第十节数学建模微分方程的应用举例

第十节数学建模—微分方程的应用举方程在实际应用中的几个实例.读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问分布图

7-内容要例题选称为放射性物质的衰变根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量.解x表示该放射性物质在时刻t

x在时刻t得dx

k0常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间tx 易求出方程(1)xCekt.若已知当tt时，xxxCekt 得Cxekt0xxek(tt0) 间为半衰期不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素(238U)的半衰期约为50通常的镭(226Ra)的半衰期为1600年，而镭的另一同位素230Ra的半衰期仅为1小时.半半克所需要的时间与一吨226Ra1600才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－141412141480％，试解放射性物质的 0体当初时14C的含量为p,t时的含量为pf(t),于是，14C含量的函数模型00pf(t)pekt0p0

f(0),k是一常数.常数k可以这样确定：由化学知识可知，14C573014C573000

p0pe5730k,

1e5730k25730kln12

即k

14C0pf(t)pe00001209t00由题设条件可知，遗体中14Cp80％，0

0.8ppe00001209t ln0.8

即0.8e00001209t于 t

3（E03）1单位,AOAv0O点出发,始终对准乙以nv0n1的速度追赶.方程,并问乙行多远时,被甲追到 设所求追迹曲线方程为yy(x).经过时刻t,甲在追迹曲线上的点为P(x,y),乙B(1v0t).

tanyv0ty1

由题设，曲线的弧长OPx1y2dxnv解出v0t,代入(1)，

(1x)yy1

1y2n(1x)ynyp(xyp则方程

1y2

1n1p(11n1p

11p

1p2)1ln|1x|ln|C|, p

1pn1yx0px01pn111n111n1y1y211

y

n1x

2n112n11x1

n1

y 22

n

(1x)

n

(1x)

C2

0得

n2

1

n1 2y 2

n

(1x)

n

(1x)

n2

(nPx1yn(n21).A点n(n21个单,.R物体的质量为m物体开始下落时与地球中心的距离为l(lt物体所在位置为yy(t),于是速度为v(t)dy由万有引力定律得微分方程d2m

kmM,y

d2

y

MkyR

d2

gkMR

kMgR2l, d2l, 代入得 ,初始条件为 y

t

t 先求物体到达地面时的速度.dyvd2ydvdvdy

dt

2

vdv y2

v C111

C2gR

lv2

21 l

v

2g

lyRv2g2g1 l

2gR(lR)lv

,yt

dt

y lyt0 y lyl l yllyylyy 2g

l yRtl tl 2glRRRl5（E05）设有一个弹簧,它的一端固定,m的物体,物体受力作用x轴运动,其平衡位置取为坐标原点(12-11-3).如果使物体具有一个初始速度v00么物体便离开平衡位置,并在平衡位置附近作上下振动.在此过程中,x随时t变化.要确定物体的振动规律,xx(t).解据胡克定律知,fx成正比f其中k0(称为弹性系数),负号表示弹性恢复力与物移方向相反.在不考虑介质阻力的情况下,Fm可得d2mdt

d2mdt

kx

方程(11.9)称为无阻尼自由振动的微分方程.它是一个二阶常系数齐次线性方程如果物体在运动过程中还受到阻尼介质(如空气、油、水等)的阻力的作用,设阻力与质点运动的速度成正比,且阻力的方向与物体运动方向相反,则有fdx 0阻尼系数).d2 mdt

kxd2

dxkx

这个方程叫做有阻尼的自由振动微分方程,它也是一个二阶常系数齐次线性方程如果物体在振动过程中所受到的外力除了弹性恢复力与介质阻力之外,还受到周期性的作用,d2

G(t)Hsinmdt

kx Hsinpt,d2 dt

xhsin

2v,2khH

这个方程称为强迫振动的微分方程, 时合上开关,E(tI(t).根据克希霍夫回路电压定律,LdIRIQ

t RI为电流在电阻上电降压,Q(Q为电容器两极板间的电量,t的函数)C

LdI则为电流在电感上电压降.由电学知

IdQd2QLdt2

R

1QC

这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程.若当t0时,已知电量为Q0I0则我们Q(0)Q0此时,能求出方程(11.13)初vi始问题的解6（E06）7-10-8的电路中,

Q(0)I(0)

C16104

E(t)0,求电量Q(tI解d

625Q100

r240r6250

20Q(t)e20t(Ccos15t

Qp(t)Acos10tBsin

A

,B

64Qp(t)

10t.1Q(t)e20t1

cos15t

10t.利用初始条件Q(0)0Q(0)C1

C1

84又I(t)dQe20t[(20C

)cos15t(15C

(21sin10t16I(0)

6400得

464.于是4 Q(t)697

(63cos15t116sin15t)(