别方法可知，水平投影中，位于AB线上的I点可见，而位于CD线上的II点不可见，即投影为1(2)。正面投影中，位于CD线上的III点可见，而位于AB线上的IV点不可见，即投影为3'(4')。§2－6一边平行于投影面的直角的投影投影特性共有三点：1、当直角的两边都与投影面不平行时，在该投影面上的投影不是直角。2、当直线的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。3、当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜与投影面时，在该投影面上的投影仍是直角（直角投影法则或定理）；而另一边垂直于投影时，在该投影面上的投影称为一条直线。直角投影法则或定理的三个条件：①空间两直线垂直，②一边平行于投影面，③投影仍互相垂直。由任意两个条件，即可推出第三条成立。因此，得出逆定理：若两直线在某投影面的投影互相垂直，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线必然互相垂直。此外：若两直线互相垂直，它们在某投影面上的投影也互相垂直，则此两直线中至少有一条直线平行于该投影面。讲教材例2－6、例2－7。§2－7直线的投影变换直线由两点拟定，求直线的投影变换，只需求出直线上两个点的投影变换，连接起来就得到该直线的投影变换后的投影。前面已经讲过，设立新投影轴必须遵循的原则是：新投影面一定要垂直于原有两面体系中的一个投影面。故在投影图上，新投影面的设立，就表现为新投影轴的设立。下面看该问题的几种情况。1．把一般位置直线变为投影面平行线其方法就是使建立的新投影轴平行于空间直线，运用正平线或水平线的投影特性，从而得到线段的实长及其与投影面的夹角。如图所示，直线AB在H／V体系中是一般位置直线。如何变换投影面使AB变成平行线呢?变换V面为V1面，并使V1∥AB。那么，直线AB在H／V1体系中就成为平行线（正平线）。AB的新投影a1¢b1¢必反映实长；a1¢b1¢与O1X1轴的夹角必等于AB自身对H面的倾角a。作图环节：（1）引新轴O1X1∥ab；（2）作出两端点A和B的新投影，得到a1¢b1¢。AB在V1面上的投影反映实长和a角。（a）(b)(c)图把一般位置直线变为投影面平行线假如变换H为H1，并使H1∥AB，那么AB在H1／V体系中也成为平行线（水平线）。作图环节如图所示（略），AB在H1面上的投影反映实长和b角。因此,若求a，则应变换V面，若求b，则应变换H面。注：O1X1只需与ab平行，它们间的距离对于求AB的实长是没有影响的。把一般位置直线变为投影面平行线的作图方法小结：（1）将一般位置直线变换成新投影面的平行线只需进行一次变换。（2）新投影轴应平行于直线的某一投影（X1//ab或X1//ab）。2.将投影面平行线变换为投影面的垂直线只需要建立一个新的投影面与该平行线垂直。若为正平线，新投影面应垂直于V面，变为铅垂线；若为水平线，新投影面应垂直于H面，变为正垂线。3．把一般位置直线变为投影面垂直线假如让某一新投影面与一般位置直线垂直，那么，该投影面与原有的两个投影面都不垂直，不符合建立新投影面的基本条件。故将一般位置直线变换成新投影面的垂直线经一次换面是不能实现的！投影面平行线能否经一次变换成为新投影面的垂直线呢？显然是可以做到的。图中新投影面H1⊥AB，此时必然H1⊥V。在新投影面体系H1-V中，AB成为H1的垂直线。

根据投影面垂直线的投影特性，新投影轴X1⊥ab，AB在H1内的投影a1b1积聚成一点，见图。图把投影面平行线变为投影面垂直线因此，将一般位置直线变换成投影面垂直线的作图环节为：将一般位置直线变换成投影面平行线；将投影面平行线变换成投影面垂直线。作图环节：（1）将AB变换成V1面的平行线；作新投影轴X1//ab；求出AB在V1内的投影a1¢b1¢。（2）将AB变换成H2面的垂直线。作新投影轴X2⊥a1¢b1¢；求出AB在H2面内的投影a2b2，a2b2积聚成一点。（a）(b)图把一般位置直线变为投影面垂直线§3－1平面的表达法平面的投影表达有两种方法：一种是用平面上的点、线和图形的投影来表达，称为平面的几何元素表达法；另一种是用平面与投影面的交线来表达，称为平面的迹线表达法。一、平面的几何元素表达法平面的空间位置可由下图所示的任何一组元素来拟定。1）不在一直线上的三点，如图(a)所示的点A、B、C；2）一直线与直线外一点，如图(b)所示的点C和直线AB；3）相交两直线，如图(c)所示的直线AB和AC；4）平行两直线，如图(d)所示的直线AB和直线CD；5)任意平面图形，如三角形、四边形等，如图(e)所示的ΔABC。上述五种表达平面的形式可以互相转换，即从一种形式转换为另一种形式。二、平面的迹线表达法空间平面与投影面的交线（共有的线）即为迹线。用迹线表达的面即为迹线平面。平面与H、V、W投影面的交线分别称为平面的水平迹线、正面迹线和侧面迹线，其符号为PH、PV、PW。PX为PH、PV两迹线交于OX轴的同一点，称为迹线共点。迹线是平面和投影面的交线，在投影面上的投影位于迹线原处，在其它面上的投影则位于相应的投影轴上（在投影图中不需表达）。一般位置平面的迹线和特殊位置平面的迹线图如下：PVPVPHQVQVQH综上所述，两种平面的表达法，本质是一致的，可以互相转化。例1：试将下图所表达的两相交直线AB、CD表达的平面P，改用迹线表达。解：平面的迹线无非是该面上直线的迹点的集合。故只需求出面上两直线的同面迹点即可。§3－2各种位置平面的投影在三面投影体系中，根据平面对投影面的相对位置，可将平面分为：一般位置平面：倾斜于三个投影面的平面。投影面平行面：平行于某一个投影面的平面。投影面垂直面：垂直于某一个投影面，同时倾斜于此外两个投影面的平面。空间平面与投影面之间的夹角（两个平面间的两面角）称为平面与投影面的倾角。平面与H、V、W投影面的夹角，称为该平面对投影面H、V、W的倾角。约定：平面对H面的倾角用a表达，平面对V面的倾角用b表达，平面对W面的倾角用g表达。在讲述平面图形的类似性、积聚性、真实性后，归纳出平面图形的投影特性：当平面图形倾斜于投影面时，投影为面积缩小的类似性；垂直于投影面时，投影积聚为直线；平行于投影面时，投影反映真形。一、一般位置平面凡与三个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，如图所示。它的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，而是小于实形的类似形。1、一般位置平面图形的投影特性：它的三个投影都是面积缩小的类似形。2、一般位置的迹线平面投影特性：在三个投影面上都有迹线，每条迹线都倾斜于投影轴，并且每两条迹线分别相交于投影轴上的同一点。二、投影面垂直面1.铅垂面垂直于水平面的平面称为铅垂面。铅垂面的投影特性：1)、铅垂面的水平投影积聚成一直线段，且与该投影面上的OX轴的夹角等于该平面对V面的倾角b，与OYH轴的夹角等于该平面对W面的倾角g；2)铅垂面的此外两个投影为小于实形的类似形。

2.正垂面垂直于正面的平面称为正垂面。正垂面的投影特性：1)正垂面的正面投影积聚成一直线段，且与该投影面上的OX轴的夹角等于该平面对H面的倾角a，与OZ轴的夹角等于该平面对W面的倾角g；2)正垂面的此外两个投影为小于实形的类似形。

3.侧垂面

垂直于侧面的平面称为侧垂面。侧垂面的投影特性：1)侧垂面的侧面投影积聚成一直线段，且与该投影面上的OZ轴的夹角等于该平面对V面的倾角b，与OYW轴的夹角等于该平面对H面的倾角a；2)侧垂面的此外两个投影为小于实形的类似形。由此可归纳出投影面的垂直面平面图形的投影特性：①在垂直的投影面上的投影积聚成直线，并反映与另两投影面的倾角。②在另两投影面的投影，为面积缩小的类似形。投影面的垂直面迹线平面的投影特性：①在垂直的投影面上的迹线有积聚性，并反映与另两投影面的倾角。②在另两投影面的迹线，分别垂直于相应的投影轴。三、投影面平行面1、水平面平行于水平投影面的平面称为水平面。水平面的投影特性：水平面的水平投影反映平面图形的实形；2)水平面的此外两个投影积聚为直线段，且分别平行于OX轴和OYW轴。2.正平面平行于正面的平面称为正平面。正平面的投影特性：正平面的正面投影反映平面图形的实形；正平面的此外两个投影积聚为直线段，且分别平行于OX轴和OZ轴。3.侧平面平行于侧面的平面称为侧平面。侧平面的投影特性：侧平面的侧面投影反映平面图形的实形；侧平面的此外两个投影积聚为直线段，且分别平行于OYH轴和OZ轴。由此可归纳出投影面的平行面平面图形的投影特性：①在平行的投影面上的投影反映平面图形的真形；②在此外两个投影面上的投影，分别积聚为直线，且平行于相应的投影轴。投影面的平行面迹线平面的投影特性：①在平行的投影面上无迹线。②在另两投影面的迹线有积聚性，且平行于相应的投影轴。§3－3平面上的点和直线一、平面上的点和直线1、平面上的点由立体几何知道，点在平面内的条件是：点在平面内的一条直线上。在平面内取点，可以直接在平面内的已知直线上选取，或先在平面内取一直线(辅助线)，然后在该直线上选取符合规定的点（定点先定线）。

例2两相交直线AB、BC组成平面，K点属于该平面，已知k，求k'。分析：由于K属于AB、BC组成的平面，所以k属于平面的水平投影，k'属于平面的正面投影。

例3已知ΔABC的两个投影，如图(a),试在ΔABC平面内取一点K，使K点的坐标为：X=25mm,Z=10分析：给出点K的Z坐标，表达它位于该平面上的一条距H面为10mm的水平线上。平面内的水平线是该平面内与H面等距离的点的轨迹：点的X坐标，表达它与W面的距离，平面内的侧平线是该平面与W面等距离的点的轨迹。则此两轨迹的交点，即平面内的水平线与平面内的侧平线的交点，必同时满足与H和W面为定距离的规定。2、平面上的直线

由立体几何中知道，直线在平面内的条件是下列两条件之一：1.通过平面内的两点；2.通过平面内的一点并平行于平面内的另一直线。在平面内取直线，必须先在平面内的已知直线上取点（作线先找点）。例4如图(a)(b)所示，平面P由相交两直线AB和BC所决定。在AB和BC线上各取一点D和E，则D、E两点必在平面P内，因此，D、E连线也必在平面P内。例5已知直线段AB在ΔDEF内，正面投影如图所示，求水平投影。分析：已知AB在ΔDEF内，所以a'b'属于Δd'e'f'，ab属于Δdef。二、平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线，应符合直线在平面上的几何条件，又符合投影面平行线的投影特性。例6一般位置平面内的投影面平行线（见表3-2）三、平面的最大斜度线平面上与某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对该投影面的最大斜度线。在平面上对某一投影面的最大斜度线有无数条，它们是平面上的一组互相平行的直线。平面上对某一投影面的最大斜度线，是与平面上的该投影面的平行线和迹线相垂直的直线；它与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。§3－4平面的辅助投影1．把一般位置平面变为投影面垂直面根据两平面垂直的几何条件可知，要把一个一般位置平面变为新投影面的垂直面，只需使属于该平面的任一条直线垂直于新投影面。依前面所讲，把投影面平行线变为垂直线只需依次换面。因此，我们可将已知平面内的一条投影面平行线（水平线或正平线）作为辅助线，变换为新投影面的垂直线则可。如图所示，平面ABC在H／V体系中是一般位置平面,如何变换投影面使ABC变成垂直面呢?垂直垂直（a）(b)图把一般位置平面变为投影面垂直面为了把一般位置平面变为投影面垂直面，只需使该平面内的任意一条直线垂直于新投影面，并且新投影面还要满足与旧投影面垂直的关系，因此，若变换H面，则要在平面内取一条正平线，作与该正平线垂直的新投影面，该新投影面与V面满足垂直关系，则平面ABC成为新投影体系V/H1中的垂直面（铅垂面），且反映该平面与V面的真实夹角β。作图环节：（1）在DABC内，任意作一条正平线AⅠ，（2）选新轴O1X1⊥a¢1¢（3）作出三角形端点A、B和C的新投影，得到a1b1c1ABC在H1面上的投影具有积聚性且反映三角形与V面的真实夹角β。思考：若变平面为正垂面，且求角a，作图过程如何?把一般位置直线变为投影面垂直面的作图方法小结：（1）将一般位置平面变换成新投影面的垂直面只需进行一次变换。（2）新投影轴应垂直于平面内的平行线的某一投影。（3）若求a，则应变换V面，若求b，则应变换H面。2.将投影面垂直面变换为投影面的平行面新投影面要平行于已知垂直面。若已知为铅垂面，则新面V1⊥H面；若已知为正垂面，则新面V1⊥V面。3．把一般位置平面变为投影面平行面假如要把一般位置平面变为投影面平行面，只更换一次投影面也是不行的。由于若取新投影面平行于一般位置平面，则这个新投影面也一定是一般位置平面，它和原体系的哪一个投影面都不能构成两面直角体系。要解决这个问题，必须更换两次投影面。第一次把一般位置平面变为投影面垂直面，第二次再把投影面垂直面变为投影面平行面。作图环节：将一般位置平面变换成垂直面将垂直面变换成平行面取OX2∥b1a1c1作出三顶点在V2面上的新投影a2¢b2¢c2¢，则DABC变换成正平面，Da2¢b2图把一般位置平面变为投影面平行面思考：若变一般位置平面为水平面，作图过程如何?把一般位置直线变为投影面平行面的作图方法小结：（1）将一般位置平面变换成新投影面的平行面需进行二次变换。（2）求平面的实形，既可先变换V面，将平面变换成水平面，又可先变换H面，将平面变换成正平面。4、综合举例【例题1】过G点作直线与直线AB垂直相交（如图所示）。图过G点作直线与直线AB垂直相交分析：根据直角投影定理可知，若互相垂直的两条直线，其中有一条直线平行于某一投影面时，则此两条直线在该投影面上的投影仍互相垂直。由此可知，由G点向直线AB作垂直相交的直线，必须先把AB直线变为投影面平行线才便于作图。作图环节：(1)作O1X1∥ab,求出a1¢b1¢、g1¢。(2)过g1¢作g1¢k1¢⊥a1¢b1¢。(3)根据变换规律返回旧体系得gk、g¢k¢，即为所求直线GK。【例题2】求DABC与DACD两平面的夹角。图求DABC与DACD两平面的夹角分析：如图（a）所示，当两相交平面P和Q同时垂直于S面时，P、Q在S面上的投影即积聚为两直线段ba(c)和da(c)。而它们的夹角Ðbad即等于P、Q两平面的夹角j。可见在投影图上直接反映垂直两平面的夹角真实大小的条件是：两平面同时垂直某一投影面。为此，可将两平面的交线变换成投影面垂直线。对于一般位置直线来说，需两次换面。作图环节：（如图（b）所示）（1）作O1X1∥两平面的交线ac，求出Da1¢b1¢c1¢和Da1¢c1¢d1（2）作O2X2⊥a1¢c1¢，求出Da2b2c2和Da2c2(3)由于AC⊥H2，两个三角形在H2面上都变换为投影面垂直面，故a2b2c2和a2c2d2积聚成为相交两直线，此时Ðb2c2d2§4－1直线与平面以及两平面平行一、直线与平面平行从立体几何中知道，若已知一直线和某平面上的任一直线平行，则此直线平行于该平面。如图所示，直线DE平行于ΔABC平面内的直线FG，则直线DE平行于ΔABC平面。直线与平面平行的几何条件：直线平行于平面上的一条直线。例5-1已知平面ΔABC及其平面外一点M的投影，如图所示，试过点M作一正平线MN(长度任取)平行于ΔABC平面。分析：先在ΔABC内作一条正平线，再通过点M作一直线平行于这条直线，则过点M所作的直线便是平行于ΔABC平面的正平线。又由于ΔABC内所有的正平线都是互相平行的，所以过点M只能作一条正平线平行于ΔABC。例5-2：下图，求平面平行于直线CD，（平面过点A）解：1）过点A，作AM//CD2）过点A，作AL//CD讨论：本题有无数解。二、两平面平行两平面平行的几何条件是：一平面上的两相交直线，分别平行于另一平面上的两相交直线。从立体几何中知道：假如一个平面内相交的两直线，相应地平行于另一平面内相交的两直线，则这两个平面相应平行。如图所示，P平面内两相交直线AB、BC，相应地平行于Q平面内两相交直线A1B1、B1C1，则P平面平行于Q平面。例5－3过点K作平面平行于已知平面ΔABC。分析：过点K作平面平行于ΔABC平面时，只要过已知点作两相交直线分别平行于ΔABC的任意两条边即可。§4－2直线与平面以及两平面相交一、相交元素中有积聚投影的情况（一）、特殊位置直线与特殊位置平面相交1、一般位置直线与特殊位置平面相交直线与平面不平行，则必相交。直线与平面相交，只有一个交点，它既在直线上，又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。（1）求交点由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出，如图(a)所示，直线AB与铅垂面CDEF相交，交点K即是直线AB与平面CDEF的共有点。如图(b)所示，因铅垂面CDEF的水平投影积聚成直线d(c)e(f),所以，交点K的水平投影为ab与d(c)e(f)的交点k，由k可求出其正面投影k',即求出了直线AB与铅垂面CDEF的交点K(k,k')。（2）判别可见性正面投影中a'b'有一段和铅垂面CDEF相重合，这段直线存在可见性问题。可见部分与不可见部分的分界点为交点K。从水平投影可知，ak位于d(c)e(f)的左前方，所以正面投影中a'k'与c'd'e'f'重叠部分k'g'一段为不可见，应画成虚线。2.投影面垂直线与一般位置平面相交（1）求交点如图(a)所示，直线AB为铅垂线，其水平投影有积聚性。由于直线AB与平面ΔCDE的交点在直线AB上，故交点K的水平投影k必在直线AB的水平投影a(b)上。因此，交点的水平投影是已知的。交点K又在平面ΔCDE内，故由K的水平投影k运用面内取点的方法，即可求得交点K的正面投影k'，如图(b)所示。可见，求某一投影面垂直线与一般位置平面相交的交点，可归结为在面上取点。（2）判别可见性从水平投影可知dc在a(b)(k)的前方，所以d'c'遮住a'k',a'k'与Δc'd'e'的重叠部分不可见（用虚线表达），b'k'可见。（二）、平面与特殊位置平面相交1、相交的形式（1）一般位置平面与铅垂面相交其交线投影与铅垂面的积聚投影重合。（2）、两平面均为同一投影面的垂直面相交其交线定是该投影面的垂直线，两平面积聚性投影的交点即是两平面交线的积聚投影。如下图，求平面P与平面Q的交线。分析：平面P和Q都是铅垂面，其交线必为铅垂线，并且积聚在它们水平投影的交点处。2、可见性判断可见性判断可运用投影积聚性直接鉴定。3、交线的形式全交：交线的两个端点在其中一个平面的两条轮廓线上。互交：交线的两个端点在两个平面的两条轮廓线上。二、相交元素中无积聚投影的情况（一）、一般位置直线与一般位置平面相交采用辅助平面法，又叫线面交点法。其环节为：1、含线作面；2、面面交线；3、线线交点。然后运用交叉直线重影点的可见性判断方法进行可见性判断。如教材中图4－14所示。（二）、两一般位置平面相交仍是先拟定交线上两个点的位置，然后连接他们即得到交线。其求解方法有：线面交点法和辅助平面法（三面共点法）。1、线面交点法如教材中图4－15所示。2、辅助平面法（三面共点法）如教材中图4－16所示。§4－3直线与平面、两平面垂直一、直线与平面垂直直线与平面垂直的几何条件是：该直线垂直于平面上的任意两条橡胶直线。根据初等几何学可知，假如一直线垂直于一平面，则此直线一定垂直于该平面内的一切直线。图中的直线AK是垂直于平面P的，那么它一定也垂直于该平面内过垂足的水平线CD。因此，可得依据直角投影定理可知ak⊥cd。由于同一平面内的一切水平线(涉及水平迹线)都互相平行，例如CD//EF//PH，故得ak⊥ef、ak⊥PH。因此可得下列结论：假如一直线垂直于一平面，即该直线的水平投影一定垂直于该平面内水平线的水平投影。同理，可得结论：假如一直线垂直于一平面，则该直线的正面投影一定垂直于该平面内正平线的正面投影。根据上述结论，我们可以在投影图上解决有关直线与平面垂直的作图问题。例4-4求点D到△ABC的距离(图4-12a)。分析：距离问题是垂直问题。先过D作ABC的垂线，再求出垂足K。可运用直角三角形法求出DK的实长。作图：（1）在△ABC内引一条正平线AF和一条水平线AL；（2）作DE⊥△ABC（图4－12b）；（3）求出垂足K＝DE∩△ABC；（4）运用直角三角形法求得DK的实长D0k′。例4-5

通过已知点A作一直线，垂直于一般位置直线BC。分析：空间两互相垂直的一般位置直线，其投影并不反映垂直关系。因此，不也许在投影图上直接画出。为解决这问题，我们先把过A点且与直线BC垂直的所有直线都作出来。即过A作平面Q与BC垂直，再求出交点K。∵AK∈Q∴AK⊥BC，故AK为所求。作图：（1）作AD⊥BC，AE⊥BC（图4－13b）;（2）求交点K＝BC∩△ADE,Ak即为所求。二、两平面垂直平面与平面垂直的几何条件是：一平面上有一条直线垂直于另一平面。平面与平面垂直：两平面垂直相交是两平面相交的一种特殊情形。假如一直线垂直于一平面，则包含此直线的所有平面都垂直于该平面。例4-6

包含点M作平面与△ABC垂直。分析：过点M作MF⊥△ABC，包含MF的平面即为所求。作图：（1）在△ABC内引一条正平线CD（先作cd，再作c＇d＇）和一条水平线CE（先作c＇e＇，再作ce）；（2）作MF⊥△ABC(,m＇f＇⊥c＇d＇,mf⊥ce);（3）作MG，则GMF为所求。§4－4点、线、面的综合作图一、要点简述空间几何问题总的可分为两部分。即：（l）点、线、面间的从属、平行、相交、垂直等关系的定位问题。（2）求距离、角度、线段实长及平面形实形等度量问题。按此思绪，我们可将已学过的前述内容作一简要的归纳。1、定位问题（1）从属问题1）点在线上的投影规律，中点的投影仍是直线投影的中点，分线段成为定比；2）点在面上和线在面上的几何条件及其投影图画法，平面上的直线可以是一般位置也可以是特殊位置，最常用的有投影面平行线，如水平线、正平线，尚有平面内对相应投影面的最大斜度线，当规定解平面与投影面所成的角时，就要运用最大斜度线来解题。（2）平行问题l）两直线互相平行的投影规律；2）一直线和一平面平行的几何条件及其投影作图，特殊情况为直线平行于投影面，亦即投影面平行线的投影规律及其画法；3）两平面互相平行的几何条件及其投影作图，特殊情况下，其中一平面为平行面就成为投影面平行面。（3）相交问题（1）两相交直线的投影规律以及与两交叉线的区别，当两相交线之一为投影面平行线时，则可合用直角投影定理；2）直线与平面的相交，当线面之一有积聚性时，交点可由积聚性的投影直接求得，如两者均无积聚性，则需用到求线面交点的三个作图环节，这也是在画图中使用最多的基本作图方法之一，当平面为有限的平面形时，则在求出交点后还应运用重影点来判别可见性；3）两平面相交求交线，当两相交平面之一有积聚性时，则可由积聚性的投影直接求得交线的投影。如两平面均无积聚性，则可用线面交点法或三面共点法求交线。求交线也是画法几何中使用极多的一种作图。特别是三面共点法不仅合用于两相交平面，还合用于此后的截交与相贯等问题，故必须牢固掌握。和上述线面交点同样，当平面以有限的平面形形式出现而交线又在它们相交的轮廓内时，则求出交线后还应判别两平面形的可见性。（4）垂直问题可以看作是相交的特殊情况即互为直角的相交。1）两直线的互相垂直，可以是垂直相交即正交，也可以是交叉垂直，应注意其几何条件及投影作图；2）一直线和一平面的垂直，在投影图上反映为直线的各投影应分别垂直于平面的同名迹线，或代表迹线方向的正平线或水平线，这也是解题时常用的一种基本作图，由此可引伸出许多作图问题，诸如过点作面垂直已知线，作已知线的中垂面和求点面距离等；3）两平面垂直的见何条件及其投影作图。2、度量问题（l）求线段的实长可用直角三角形法，求平面形的实形，也可由其边长的实长作出。（2）距离问题1）两点间的距离为其连线的实长；2）点和直线间的距离为过点向该直线所作垂线的实长；3）两直线间的距离，涉及两平行直线间垂线的实长及两交叉线间公垂线的实长，亦即其最短距离；4）直线和它平行的平面间的距离，指的是在直线上任一点向该平面所引垂线的实长；5）两平行面间的距离，指的是它们间所夹的垂线的实长。3、角度问题（l）相交两线所成的角，其实形可以通过直角三角形法，求出各相交线的实长后求得，当两相交线之一为投影面平行线对，则合用直角投影定理；（2）交叉两线间的夹角，可以通过作交叉线之一的平行线所得的平面角的实形来度量；（3）直线与投影面H、V、W所成的角，可通过直角三角形法分别求得；（4）直线与任一平面间的夹角，指的是直线和它在该平面上的正投影间的夹角，如在投影图上不反映实形，则还规定夹角实形；（5）两平面间的夹角，指的是用垂直于两平面交线的平面来截交此两平面，由此所得两交线间的夹角即为所求的两面角，在投影图上如不反映实形，则还规定夹角实形；（6）平面和投影面H、V、W所成的角，则可通过平面内对相应投影面的最大斜度线来求得。大家应牢固掌握上述概念并要纯熟运用，才干在解题时应用自如，不致于无从着手。二、综合题举例例1：求作直线KL，使其平行于直线EF，且与交叉二直线AB、CD相交。例2：点K距三角形ABC平面为10mm，且k′已知，求k。第五章多面体对一般建筑物（如：房屋、水塔）及其构配件（如：基础、梁、柱等）进行形体分析，则不难看出，它们都是由一些简朴的几何形体按照不同的方式组合而成的。我们把这些组成建筑形体的各个简朴形体称为基本几何形体。基本几何形体按照其表面的组成通常分为两大类：一类其表面皆为平面所组成（如棱柱、棱锥）称为平面立体；另一类其表面是有曲面和平面组成（如：圆柱、圆锥）称为曲面立体。为了学习建筑图的绘制和阅读，我们必须一方面熟悉各种基本几何形体的投影特性，并掌握其作图方法。§5-1棱柱和棱锥平面立体的各表面均为平面多边形，它们都是由直线段（棱线）围成，而每一棱线都是由其两端点（顶点）所拟定，因此，绘制平面立体的投影，实质上就是绘制平面立体各多边形表面，也即绘制各棱线和各顶点的投影。在平面立体的投影图中，可见棱线用实线表达，不可见棱线用虚线表达，以区分可见表面和不可见表面。一、棱柱下图（a）为一位于三投影面体系中的直立三棱柱，它是由三个铅垂的棱面（其中后棱面为正平面）和两个水平的上、下底面组成。图（b）是该三棱柱的三面投影图。图三棱柱的投影从三棱柱的投影图中可看到：其水平投影是一个三角形，它是三棱柱上、下底面的投影，三角形的三条边分别是左、右、后三个棱面的投影（有积聚性），三角形的三个顶点分别是三条棱线的水平投影；正面投影中两个并立的矩形是三棱柱左、右两个棱面的投影；正面投影的外形轮廓则是三棱柱后棱面的投影（反映实形）；正面投影中上、下两条水平线是三棱柱上、下底面的投影（有积聚性）；侧面投影只是一个矩形，左、右二棱面在此重影，上、下两条水平线仍是上、下底面有积聚性的投影，矩形的两条竖边中靠里面的一条还是三棱柱后棱面的投影（有积聚性）。二、棱锥下图所示为一位于三面投影体系中的正三棱锥SABC，锥底为水平面，后棱面为侧垂面，其它两个棱面则是一般位置平面。从三棱锥的三面投影图中可看到：其水平投影是由三个全等的三角形组成，它们分别是三个棱面的水平投影，形状为等边三角形的外形轮廓则是三棱锥底面的投影（反映实形）；下面投影由两个三角形组成，它们是三棱锥左、右三棱面的投影，而外形轮廓的等腰三角形则是后棱面的投影，其底边为锥底的投影（有积聚性）；侧面投影是一个三角形（左、右二棱面重影），靠里侧的斜边是侧垂位置的后棱面的投影，底边仍为锥底的投影。三、棱台棱台的三面投影见教材图5－4所示。§5－2多面体表面上的点一、棱柱表面上的点根据立体表面上某已知点（或线）的任一投影要作出该点（或线）的其它投影，实质就是立体表面上取点作线的作图问题。由于平面立体的各表面皆是平面多边形，因此，在具体作图时，只要把立体上和各表面都当作是一个独立的平面，就完全可应用§4-3中所叙述的原理进行作图。但由于平面立体的各表面存在着相对位置的差异，必然会出现表面投影的互相重叠，而产生各表面投影的可见与不可见的问题，因此，对处在不同表面上点（或线）的投影，就要进行可见性的判别。我们规定：凡是点的某一投影为不可见时，就要在该不可见投影旁加一括号。如图7-4中，N点的正面投影用符号（n'）表达。例1已知三棱柱的三面投影及其表面上的点M和N的正面投影m'和n'，求作它们的另两个投影。分析根据已知条件，M点必在三棱柱前右侧的棱面上（因m'可见），而N点必在三棱柱的后棱面上（因n'不可见）。运用棱柱各棱面的水平投影有积聚性，可向下引投影连接直接找到两点的水平投影m和n，然后即可按投影规律求出这两点的侧面投影m"和n"。二、棱锥表面上的点例2已知三棱锥的三面投影及其表面上点K的正面投影k'和点L的水平投影l,求出它们的别两个投影。分析根据题中所给出的投影可知：K点和L点分别位于三棱锥的SAB和SBC棱面上。但由于这两个棱面都是一般位置的平面，它们的各个投影没有积聚性，因此，显然不也许再运用上例中的作图方法（运用积聚性）解题。为了解决本题，需要在棱锥的棱面上作出过已知点的辅助线，然后再作出辅助线上该点的各投影。作图1、运用过锥顶S的辅助线求K点各投影：（1）找出1及1″，连s1及s″1″；（2）过k'作投影连接与s1及s″1″相交，即可求出k及k"。2、运用过L点且平行于底边的直线为辅助线求L点的各投影：（1）在水平投影中过l作平行于底边bc的直线，与sb、sc相交于2、3两点；（2）过3'及3"作直线平等于b'c'和b″c″（二直线平等，其同面投影也必平行）；（3）过l作投影连接线与2'3'及2″3″相交，即可求出l'及l"。下面列出了一些工程中常见到的平面立体的投影图和立体图，可按前述平面立体投影图的画法对它们进行分析，以便更进一步熟悉平面立体投影的表达方法和规律。§5－3平面与多面体表面相交一、特殊位置截平面与多面体相交当截平面处在特殊位置时，截平面的具有积聚性的投影必与截交线在该投影面上的投影重合，于是可运用截交线为已知投影做出其余的投影。见教材例5－4、例5－5。二、一般位置截平面与多面体相交当截平面处在一般位置时，可做出与多面体各棱线和底边与截平面的交线，然后连成截交线。见教材例5－6。第九章轴测投影§9－1轴测投影的基本知识多面正投影图的优点是可以对的、完整、准确地表达物体的形状和大小，并且作图简便，度量性好，所以在工程实践中得到广泛应用，但缺少立体感。轴测图是一种能同时反映出物体长、宽、高三个方向尺度的单面投影图，这种图形富有立体感，直观性好，并可沿坐标轴方向按比例进行度量，但作图较繁，因此在工程中常被用作辅助图样。一、轴测投影的形成轴侧图是将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的具有立体感的图形。如图9－2所示，P平面称为轴侧投影面，S称为轴测投射方向，直角坐标轴OX、OY及OZ的轴测投影OX1、OY1、OZ1称为轴测轴。二、轴测投影的分类根据投射方向是否垂直于轴测投影面，轴测投影可分为两类：1.正轴测投影投射方向垂直于轴测投影面时所得到的轴测投影叫正轴测投影。2.斜轴测投影投射方向倾斜于轴测投影面时所得到的轴测投影叫斜轴测投影。三、轴间角和轴向伸缩系数1．轴间角轴测轴之间的夹角∠X1O1Y1、∠Y1O1Z1、∠Z1O1X1称为轴间角，其中任何一个不能为零，三轴间角之和为360。。2．轴向伸缩系数轴测轴上的单位长度与相应投影轴上的单位长度之比称为轴向伸缩系数。p1、q1、r1分别称为OX轴、OY轴、OZ轴上的伸缩系数。p1=O1A1/OAq1=O1B1/OBr1=O1C轴测轴和轴向伸缩系数是绘制轴测图的两大基本要素。不同种类的轴测图，各有不同的轴测轴和轴向伸缩系数。四、轴测投影的基本性质（1）物体上互相平行的线段的轴测投影仍互相平行；（2）物体上平行于坐标轴的直线段的轴测投影仍与相应的轴测轴平行；（3）物体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，其轴测投影保持不变。凡是与坐标轴平行的直线，就可以在轴测图上沿轴向进行度量和作图。五、绘制轴测投影时应注意的问题1.轴测投影是平行投影，所以它保持平行性和定比性，作图时要充足运用这些性质。2.只有与坐标轴