李雅普诺夫方法

§1稳定性基本概念一、外部稳定性与内部稳定性1．外部稳定性

考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。

对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数的全部极点具有负实部。第一页，共47页。如果由非零初始状态引起的系统自由运动有界，即：2．内部稳定性考虑输入量为零时的线性系统

并满足渐近属性，即

，则称该系统是内部稳定的。

它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。

二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它们是完全等价的。

内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（）建立，提出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法，

第二页，共47页。二、李亚普诺夫稳定性基本概念（一）系统运动及平衡状态1．自治系统自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。线性系统：2．受扰运动

将自治系统在初始状态条件下的解称为受扰运动。就是系统的零输入响应。通常表示为。第三页，共47页。对非线性系统，一般有多个平衡状态。3.平衡状态

如果存在，对所有的t有成立，称状态为上述系统的平衡状态。①若A非奇异，唯一的平衡状态②若A奇异，平衡状态,非唯一

通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于线性定常连续系统的平衡状态有：

如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态，所以讨论零平衡状态的稳定性具有普遍意义。第四页，共47页。

可以将下式看成为状态空间中以为球心，以为半径的一个超球体，球域记为；把上式视为以为球心，以为半径的一个超球体，球域记为。球域依赖于给定的实数和初始时间。（二）稳定性定义

1.稳定

设为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数，都对应地存在另一实数，使得由满足式子的任一初始状态出发的受扰运动都满足则称平衡状态是稳定的。第五页，共47页。

从球域内任一点出发的运动对所有的都不超越球域。

如果与无关，称为是一致稳定，定常系统是一致稳定的。平衡状态是稳定的几何解释：

一个二维状态空间中零平衡状态是稳定的几何解释如右图。

上述稳定保证了系统受扰运动的有界性，通常将它称为李雅普诺夫意义下的稳定，以区别于工程意义的稳定。第六页，共47页。不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且则称平衡状态为渐近稳定。

从球域内任一点出发的运动对所有的不仅不超越球域，而且当时，最终收敛于平衡状态。2.渐近稳定渐近性几何解释：

二维状态空间中零平衡状态为渐近稳定的几何解释如右图。第七页，共47页。

满足渐近稳定的球域只是状态空间中的有限部分，这时称平衡状态为局部渐近稳定，并且称为渐近稳定吸引区，表示只有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态。

线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。若与无关，则为一致渐近稳定。定常系统是一致渐近稳定的。若，则为全局渐近稳定。不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能有一个平衡点。满足上面两点的为全局一致渐近稳定。

渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性第八页，共47页。3.不稳定

无论取得多么小，也无论取得多么大，在球域内总存在非零点，使得由出发的运动轨迹越出球域，则称平衡状态为不稳定。

二维状态空间中零平衡状态为不稳定的几何解释如右图。

对于非线性系统，也有可能趋于以外的某个平衡点或某个极限环。

第九页，共47页。单摆是Lyapunov意义下稳定或渐近稳定的例子。第十页，共47页。

线性定常离散系统平衡状态为渐近稳定的充要条件是系统矩阵的所有特征值的模都小于1。§2李雅普诺夫稳定性分析方法

一、李雅普诺夫第一法

又称间接法，通过系统状态方程的解来分析系统的稳定性，比较适用于线性系统和可线性化的非线性系统。1．线性系统情况

线性定常连续系统平衡状态为渐近稳定的充要条件是系统矩阵A的所有特征值都具有负实部。与经典控制理论的各种判据一致2．非线性系统情况

对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。第十一页，共47页。非线性自治系统：为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。是系统的一个平衡点。高阶导数项之和第十二页，共47页。3)A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统在的稳定性不能得出明确结论，而取决于的高阶导数项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳定性。2）A的特征值中至少有一个具有正实部，非线性系统在不稳定；1）A的所有特征值具有负实部，则非线性系统在渐近稳定；按在邻域研究平衡点的稳定性。即：

李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。第十三页，共47页。

设为关于n维向量的标量函数，并且在处，有，则对于任意的非零向量，有：

一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为，如果不显含时间，则表示为。二、李雅普诺夫第二法

又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程，直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。

不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于是，李雅普诺夫引入一个“广义能量”函数，它具备能量函数的基本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。（一）预备知识1．标量函数的定号性第十四页，共47页。③若，为负定；①若，为正定；②若，为正半定；⑤若可正可负，为不定。④若，为负半定；2.二次型函数设x为n维向量，则称标量函数为x的二次型函数，其定号性与它的权矩阵P的定号性是一致的。权矩阵P为实对称矩阵第十五页，共47页。③若，P为正半定；②若，P为负定；而P的定号性由Sylvester准则确定：①若，P为正定；…,的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：为实对称矩阵P④若，P为负半定。第十六页，共47页。则平衡状态是大范围渐近稳定的。（2）为负定；（1）为正定；则系统的平衡状态是渐近稳定的，并称是该系统的一个李雅普诺夫函数。进一步，如果还满足设系统的状态方程为，且其平衡状态为，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，并且满足条件：（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据1．渐近稳定基本判定定理：（3）条件（1）保证了具备“广义能量”函数的特性，条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减，条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。第十七页，共47页。2．渐近稳定判定定理2：系统及平衡状态同上，如果满足条件：（1）为正定；（2）为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即对于有；则系统的平衡状态是渐近稳定的。同样，如果还满足（3）则平衡状态是大范围渐近稳定的。条件（2）表示在某处会出现但不恒为零的情况，这时系统向着“能量”越来越小方向运动过程中与某个等“能量”面相切，但通过切点后并不停留而继续趋向于最小“能量”的平衡点，所以该平衡状态仍然是渐近稳定的。第十八页，共47页。3．李雅普诺夫意义下稳定判定定理：如果满足条件：（1）为正定；（2）为负半定；则系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。条件（2）不强调不恒为零，意味着系统向着小“能量”方向运动的过程中与某个等“能量”面相切，但可能不再离开该等“能量”面，形成有界但不具有渐近性的运动状态。4．不稳定判定定理：如果满足条件：（1）为正定；（2）为正定；则系统的平衡状态是不稳定的。条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。第十九页，共47页。如果上述定理的条件（2）为即正半定时，也可推论出两种情况：（1）时不恒为零，此时该平衡点不稳定；（2）时存在恒为零，此时该平衡点为李雅普诺夫意义下稳定。（三）关于李雅普诺夫第二法的讨论（1）上述结论适用于任何性质的系统，但针对定常系统时，李雅普诺夫函数一般地不显含时间变量，即为。（2）上述结论中的条件只是充分条件，如果找不到满足定理条件的李雅普诺夫函数并不能对系统的相应稳定性作出否定性结论。（3）对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数通常是非唯一的，但这并不影响结论的一致性。（4）上述结论中除了明确指出稳定性的大范围特性外，都只表示了系统在平衡状态附近某个邻域内的稳定性能，即局部稳定性能。第二十页，共47页。为不定，根据李雅普诺夫第二法的相关定理，不能作出关于平衡点稳定性能的判断。第二十一页，共47页。

为负半定，由上述定理，应考察时是否恒为0的情况：可见只有在平衡状态时，所以为渐近稳定。又：所以为一致大范围渐近稳定。系统为定常系统，第二十二页，共47页。为负定，所以为渐近稳定。（3）选二次型函数同理有所以为一致大范围渐近稳定。李雅普诺夫函数非唯一性，构造没有一般规律可循。第二十三页，共47页。§3线性系统的Lyapunov稳定性分析方法

对于线性系统，经常选取二次型函数作为李雅普诺夫函数，并由此得出一些更有效的判别定理。一、定常连续系统取二次型标量函数(P为正定、实对称)线性定常连续系统渐近稳定判定定理：

线性定常系统在平衡点大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定对称矩阵Q，存在正定对称矩阵P，满足矩阵方程：Q为实对称矩阵第二十四页，共47页。

定理给出的是充要条件，上面的讨论过程已经说明了条件的充分性，条件必要性的证明见教材。注意的几点：（1）系统在平衡点渐近稳定时有A的特征值都具有负实部（2）定理中正定的实对称矩阵Q是任意取的，但为了简化矩阵方程的求解，常取它为正定对角阵或单位矩阵。（3）如果对于有Q可取为正半定。（4）解得正定的实对称矩阵P，则为系统的一个李雅普诺夫函数。第二十五页，共47页。P正定,系统在平衡点渐近稳定第二十六页，共47页。

当时，有，所以平衡状态是大范围一致渐近稳定的。二次型函数是系统的一个李雅普诺夫函数，二、时变连续系统设为系统唯一的平衡状态。取二次型标量函数为一致正定及一致有界的实对称矩阵

显然为正定函数第二十七页，共47页。

时变连续系统在平衡点为一致大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的一致正定及一致有界的实对称时变矩阵，存在一个一致正定及一致有界的实对称矩阵，满足矩阵方程：线性时变连续系统渐近稳定判定定理：解矩阵微分方程可得：

通过是否为一致正定、一致有界来判别系统在平衡点的渐近稳定性。

Q(t)为一致有界的实对称时变矩阵

第二十八页，共47页。

线性定常离散系统在平衡点为大范围渐近稳定的充要条件是对任意给定的正定实对称矩阵Q，存在正定的实对称矩阵P，满足矩阵方程：三、定常离散系统为系统唯一的平衡状态取二次型标量函数：P为正定的实对称矩阵

显然为正定函数函数的增量函数为：同样记：线性定常离散系统渐近稳定判定定理：Q为实对称矩阵第二十九页，共47页。（和为非零常数)线性定常离散系统的状态方程为讨论系统在平衡点的渐近稳定性。由塞尔维斯特准则，为使P是正定矩阵，则要求和

解：G为常数矩阵，是唯一平衡状态。第三十页，共47页。这时二次型函数是系统的一个李雅普诺夫函数，且当时，有,所以平衡状态是大范围一致渐近稳定的。

这与经典控制理论中关于采样控制系统的稳定性判据（特征值在单位圆内）是一致的。第三十一页，共47页。四、时变离散系统设为系统唯一的平衡状态，取二次型标量函数P(k)为一致正定的实对称时变矩阵函数的增量函数为：同样记：Q(k)为实对称时变矩阵

第三十二页，共47页。

其中P(0)是矩阵差分方程的初始条件，选取一个正定的实对称时变矩阵Q(k)（例如简单地选Q(k)=I)，由上式解得P(k+1)，然后看它是否为正定的实对称矩阵来判别系统在平衡点的渐近稳定性。线性时变离散系统渐近稳定判定定理:

线性时变离散系统的平衡状态为大范围渐近稳定的充要条件是对于任意给定的正定实对称矩阵Q(k)，必存在正定的实对称矩阵P(k+1)，满足矩阵方程：解上述矩阵差分方程可得解为：第三十三页，共47页。非线性系统稳定性的分析要复杂得多。（1）非线性系统的平衡状态可能不止一个，而且可能其中有的稳定，有的不稳定；（2）非线性系统的渐近稳定的平衡状态往往是局部的；（3）构造满足李雅普诺夫第二法稳定性判据的李雅普诺夫函数更加困难，往往会因找不到合适的李雅普诺夫函数而无法作出判断。所提出的一些关于非线性系统稳定性的分析方法大都分别适合于一类特定的系统。本节介绍两种相对简单实用的非线性系统稳定性分析方法，它们都是建立在李雅普诺夫第二法基础之上，因此也只是提供了充分条件。另外，两种方法的出发点都在于设法构造能给出非线性系统稳定性判别的合适的李雅普诺夫函数。§4

非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法第三十四页，共47页。一.克拉索夫斯基法：

克拉索夫斯基方法采用替代x来构造具有二次型形式的李雅普诺夫函数，并取单位矩阵为其权矩阵，即则：其中J(x)称为系统的雅可比（Jacobian）矩阵，为第三十五页，共47页。代入得：要使系统在平衡状态渐近稳定，的权矩阵必须负定，记其为：可以得到如下克拉索夫斯基定理。第三十六页，共47页。（3）如果雅可比矩阵本身对称时，定理条件可以由负定简化为负定。这就要求非线性向量函数的每个分量必须包含对应的的元素，且偏导数对任意为负。

非线性系统在所讨论的范围内有唯一的平衡状态，如果在该范围内由系统的雅可比矩阵构成的矩阵负定，那么是渐近稳定的平衡状态。进一步，如果在全状态空间都有负定，且时，有，那么是大范围渐近稳定的。克拉索夫斯基定理：注意点：（1）该定理提供的只是系统在平衡点渐近稳定的充分条件；（2）为负定的必要条件是雅可比矩阵J(x)对角线上的元素都为负值；（4）也可将该方法应用于线性定常系统，此时雅可比矩阵J即为系统矩阵A,判别条件为。第三十七页，共47页。对于，它也包含了对应元素，且有对于，它包含了对应的元素，且有解：首先检验f(x)的各个分量是否适合应用克拉索夫斯基方法。

可见，可以尝试应用克拉索夫斯基方法来分析系统在平衡点的稳定性。求出系统的雅可比矩阵为：第三十八页，共47页。求得它的1～2阶顺序主子式分别为：第三十九页，共47页。假设是系统的一个李雅普诺夫函数，它不是时间t的显函数，则有：

对于一个给定的系统，如果存在一个能够证明其渐近稳定性的李雅普诺夫函数，则这个李雅普诺夫函数的单值梯度也必存在。于是，首先根据找出李雅普诺夫函数的导数函数，再通过积分计算出，如果得到的正定，就获得了所需要的李雅普诺夫函数。二、变量梯度法其中为的梯度：为单值的n维向量

第四十页，共47页。有个等式由于单值性，李雅普诺夫函数可通过积分计算得到：必须解决以下两个问题：（1）线积分的路径问题；（2）梯度向量的确定；

对于问题（1），如果向量的旋度，则上式线积分与积分路径无关。而的条件是向量