概率和概率分布

概率和概率分布第1页，共105页，2023年，2月20日，星期五第五章概率和概率分布§1概率的问题§2离散变量的概率分布

§3连续变量的概率分布

§4抽样分布第2页，共105页，2023年，2月20日，星期五学习目标1. 了解随机事件的概念、事件的关系和运算2. 理解概率的定义，掌握概率的性质和运算法则理解随机变量及其分布，计算各种分布的概率第3页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1概率的问题§1.1事件

§1.2概率§1.3概率分布

第4页，共105页，2023年，2月20日，星期五随机事件的几个基本概念随机事件的几个基本概念第5页，共105页，2023年，2月20日，星期五试验在相同条件下，对事物或现象所进行的观察例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数试验具有以下特点可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果第6页，共105页，2023年，2月20日，星期五事件的概念事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)例如：掷一枚骰子出现的点数为3随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件例如：掷一枚骰子可能出现的点数必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数小于7不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示例如：掷一枚骰子出现的点数大于6第7页，共105页，2023年，2月20日，星期五事件与样本空间基本事件一个不可能再分的随机事件例如：掷一枚骰子出现的点数样本空间一个试验中所有基本事件的集合，用表示例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}在投掷硬币的试验中，{正面，反面}第8页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1事件§1.1.2事件的关系事件的包含；事件的互斥；事件的并（或和）；事件的交（或积）；事件的差；事件的逆。

第9页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的关系和运算

（事件的包含）ABB

A

若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或事件A包含于事件B，记作或AB或B

A第10页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.2

事件的关系和运算

（事件的并或和）

事件A和事件B中至少有一个发生的事件称为事件A与事件B

的并。它是由属于事件A或事件B的所有的样本点组成的集合，记为A∪B或A+BBAA∪B第11页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.2

事件的关系和运算

（事件的交或积）ABA∩B

事件A与事件B同时发生的事件称为事件A与事件B的交，它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合，记为B∩A

或AB第12页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的关系和运算

（互斥事件）ABA

与B互不相容

事件A与事件B中，若有一个发生，另一个必定不发生，则称事件A与事件B是互斥的，否则称两个事件是相容的。显然，事件A与事件B互斥的充分必要条件是事件A与事件B没有公共的样本点第13页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的关系和运算

（事件的逆）A

A一个事件B与事件A互斥，且它与事件A的并是整个样本空间，则称事件B是事件A的逆事件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本点所组成的集合，记为A第14页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.2事件的关系和运算

（事件的差）A-BAB事件A发生但事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差，它是由属于事件A而不属于事件B的那些样本点构成的集合，记为A-B

第15页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.1.3事件的性质事件的性质设A、B、C为三个事件，则有交换律：A∪B=B∪A

A∩B=B∩A结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA(BC)

=(AB)C分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)第16页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2概率§1.2.1事件的概率

事件A的概率是对事件A出现的可能性大小的一种度量，数学表示为，概率的数学性质有：非负性对任意事件A，有0P1规范性必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。即P()=1；P()=0可加性若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)第17页，共105页，2023年，2月20日，星期五事件的概率事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量表示事件A出现可能性大小的数值事件A的概率表示为P(A)概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义第18页，共105页，2023年，2月20日，星期五事件的概率例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率，随着投掷次数n的增大，出现正面和反面的频率稳定在1/2左右试验的次数正面/试验次数1.000.000.250.500.750255075100125第19页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定义

如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果在每次试验中出现的可能性相同，则事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中所包含的基本事件个数n的比值，记为第20页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定义

（实例）【例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。从该公司中随机抽取1人，问：（1）该职工为男性的概率（2）该职工为炼钢厂职工的概率某钢铁公司所属企业职工人数工厂男职工女职工合计炼钢厂炼铁厂轧钢厂4000320090018001600600620048001500合计8500400012500第21页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的古典定义

（计算结果）解：(1)用A表示“抽中的职工为男性”这一事件；A为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合。则

(2)用B表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢厂全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则第22页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的统计定义在相同条件下进行n次随机试验，事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为第23页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的统计定义

（实例）【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。

解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概率的统计定义有第24页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.2概率的主观定义对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验人为确定概率是一个决策者对某事件是否发生，根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的判断例如，我认为2012年的中国股市是一个盘整年概率的主观定义叫主观概率，也叫个人概率。第25页，共105页，2023年，2月20日，星期五

法则一：加法的特殊定理两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为两个互斥事件，则

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An两两互斥，则有P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)特别的，若事件A与B互斥，并且事件A与B的和组成了整个样本空间，此时，事件A与B互为逆事件。有，个式子还可以写成或写作：。上式也叫概率的补偿定理。

§1.2.3概率的加法第26页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法

（实例）【例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的概率解：用A表示“抽中的为炼钢厂职工”这一事件；B表示“抽中的为轧钢厂职工”这一事件。随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为互斥事件A与B的和，其发生的概率为第27页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法法则二：加法的一般定理有的事件并不是互斥的，有可能同时发生，存在交集。要计算两个事件之和的概率，要减去一次交集的概率，否则这部分就包括了两次，重复多算了一次。对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)对于两个互斥事件而言，有P(A∩B)=P(Φ)=0加法的特殊定理是一般定理的一个特例。第28页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.3概率的加法

（实例）【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有20%读甲报纸，16%读乙报纸，8%两种报纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝{至少读一种报纸}。则

P(C

)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=0.2

+

0.16

-

0.08

=

0.28第29页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法--条件概率1.条件概率在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件A的条件概率，记为若，事件A的条件概率（事件B发生的条件下），与事件A本身的概率相等，意味着事件B的信息对于事件A没有影响，说明这两个事件是独立的。第30页，共105页，2023年，2月20日，星期五条件概率的图示事件AB及其概率P(AB)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B发生第31页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法2.乘法的特殊定理两个独立事件之积（同时发生）的概率，等于两个事件的概率之积。即若事件A与B独立，有P(AB)=P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有

P(A1A2

…An)=P(A1)P(A2)…P(An)第32页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法

（乘法的特殊定理实例）【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟)内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的概率解：设A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事件，A3

为丙机床需要看管的事件，依题意有

(1)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.80.85=0.612

(2)

P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)

P(A3)=0.90.8(1-0.85)=0.108第33页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法3.乘法的一般定理更多的时候，事件并不是独立的，概率的计算是有条件的。一般意义上，两个事件之积（同时发生）的概率，为：上式也可以写作求两个以上事件之积（同时发生）的概率与之相似。以三个事件A、B、C为例。事件A、B、C同时发生的概率为：第34页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.4概率的乘法

（实例）【例】设有1000中产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，两件都是次品的概率是多少？解：设Ai表示“第i次抽到的是次品”(i=1,2)，所求概率为P(A1A2)

第35页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和贝叶斯公式1.全概公式设n个事件两两互斥，并有，说明n个事件两两互斥没有交集，并且组成了整个样本空间，满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组。若，则对任意事件B，有：我们把事件看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B能且只能在原有之一发生的条件下发生，求事件B

的概率就是上面的全概公式

第36页，共105页，2023年，2月20日，星期五全概公式

（实例）【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概率。解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。根据全概公式有第37页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和贝叶斯公式2.贝叶斯公式贝叶斯公式与全概率公式要解决的问题正好相反。它是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（或事件是在什么条件下发生的）。贝叶斯公式也称作逆概公式。设n个事件两两互斥，并有

就是贝叶斯公式（逆概公式），它是基于事件B已发生的结果，推导事件B是在情况下发生的概率。第38页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.2.5全概公式和贝叶斯公式进一步有：

已知事件B发生了，未知（想去知道）的是事件B是在什么情况下发生，这可以通过计算逆概率来做出判断。

第39页，共105页，2023年，2月20日，星期五贝叶斯公式

（实例）【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率解：设A1表示“产品来自甲台机床”，A2表示“产品来自乙台机床”，A3表示“产品来自丙台机床”，B表示“取到次品”。根据贝叶斯公式有：第40页，共105页，2023年，2月20日，星期五§1.3概率分布概率分布指的是随机变量的概率分布。对离散变量，列出其所有可能的取值以及随机变量取这些值的概率，便构成了离散变量的概率分布。对连续变量，可计算某段（区间）取值的概率（或概率密度），相应地便构成了连续变量的概率分布。第41页，共105页，2023年，2月20日，星期五随机变量的概念一次试验的结果的数值性描述一般用X、Y、Z来表示例如:投掷两枚硬币出现正面的数量根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量第42页，共105页，2023年，2月20日，星期五离散型随机变量随机变量X取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来X1,X2，…以确定的概率取这些不同的值离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,…,1000,1,2,…0,1,2,…男性为0,女性为1第43页，共105页，2023年，2月20日，星期五连续型随机变量随机变量X取无限个值所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X00

X100X0第44页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2离散变量的概率分布首先看离散型随机变量的概率分布。为得到离散型随机变量X的概率分布，通常需要列出X的所有可能取值，以及X取这些值的概率。用下面的表格来表示：

第45页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2离散变量的概率分布列出离散型随机变量X的所有可能取值列出随机变量取这些值的概率通常用下面的表格来表示X=xix1，x2

，…

，xnP(X=xi)=pip1，p2

，…

，pn

P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi00第46页，共105页，2023年，2月20日，星期五离散型随机变量的概率分布

（实例）【例】如规定打靶中域Ⅰ得3分，中域Ⅱ得2分，中域Ⅲ得1分，中域外得0分。今某射手每100次射击，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中Ⅲ，5次中域外。则考察每次射击得分为0,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi0123P(X=xi)pi0.050.100.550.30第47页，共105页，2023年，2月20日，星期五离散型随机变量的数学期望在离散型随机变量X的一切可能取值的完备组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘积之和描述离散型随机变量取值的集中程度计算公式为第48页，共105页，2023年，2月20日，星期五离散型随机变量的方差随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为V(X)描述离散型随机变量取值的分散程度计算公式为第49页，共105页，2023年，2月20日，星期五离散型随机变量的方差

（实例）【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/6解：数学期望为：方差为：第50页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2离散变量的概率分布几种主要的离散变量概率分布§2.1均匀分布§2.20-1分布

§2.3二项分布§2.4泊松分布

第51页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.1均匀分布当离散型随机变量X的所有可能取值的概率相同，即都相同，则X服从均匀分布。设所有可能的取值个数为n，则对于服从均匀分布的离散型随机变量X，有：第52页，共105页，2023年，2月20日，星期五均匀分布实例【例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机变量，其概率分布为X=xi123456P(X=xi)=pi1/61/61/61/61/61/601/6P(x)1x23456第53页，共105页，2023年，2月20日，星期五伯努利试验

（0-1分布、二项分布）0-1分布、二项分布与伯努利试验有关伯努利试验具有如下属性试验包含了n

个相同的试验每次试验只有两个可能的结果，即“成功”和“失败”出现“成功”的概率p对每次试验结果是相同的；“失败”的概率q也相同，且p+q=1试验是相互独立的试验“成功”或“失败”可以计数第54页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.20-1分布

当离散型随机变量X的只有两个可能的取值，并且其中一个赋值为1，另一个赋值为0，则X服从0-1分布。例如，男性用1表示，女性用0表示；合格品用1表示，不合格品用0表示设取1的概率为，则取0的概率对于服从0-1分布的离散型随机变量X，有： 第55页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.20—1分布

(实例)【例】已知一批产品的次品率为p＝0.05，合格率为q=1-p=1-0.5=0.95。并指定废品用1表示，合格品用0表示。则任取一件为废品或合格品这一离散型随机变量，其概率分布为X=xi01P(X=xi)=pi0.050.950.5011xP(x)第56页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.3二项分布

二项分布研究的是类型变量，并且类型只能够表现为两种形式，这与0-1分布一致。二项分布其实是多个0-1分布的结合。0-1分布是一次实验，二项分布则是多次试验。二项分布的多次试验中，每次试验都是独立于其他试验的，试验之间也不会互相影响。第57页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.3二项分布

设成功的概率为p，则失败的概率为q=1-p。试验的总次数为n，则n次试验中成功的次数X服从二项分布。记作：设X为n次重复试验中事件A出现的次数，X取x

的概率为第58页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.3二项分布显然，对于P{X=x}0，x=1,2,…,n，有同样有当n=1时，二项分布化简为第59页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.3二项分布二项分布随机变量的期望和方差为：

第60页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.3

二项分布

（实例）【例】已知100件产品中有5件次品，现从中任取一件，有放回地抽取3次。求在所抽取的3件产品中恰好有2件次品的概率解：设X为所抽取的3件产品中的次品数，则X~B(3,0.05)，根据二项分布公式有第61页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布

n很大而p很小时二项分布的极限形式叫做泊松分布。设参数，代表某结果出现次数的期望，若试验总次数为n，某结果每次出现的概率为p，当n很大而p很小时，。某结果出现的次数X在服从泊松分布的情况下，X的取值为

,有—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的平均数e=2.71828x—给定的时间间隔、长度、面积、体积内“成功”的次数第62页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布泊松分布随机变量的期望和方差为：第63页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.4

泊松分布

（实例）【例】假定某企业的职工中在周一请假的人数X服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为2.5人。求（1）X

的均值及标准差（2）在给定的某周一正好请事假是5人的概率解：(1)E(X)==2.5；D(X)=＝2.5=1.581(2)第64页，共105页，2023年，2月20日，星期五§2.4泊松分布

（作为二项分布的近似）当试验的次数n

很大，成功的概率p

很小时，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概率，即实际应用中，当P0.25，n>20，np5时，近似效果良好第65页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3连续变量的概率分布连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值它取任何一个特定的值的概率都等于0不能列出每一个值及其相应的概率通常研究它取某一区间值的概率用数学函数的形式和分布函数的形式来描述第66页，共105页，2023年，2月20日，星期五概率密度函数设X为一连续型随机变量，x

为任意实数，X的概率密度函数记为f(x)，它满足条件

f(x)不是概率第67页，共105页，2023年，2月20日，星期五概率密度函数密度函数f(x)表示X的所有取值x

及其频数f(x)值(值,频数)频数f(x)abx第68页，共105页，2023年，2月20日，星期五概率密度函数在平面直角坐标系中画出f(x)的图形，则对于任何实数a<b，P(a<Xb)是该曲线下从a

到b的面积f(x)xab概率是曲线下的面积第69页，共105页，2023年，2月20日，星期五分布函数连续型随机变量的概率也可以用分布函数F(x)来表示分布函数定义为根据分布函数，P(a<X<b)可以写为第70页，共105页，2023年，2月20日，星期五分布函数与密度函数的关系密度函数曲线下的面积等于1分布函数是曲线下小于x0

的面积f(x)xx0F(x0

)第71页，共105页，2023年，2月20日，星期五连续型随机变量的期望和方差连续型随机变量的数学期望为方差为第72页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3连续变量的概率分布几种主要的连续变量的概率分布§3.1均匀分布§3.2正态分布

§3.3正态分布衍生的几个重要分布第73页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.1均匀分布当连续型随机变量X的概率密度值为常数，即都相同，则X服从均匀分布。设所有可能的取值从a到b，由，得X的概率密度函数为：称X服从在区间的均匀分布。xf(x)ba第74页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.1均匀分布分布函数为：数学期望和方差为：第75页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布正态（normal）分布是描述连续型随机变量最重要的分布。服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数为：分布函数为：其中，为均值，为标准差，，。

第76页，共105页，2023年，2月20日，星期五正态分布的重要性1. 正态（normal）分布:描述连续型随机变量的最重要的分布2. 可用于近似离散型随机变量的分布例如:二项分布3. 经典统计推断的基础xf(x)第77页，共105页，2023年，2月20日，星期五概率密度函数f(x)=随机变量X的频数

=总体方差

=3.14159;e=2.71828x=随机变量的取值(-<x<)

=总体均值第78页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布若随机变量X服从期望为方差为的正态分布，记作：只要有均值与标准差，就可以构成一个正态分布。因此，每一对均值和标准差就有一个正态分布。并有：第79页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布特征（1）每一对μ与σ都可以形成一条曲线，这意味着正态曲线可以看成是一族曲线，在编制曲线时需要并且只需要μ与σ2。（2）曲线为钟形，而且对称。期望μ为变量取值的中间点和对称点。方差σ2反映了变量的离散程度，σ2越小曲线越尖，σ2越大曲线越扁平。（3）在正态分布中，变量的均值、中位数Me和众数Mo都是相等的。（4）概率密度值在对称点μ取到最大值，越往两边值越小，直至无限趋近于0，在理论上永不相交。（5）正态分布的随机变量，大部分取值在中间点μ附近，极大极小值的个数都较少。实际上几乎所有的数值位于均值加减三个标准差之间，也就是说全距离为6σ。（6）曲线下总面积为1。曲线从对称点往右或往左的面积都是0.5。第80页，共105页，2023年，2月20日，星期五和对正态曲线的影响xf(x)CAB第81页，共105页，2023年，2月20日，星期五正态分布的概率概率是曲线下的面积!abxf(x)第82页，共105页，2023年，2月20日，星期五标准正态分布的重要性一般的正态分布取决于均值和标准差计算概率时，每一个正态分布都需要有自己的正态概率分布表，这种表格是无穷多的若能将一般的正态分布转化为标准正态分布，计算概率时只需要查一张表第83页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布为了得到更加一般意义和标准的正态分布，我们可以采取标准化处理，把所有均值为方差为的正态分布，都转化为均值为0方差为1的正态分布，即通过线性变换的标准化处理，把正态分布转化为标准正态分布。设，标准化处理为：并有：第84页，共105页，2023年，2月20日，星期五标准正态分布xms一般正态分布

=1Z标准正态分布第85页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布便得到了服从标准正态分布的Z变量，有：Z变量的概率密度函数为：Z变量的分布函数为：标准正态分布的概率密度函数和分布函数是唯一的。概率密度函数一般用表示，分布函数一般用表示。第86页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布对于一般的正态分布，有：

第87页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.2正态分布标准正态分布表的注意事项有：（1）标准化处理为（2）查标准正态分布表即得概率。其中，

（3）对于负的z，可由得到。（4）（5）第88页，共105页，2023年，2月20日，星期五标准化的例子P(5X6.2)

x=5=10一般正态分布6.2

=1Z标准正态分布00.12.0478第89页，共105页，2023年，2月20日，星期五标准化的例子P(2.9X7.1)

一般正态分布.1664.0832.0832标准正态分布第90页，共105页，2023年，2月20日，星期五正态分布

（实例）【例】设X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(2

X)=1-0.9973=0.0227(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.8354(4)P(|X|2)=P(-2

X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545第91页，共105页，2023年，2月20日，星期五正态分布

（实例）【例】设X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)第92页，共105页，2023年，2月20日，星期五二项分布的正态近似***当n很大时，二项随机变量X近似服从正态分布N{np,np(1-p)}对于一个二项随机变量X，当n很大时，求P(x1Xx2)时可用正态分布近似为第93页，共105页，2023年，2月20日，星期五为什么概率是近似的***.0.1.2.30246810xP(x)正态曲线增加的概率正态曲线减少的概率二项概率：矩形的面积正态概率：曲线下从3.5到4.5的面积增加的部分与减少的部分不一定相等第94页，共105页，2023年，2月20日，星期五§3.3正态分布衍生的几个重要分布

***§3.3.1卡方分布

常应用于拟合优度检验中。设个随机变量相互独立，且都服从标准正态分布，则它们的平方和服从自由度为的卡方分布。记作：

卡方分布的期望为：卡方分布的方差为：卡方分布具有可加性即若，，且与独立，则：第95页，共105页，2023年，