考点22 全等三角形【有答案】

考点二十二全等三角形【命题趋势】在中考中，全等三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主。常结合常考的5种全等模型常结合四边形考查。【中考考查重点】全等三角形常考5种模型全等三角形性质考点一：全等三角形的概念及性质概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．1．（2021秋•中山区期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠ACD＝40°，则∠B的度数为（）A．40° B．65° C．70° D．80°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，CE＝CB，∴∠BCE＝∠DCA＝40°．∴∠B＝∠CEB＝（180°﹣40°）＝70°，故选：C．2．（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（）cm．A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，∴BE＝CF，∵BE＝2cm，∴CF＝BE＝2cm，∵BF＝8cm，∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），故选：B．3．（2021秋•武汉期末）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（）A．80° B．35° C．70° D．30°【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠C＝∠E＝30°，故选：D．考点二：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例4．（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【答案】（1）略（2）∠E的度数为60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS）；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.5．（2021•长沙模拟）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠B＝50°，求∠BAC的度数．【答案】（1）略（2）80°【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°．6．（2021•江阳区一模）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：BC＝DE．【答案】略【解答】证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE+∠EAC＝∠DAC+∠EAC．即：∠BAC＝∠EAD．在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴BC＝DE．模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.7．（2012春•张家港市期末）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵AF＝DC，∴AF+CF＝DC+CF，∴AC＝DF，∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）∵由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝∠EFD，∴BC∥EF．8．（2021•长安区一模）如图，△ABC和△EBD都是等边三角形，连接AE，CD．求证：AE＝CD．【答案】略【解答】证明：∵△ABC和△EBD都是等边三角形，∴AB＝CB，BE＝BD，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD．模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角99．（2020秋•溧水区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且BP＝CD，∠APD＝∠B．（1）求证：AB＝CP；（2）若∠BAC＝120°，则∠ADP＝°．【答案】（1）略（2）75【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，且∠APD＝∠B，∴∠CPD＝∠BAP，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AB＝CP；（2）解：∵∠BAC＝120°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB＝AC，AB＝PC，∴PC＝AC，∴∠CAP＝∠APC＝＝75°，由（1）知：△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴∠ADP＝∠CAP＝75°，故答案为：75．10．（2020春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）请直接写出AD，BE，DE之间的数量关系：．【答案】（1）略（2）AD＝BE+DE【解答】证明：（1）∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）∵△BCE≌△CAD，∴BE＝DC，AD＝CE，∴AD＝CE＝CD+DE＝BE+DE，故答案为：AD＝BE+DE．模型五：半角模型1、等边角形半角作辅助线：延长FC到G，使得CG=BE，连接DG结论：▲DEF≌▲DGF；EF=BE+CF2、正方形含半角作辅助线：延长CB到G，使得CG=DF，连接AG结论：▲AEF≌▲AGE；EF=BE+DF11．（2021春•开州区期末）已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF＝45°．（1）如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG＝DF，若BE＝4，BG＝3，求EF的长；（2）如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF＝DF﹣BE；（3）如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝8，DC＝12，CF＝6，请你直接写出BE的长．【答案】（1）7（2）EF＝DF﹣BE（3）BE＝【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠D＝∠ABC＝90°，∵AB＝AD，∠D＝∠ABG，BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠GAE，∴∠GAE＝∠EAF，又∵AG＝AF，AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE，∴EF＝GE＝BE+BG＝4+3＝7；（2）如图2，在DF上截取DM＝BE，∵AD＝AB，∠ABE＝∠ADM＝90°，DM＝BE，∴△ABE≌△ADM（SAS），∴AE＝AM，∠EAB＝∠DAM，∵∠EAF＝45°，且∠EAB＝∠DAM，∴∠BAF+∠DAM＝45°，∴∠MAF＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AM，AF＝AF，∴△AEF≌△AMF（SAS），∴EF＝FM，∵DF＝DM+FM，∴DF＝BE+EF，∴EF＝DF﹣BE；（3）如图，在DF上截取DM＝BE，同（2）可证EF＝DF﹣BE，∴DF＝BE+EF＝CF+DC＝18，∵EF2＝CF2+CE2，∴（18﹣BE）2＝62+（8+BE）2，∴BE＝．12．已知如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE＝AF．求证：△ECF是等边三角形．【答案】略【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∵∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，∠BCD＝120°，△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AC＝AB，∴AC＝CD，∵BE＝AF，∴AE＝DF，在△ACE与△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴EC＝FC．∠ACE＝∠DCF，∵∠DCF+∠ACF＝60°，∴∠ACE+∠ACF＝60°，即∠ECF＝60°，∴△ECF是等边三角形．1．（2020•雨花区校级三模）如图，AB∥ED，CD＝BF，若△ABC≌△EDF，则还需要补充的条件可以是（）A．AC＝EF B．BC＝DF C．AB＝DE D．∠B＝∠E【答案】C【解答】解：∵AB∥ED，∵∠B＝∠D，∵CD＝BF，CF＝FC，∴BC＝DF．在△ABC和△DEF中BC＝DF，∠B＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF．故选：C．2．（2021春•秦淮区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，则DE的长度是（）A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4【答案】B【解答】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF＝BE，∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，∵AD＝3，∴DG＝4﹣3＝1，∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，∴△EBC≌△FGC（SAS），∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，∵∠DCE＝45°，∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，∴∠DCE＝∠DCF，∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD（SAS），∴ED＝DF，设ED＝x，则EB＝FG＝x﹣1，∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，∴（5﹣x）2+32＝x2，解得：x＝3.4，∴DE＝3.4．故选：B．3．（2021•凤山县模拟）如图，△ABC≌△DEC，∠ACD＝28°，则∠BCE＝°．【答案】28【解答】证明：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，即∠ACD＝∠BCE＝28°．故答案是：28．4．（2021秋•余干县期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【答案】（1）略（2）60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS）；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．5．（2021秋•庐江县期末）如图，AB与CD交于点E，点E是AB的中点，∠A＝∠B．试说明：AC＝BD．【答案】略【解答】证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE，在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（ASA），∴AC＝BD．6．（2021秋•伊通县期末）已知：如图，线段BE、DC交于点O，点D在线段AB上，点E在线段AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．【答案】略【解答】证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌ACD（SAS），∴∠B＝∠C．7．（2021秋•连云港期末）如图，点B、C、E、F在同一直线上，点A、D在BC的异侧，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度数．【答案】（1）略（2）∠AEC＝102°【解答】（1）证明：∵BF＝CE，∴BE＝CF，在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），（2）解：由（1）知，△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∠A＝∠D，∴∠AEC＝∠DFB，∵∠A+∠D＝144°，∴∠D＝72°，又∵∠C＝30°，∴∠DFB＝∠C+∠D＝102°，∴∠AEC＝102°．8．（2021•广东模拟）如图，△ABC与△ADE是以点A为公共顶点的两个三角形，且AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠CAB＝90°，且线段BD、CE交于F．（1）求证：△AEC≌△ADB．（2）求∠BFC的度数．【答案】（1）略（2）∠BFC＝90°【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），（2）解：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°．9．（2021•蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】（1）略（2）△OBC是等腰三角形【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形，∵Rt△ABC≌Rt△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC，∴△OBC是等腰三角形．10．（2021秋•汝阳县期中）如图：∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝25，DE＝17．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）求线段BE的长．【答案】（1）略（2）BE＝8．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACD＝90°，∵BE⊥CE，∴∠ECB+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠E＝90°，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：∵△ACD≌△CBE，∴AD＝CE＝25，CD＝BE，∵CD＝CE﹣DE＝25﹣17＝8，∴BE＝8．11．（2020春•无锡期中）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E，F分别在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求证：△ECF为等边三角形；（2）连接AC，若AC将四边形AECF的面积分为1：2两部分，当AB＝6时，求△BEC的面积．【答案】（1）略（2）3或6【解答】解：（1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC＝AD＝DC，又∵∠B＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴∠CAD＝∠ACB＝∠ACD＝60°，在△CBE和△CAF中，，∴△CBE≌△CAF（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠ECF＝60°，∴△ECF为等边三角形；（2）由（1）可知△CBE≌△CAF，∴S△CBE＝S△CAF，∴S四边形AECF＝S△ABC，作AH⊥BC交BC于点H，在△ABH中，∠B＝60°，AB＝6，∴BH＝3，∴AH＝3，∴S△ABC＝×6×3＝9，当S△CBE：S△CAE＝1：2时，S△BEC的面积＝S△ABC＝3；当S△CBE：S△CAE＝2：1时，S△BEC的面积＝S△ABC＝6；综上，△BEC的面积为3或612．（2021秋•济阳区期中）问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系．（1）探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：EF＝BE+DF；（2）拓展延伸：如图2，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．（3）尝试应用：在（2）的条件下，若BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．【答案】（1）EF＝BE+DF（2）6【解答】解：（1）探究发现：将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝60°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）拓展延伸：结论仍然成立，证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF；（3）尝试应用：由（1）（2）可得EF＝BE+DF＝5，设正方形ABCD的边长是x，在Rt△CEF中，EC＝x﹣3，CF＝x﹣2，EF2＝EC2+CF2，∴52＝（x﹣3）2+（x﹣2）2，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去），∴正方形ABCD的边长是6．1．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．2．（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（）A．30° B．25° C．35° D．65°【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．3．（2020•常州）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【答案】（1）略（2）∠E的度数为60°【解答】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．4．（2019•南充）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC．（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．【答案】（1）略（2）35°【解答】（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO＝∠OCB＝35°，∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°．5．（2020•柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．求证：△AOC≌△BOC．【答案】略【解答】证明：∵OC平分∠MON，∴∠AOC＝∠BOC，在△AOC和△BOC中，，∴△AOC≌△BOC（SAS）．6．（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．【答案】（1）略（2）∠BAC＝80°【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BED与△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF；（2）解：∵∠BDE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠C＝50°，∴∠BAC＝80°．7．（2020•百色）如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E．求证：（1）△ABC≌△DEF．（2）AF＝DC．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF，∴AF＝CD．8．（2020•徐州）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F．（1）求证：AE＝BD；（2）求∠AFD的度数．【答案】（1）略（2）90°【解答】解：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；（2）设BC与AE交于点N，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ANC＝90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠A＝∠B，∵∠ANC＝∠BNF，∴∠B+∠BNF＝∠A+∠ANC＝90°，∴∠AFD＝∠B+∠BNF＝90°．1．（2021•商河县校级模拟）如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△DAE，∴AC＝DE＝5，BC＝AE＝2，∴CE＝5﹣2＝3．故选：C．2．（2020•清苑区一模）如图，△ABC≌△EBD，∠E＝50°，∠D＝62°，则∠ABC的度数是（）A．68° B．62° C．60° D．50°【答案】A【解答】解：∵∠E＝50°，∠D＝62°，∴∠EBD＝180°﹣50°﹣62°＝68°，∵△ABC≌△EBD，∴∠ABC＝∠EBD＝68°，故选：A．3．（2020•南宁二模）如图，△ABC≌△DEC，点E在边AB上，∠DEC＝76°，则∠BCE的度数是．【答案】28°【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴CB＝CE，∠B＝∠DEC＝76°，∴∠BCE＝180°﹣2∠B＝28°，故答案为：28°．4．（2021•温州二模）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，FB∥EA交EC于H点，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：△ACE≌△BDF；（2）若CH＝BC，∠A＝50°，求∠D的度数．【答案】（1）略（2）∠D＝80°【解答】证明：（1）∵FB∥EA，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△ACE与△BDF中，，∴△ACE≌△BDF（SAS）；（2）解：∵△ACE≌△BDF，∴∠A＝∠FBD，∠D＝∠ACE，∵∠A＝50°，∴∠FBD＝50°，∵CH＝BC，∴∠FBD＝∠BHC＝50°，∴∠BCH＝180°﹣∠FBD﹣∠BHC＝80°，∴∠D＝80°．5．（2021秋•长兴县期中）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证：DE＝DF；（2）若AB＝5，BC＝8，求DE的长．【答案】（1）略（2）DE＝【解答】（1）证明：如图，连接AD，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF；（2）解：∵AB＝AC，∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝4，∴AD＝＝＝3，∴S△ABD＝AB•DE＝BD•AD，∴5DE＝4×3，∴DE＝．6．（2019•曲靖模拟）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为多少时，四边形BCEF是菱形．【答案】（1）略（2）AF＝时，四边形BCEF是菱形【解答】解析（1）证明：∵AF＝DC，∴AF+FC＝DC+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）如解图，连接BE，交CF于点G，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形，∴当BE⊥CF时，四边形BCEF是菱形，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴＝，即＝，∴CG＝，∵FG＝CG，∴FC＝2CG＝，∴AF＝AC﹣FC＝5﹣＝，∴当AF＝时，四边形BCEF是菱形．7．（2020•沈河区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．【答案】（1）略（2）30【解答】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△BCE和△CAD中