专题10 锐角三角函数及其运用（讲+练）-【2022年】中考数学二轮复习核心专题复习攻略【无答案】

专题10锐角三角函数及其运用复习考点攻略考点一锐角三角函数锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．【注意】根据定义求三角函数值时，一定要根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.【例1】如图，在△ABC中，∠C=90°．若AB=3，BC=2，则sinA的值为（）A． B． C． D．考点二特殊角的三角函数值αsinαtanα30°45°160°【例2】的值为（）A． B． C． D．1考点三解直角三角形1．在直角三角形中，求直角三角形所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.【例3】如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为________米（结果保留根号）【例4】如图，大海中有和两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线上点处测得，；在点处测得，，．⑴判断、的数量关系，并说明理由⑵求两个岛屿和之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，，，）考点四锐角三角函数的应用1．仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：5．解直角三角形实际应用的一般步骤（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．6.解直角三角形应用题应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例5】如图，一名滑雪爱好者先从山脚下A处沿登山步道走到点B处，再沿索道乘坐缆车到达顶部C．已知在点A处观测点C，得仰角为35°，且A，B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：1，长度为2600米，求山的高度（即点C到AE的距离）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.41，结果保留整数）【例6】如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处．（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点O处．圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险．请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：≈1.414，≈1.732）第一部分选择题一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分）1.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（）A． B． C． D．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanBD．b＝ctanB已知α是锐角，sinα=cos60°，则α等于（）A．30° B．45° C．60° D．不能确定若∠A是锐角，且sinA=13，则（

）A.

0°<∠A<30°

B.

30°<∠A<45°

C.

45°<∠A<60°

D.

60°<∠A<90°点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（

）A.

（√32，12）

B.

（-√32，12）

C.

（-√32，-12）

D.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（）A． B． C． D．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米菱形ABCD的对角线AC=10cm，BD=6cm，那么tan为（）A． B． C． D．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）

34

B.35

C.

45

如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（）A． B． C． D．填空题二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）11..若tan（α–15°）=，则锐角α的度数是________．12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12，tanA=，则sinB=___________．如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4．则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）解答题二、解答题（本题有7小题，共46分）17.如图，在中，的平分线交于点．求的长？18.已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，对角线BD=8，tan∠CBD=．（1）求边AB的长；（2）求cos∠BAE的值．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内） 求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）如图，某船向正东航行，在A处望见海岛C在北偏东60°，前进6海里到B点，此时测得海岛C在北偏东45°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问船继续向正东航行，有触礁的危险吗?

如图，直升飞机在隧道BD上方A点处测得B、D两点的俯角分别为45°和31°．若飞机此时飞行高度AC为1208m，且点C、B、D在同一条直线上，求隧道BD的长．（精确到1m）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）如图，在某建筑物AC上，挂着“缘分‘天柱’定，悠然在潜山”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，再往条幅方向前行30米到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角为60°，求宣传条幅BC的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考