概率分布与统计推断

概率分布与统计推断第1页，共95页，2023年，2月20日，星期五一、随机变量的概率分布1.随机变量及其概率分布（1）随机变量：随机变量是定义在样本空间Ω的实函数，常用X,Y,Z等表示。它有两个特点：变异性与随机性。按取值情况分类：离散型、连续型。（2）分布函数：设X为随机变量，x为任意实数，称F(x)=P{X≤x}为随机变量X的概率分布函数或累积概率函数，简称分布函数。第2页，共95页，2023年，2月20日，星期五若随机变量X的分布函数F(x)，则对任意x1与x2(x1<x2),P{x1<X≤x2}=F(x2)－F(x1)。若X为连续型随机变量，F(x)是X的分布函数，则存在非负函数f(x),对任意x，有称f(x)为随机变量X的概率密度。第3页，共95页，2023年，2月20日，星期五2.常见的概率分布：（1）离散型：概率密度（分布律）二项分布几何分布泊松分布第4页，共95页，2023年，2月20日，星期五（2）连续型：均匀分布：概率密度函数指数分布：概率密度函数第5页，共95页，2023年，2月20日，星期五-4-2024600.050.10.150.20.250.30.350.4正态分布：密度函数：标准正态分布：N(0,1)密度函数：第6页，共95页，2023年，2月20日，星期五Χ2分布：若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量服从自由度为n的分布，记为：的均值为n，方差为2n.第7页，共95页，2023年，2月20日，星期五

t-分布若X~N(0,1)，且相互独立，则随机变量服从自由度为n的t分布，记为T~t(n)，

t分布：t(20)的密度函数曲线和N(0,1)的密度函数曲线形状相似.时，第8页，共95页，2023年，2月20日，星期五

F-分布且相互独立，则随机变量服从自由度为(n1n2)的F分布，记为F~F(n1n2)。F(10,50)密度函数曲线：第9页，共95页，2023年，2月20日，星期五3.常见概率分布的MATLAB命令运算功能符：pdf:概率密度，cdf:分布函数,

inv:逆分布函数，stat:均值与方差，rnd:产生随机数概率分布符：分布均匀几何超几何指数正态Χ2tF二项泊松字符unifgeohypeexpnormchi2tfbionpoiss（当需要一种分布的某一类函数时，将以上所列的分布命令字符与函数命令字符接起来，并输入自变量（可以是标量、数组或矩阵）和参数即可.）第10页，共95页，2023年，2月20日，星期五例1.1

(1)[x,y]=expstat(2),求出参数为2的指数分布的均值与方差。(2)a=[2,3]

[x,y]=expstat(a),(3)a=[2,3;3,4]

[x,y]=expstat(a),构成参数为2和参数为3的指数分布的均值数组与方差数组。构成参数为2和参数为3参数为3和参数为4的指数分布的均值矩阵与方差矩阵。第11页，共95页，2023年，2月20日，星期五

(4)x=normcdf(2,1,0.5),正态分布X~N(1,0.52)累计概率F(2)

(5)c=0:0.2:1x=normcdf(c,1,0.5),正态分布X~N(1,0.52)累计概率F(0),F(0.2),…,F(1)

(6)n=10;a=[];forj=1:na(j)=unifrnd(0,1)end

第12页，共95页，2023年，2月20日，星期五例1.2设若求P{1.8<X<2.9}

若P{X<x}=0.95，求x

分别绘出σ=0.2,0.5,0.9时的概率密度图像解(1)p=normcdf(2.9,2,0.5)-normcdf(1.8,2,0.5)得：

p=0.6195

(2)x=norminv(0.95,2,0.5)得：

x=2.8224第13页，共95页，2023年，2月20日，星期五

(3)x=-2:0.01:7;y1=normpdf(x,2,0.2);

y2=normpdf(x,2,0.5);

y3=normpdf(x,2,0.8);plot(x,y1,x,y2,x,y3)gtext(‘标准差0.2’)gtext(‘标准差0.5’)gtext(‘标准差0.8’)title(‘正态分布密度曲线’)第14页，共95页，2023年，2月20日，星期五clcclearx=-2:0.01:7;y1=normpdf(x,2,0.2);y2=normpdf(x,2,0.5);y3=normpdf(x,2,0.8);plot(x,y1,'r','linewidth',2)holdonplot(x,y2,'b','linewidth',2)plot(x,y3,'g','linewidth',2)gtext('标准差0.2')gtext('标准差0.5')gtext('标准差0.8')title('正态分布密度曲线')holdoff第15页，共95页，2023年，2月20日，星期五标准差0.5标准差0.2标准差0.8正态分布密度曲线第16页，共95页，2023年，2月20日，星期五例1.3报童的抉择：报童每天从发行商处购进报纸，晚上将没卖掉的报纸退回，每份报纸进价b元，零售价a元，退价c元，且a≥b≥c，每天报纸的需求量是随机的，为获得最大利润，报童每天应购进多少报纸？建立模型，并以a=1,b=0.8,c=0.75作实证分析。假设已作市场调查，据调查数据：需求100-119120-139140-159160-179180-199200-219220-239240-259260-279280~天数3913223235201582第17页，共95页，2023年，2月20日，星期五模型分析：报童面临两个矛盾的进货方式：（1）购进太多卖不完退回赔钱（2）购进太少不够销售赚钱少影响最终收入的两个因素：进货量n，报纸需求量r。报纸需求量r是随机的；进货量n是需要做出的决策变量。第18页，共95页，2023年，2月20日，星期五模型建立与求解：报童一天的收入：一天的平均收入：调查需求量的随机规律——每天需求量为r的概率f(r),r=0,1,2…第19页，共95页，2023年，2月20日，星期五目标函数：求解：将r视为连续变量，(概率密度)第20页，共95页，2023年，2月20日，星期五令：得：由经验常识知像报纸这样的商品的需求量大致服从正态分布，n可由累积逆概率求出。第21页，共95页，2023年，2月20日，星期五r

r1,r2,…,rn

概率

p1,p2,…,pn离散型随机变量分布律：均值：方差：需求100-119120-139140-159160-179180-199200-219220-239240-259260-279280~天数3913223235201582需求r110130150170190210230250270290概率3/s9/s13/s22/s32/s35/s20/s15/s8/s2/sS=159第22页，共95页，2023年，2月20日，星期五

a=1;b=0.8;c=0.75;q=(a-b)/(a-c);r=[3,9,13,22,32,35,20,15,8,2];rr=sum(r);x=110:20:290;rbar=r*x’/rrs=sqrt(r*(x.^2)’/rr-rbar^2)n=norminv(q,rbar,s)得：rbar=199.4340,s=38.7095,n=232.0127需求量均值:199，标准差38，报童应购进232份报纸。第23页，共95页，2023年，2月20日，星期五二、样本的数字特征1.样本及其数字特征在数理统计中，将研究对象的全体称为总体，记为X，从总体中抽出的若干个体称为样本，记为X1,X2,…,Xn,样本的具体观测结果记为x1,x2,…,xn,它是完全确定的，又是随每次抽样观察而改变的一组数值。用样本构成函数，从而将分散于样本中的信息集中起来，就是统计量的概念。常用的统计量：第24页，共95页，2023年，2月20日，星期五中位数：数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.平均值：极差：称s为标准差，方差：设来自总体X的一组样本为：X1,X2,…,Xn（1）描述集中趋势的统计量（2）描述离中趋势的统计量第25页，共95页，2023年，2月20日，星期五（3）描述数据形态的统计量偏度：

偏度反映分布的对称性，g1>0称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；

g1<0称为左偏态，情况相反；而g1接近0则可认为分布是对称的.峰度：

正态分布的峰度为3，若g2比3大很多，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一第26页，共95页，2023年，2月20日，星期五

k阶原点矩：

k阶中心矩：（4）样本的矩：第27页，共95页，2023年，2月20日，星期五将样本观察值依大小次序排列，得区间现的次数ni―频数。频率:统计样本观查值在每个小区间中出2.频数和频率：等分该区间，输出频数表：[n,y]=hist(x,k),k为等分区间数。输出频数直方图：hist(x,k)设来自总体X的一组样本为：X1,X2,…,Xn第28页，共95页，2023年，2月20日，星期五3.计算统计量的MATLAB命令均值:mean(x),中位数:median(x),标准差:std(x),方差var(x),偏度:skewness(x),峰度：kurtosis(x),原点矩:kurtosis(x,k),中心矩:moment(x,k).第29页，共95页，2023年，2月20日，星期五例2.1为设计公交车车门的高度，随机抽查了100名成年男子的身高（单位cm）：x=[182,176,168,175,166,171,172,169,172,171,172,181,177,172,178,181,166,173,184,177,180,176,176,170,178,168,181,178,171,177,186,180,157,185,174,171,169,192,186,159,161,193,182,187,180,173,167,174,162,163,187,186,184,175,173,174,168,172,183,181,174,162,187,175,174,169,175,174,175,182,183,169,182,170,179,172,173,174,166,175,165,178,165,182,173,174,190,176,182,179,183,167,165,174,181,186,165,172,173,178]求出身高数据的均值、中位数，标准差、峰度，绘出频数直方图，若车门高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计，求车门最低高度是多少？第30页，共95页，2023年，2月20日，星期五

x=[182,176,….];T=[mean(x),median(x),std(x),kurtosis(x)]得:T=[175.2000,174.5000,7.3691,2.7241]hist(x,7)第31页，共95页，2023年，2月20日，星期五设车门高度为h，成年男乘客身高是随机变量X，

h=norminv(0.99,175.2,7.3691)得:h=1.9234车门最低高度为：1.9234第32页，共95页，2023年，2月20日，星期五计算：即求h使：可用数值积分的方法求得；取h=185,190,…,195,计算上述积分，找出积分值大于0.99的所对应的h。第33页，共95页，2023年，2月20日，星期五Matlab中关于数值积分的命令：(1)quad函数：基于变步长simpson法计算积分。该函数调用格式：[I,n]=quad(‘fname’,a,b,Tol,trace)其中：‘fname是被积函数名

a,b是积分上下限

Tol是精度控制值，省却时取0.001Trace:控制是否显示展现积分过程，取0不展现

I：积分值

n：被积函数调用次数第34页，共95页，2023年，2月20日，星期五如：求积分ac=inline('sin(x)./x','x')s=quad(ac,pi/4,pi/2)如：求椭圆周长第35页，共95页，2023年，2月20日，星期五h=185:1:195;p=[];ab=inline('1/(7.3691*(2*pi)^0.5)*exp(-(x-175.2).^2/(2*7.3891^2))','x')fori=1:11h(i);p(i)=0.5+quad(ab,175.2,h(i));endA=[h;p]'第36页，共95页，2023年，2月20日，星期五A=185.00000.9087186.00000.9292187.00000.9461188.00000.9596189.00000.9704190.00000.9787191.00000.9851192.00000.9898193.00000.9933194.00000.9959195.00000.9977第37页，共95页，2023年，2月20日，星期五Matlab中关于数值积分的命令：(2)quad8函数：用8样条牛顿-柯特斯法计算积分。函数调用格式：[I,n]=quad8(‘fname’,a,b,Tol,trace)Tol是精度控制值，省却时取该函数可更精确的求定积分。(3)trapz函数：用梯形法计算积分，适用于被积函数为离散数据时，求函数的定积分。该函数调用格式：I=trapz(x,y)第38页，共95页，2023年，2月20日，星期五例2.2某地为了发展旅游产业及美化环境，规划将一片水域改造成一个景观湖，需测算该水域的面积，并计划沿湖修建一条观光道路。已在水域边界上测量了n个点的坐标（见表），现要求解决下列问题：

(1)做出该水域的平面图

(2)求出该水域面积的近似值

(3)求出该水域边界的周长第39页，共95页，2023年，2月20日，星期五表：湖的边界点实测坐标X215.028.652.061.875.492.9105.9Y138.518.612.45.810.623.836.838.8Y238.578.586.881.598.6114.2160.6172.8X121.1140.8157.2180.5216.8248.5279.8310.4Y125.428.718.838.650.520.45.432.8Y2176.6165.5158.6155.6186.8252.4268.8276.7X335.0360.6378.5400.1420.5448.5470.5493.1Y151.956.872.866.655.565.590.5170.4Y2275.4258.2235.2228.9198.5195.5188.1170.4第40页，共95页，2023年，2月20日，星期五A=[2,15.0,28.6,52.0,61.8,75.4,92.9,105.9;38.5,18.6,12.4,5.8,10.6,23.8,36.8,38.8;38.5,78.5,86.8,81.5,98.6,114.2,160.6,172.8;121.1,140.8,157.2,180.5,216.8,248.5,279.8,310.4;25.4,28.7,18.8,38.6,50.5,20.4,5.4,32.8;176.6,165.5,158.6,155.6,186.8,252.4,268.8,276.7;335.0,360.6,378.5,400.1,420.5,448.5,470.5,493.1;51.9,56.8,72.8,66.6,55.5,65.5,90.5,170.4;275.4,258.2,235.2,228.9,198.5,195.5,188.1,170.4];x=[A(1,:),A(4,:),A(7,:)];y1=[A(2,:),A(5,:),A(8,:)];y2=[A(3,:),A(6,:),A(9,:)];plot(x,y1,x,y2)axisequal第41页，共95页，2023年，2月20日，星期五A=[2,15.0,28.6,52.0,61.8,75.4,92.9,105.9;38.5,18.6,12.4,5.8,10.6,23.8,36.8,38.8;38.5,78.5,86.8,81.5,98.6,114.2,160.6,172.8;121.1,140.8,157.2,180.5,216.8,248.5,279.8,310.4;25.4,28.7,18.8,38.6,50.5,20.4,5.4,32.8;176.6,165.5,158.6,155.6,186.8,252.4,268.8,276.7;335.0,360.6,378.5,400.1,420.5,448.5,470.5,493.1;51.9,56.8,72.8,66.6,55.5,65.5,90.5,170.4;275.4,258.2,235.2,228.9,198.5,195.5,188.1,170.4];x=[A(1,:),A(4,:),A(7,:)];y1=[A(2,:),A(5,:),A(8,:)];y2=[A(3,:),A(6,:),A(9,:)];x1=fliplr(x);y21=fliplr(y2);x0=[x,x1];y0=[y1,y21]plot(x0,y0)axisequalfill(x0,y0,'b')Mianji=trapz(x,y2-y1)第42页，共95页，2023年，2月20日，星期五Mianji=7.3331e+004第43页，共95页，2023年，2月20日，星期五三、数据的处理1.数据矩阵的建立与常用的统计操作命令（1）由word文档建立数据矩阵（2）由excel文档建立数据矩阵（3）常用的统计操作命令

mean(A):求矩阵A的各列的均值

var(A):求矩阵A的各列的方差

std(A):求矩阵A的各列的标准差

rang(A):求矩阵A的各列的极差

cov(A):求矩阵A的各列的协方差矩阵

corrcoef(A):求矩阵A的各列的相关系数矩阵。第44页，共95页，2023年，2月20日，星期五2.向量的距离与夹角余弦（1）设两个n维向量称为向量x与y的欧氏距离。称为向量x与y的绝对距离。称为向量x与y的闵可夫斯基距离。第45页，共95页，2023年，2月20日，星期五称为向量x的2-范数。称向量x与向量y的夹角余弦第46页，共95页，2023年，2月20日，星期五（2）距离与夹角余弦的matlab命令

pdist(X)计算矩阵X每一行向量之间的欧氏距离。

pdist(X,’cityblock’)计算X每一行向量之间的绝对距离。

pdist(X,’cosine’)计算X每一行向量之间的夹角余弦。（注：实为1-夹角余弦）

dist(X,Y)计算矩阵X每一行向量与矩阵Y的每一列向量之间的欧氏距离。

mandist(X,Y)计算矩阵X每一行向量与矩阵Y的每一列向量之间的绝对距离。

sort(A):对列矩阵A的列元素从低到高排序。第47页，共95页，2023年，2月20日，星期五例3.1：2002年城镇居民家庭平均每人全年购买的主要商品数据如表所示，试比较哪两年数据差异最小，哪两年差异最大。项目19851990199519992000粮食134.76130.729784.9182.31鲜菜144.36138.7116.47114.94114.74食用油5.766.47.117.788.16猪肉16.6818.617.2416.9116.73牛羊肉2.023.282.443.093.33家禽3.243.423.974.925.44鲜蛋6.847.259.7410.9211.21水产品7.087.699.210.349.87食糖2.522.141.681.811.70数据来源：《2002年中国统计年鉴》，数据单位：kg第48页，共95页，2023年，2月20日，星期五A=[134.76,130.72,97,84.91,82.31;144.36,138.7,116.47,114.94,114.74;5.76,6.4,7.11,7.78,8.16;16.68,18.6,17.24,16.91,16.73;2.02,3.28,2.44,3.09,3.33;3.24,3.42,3.97,4.92,5.44;6.84,7.25,9.74,10.92,11.21;7.08,7.69,9.2,10.34,9.87;2.52,2.14,1.68,1.81,1.70];C=pdist(A','cosine');d1=pdist(A');d2=pdist(A','cityblock');B=[C',d1',d2'][P,i]=sort(B)第49页，共95页，2023年，2月20日，星期五B=0.00017.399915.10000.002947.118274.57000.009058.193192.32000.010960.565896.01000.002640.537263.87000.008751.872380.98000.010754.303984.65000.001912.373418.67000.002915.023822.50000.00012.76084.9900夹角余弦欧氏距离绝对距离第50页，共95页，2023年，2月20日，星期五P=0.00012.76084.99000.00017.399915.10000.001912.373418.67000.002615.023822.50000.002940.537263.87000.002947.118274.57000.008751.872380.98000.009054.303984.65000.010758.193192.32000.010960.565896.0100排序后的夹角余弦、欧氏距离、绝对距离第51页，共95页，2023年，2月20日，星期五i=101010111888599955222666377733444次序：结论：（1）1999年与2000年的数据差异最小。（2）1985年与2000年的数据差异最大。第52页，共95页，2023年，2月20日，星期五3.数据属性的处理（1）评价指标的无量纲化评价指标通常分为效益型、成本型、固定型等，效益型指标值越大越好、成本型指标值越小越好、固定型指标值既不能太大也不能太小为好。对方案进行综合评价，必须先进行指标的无量纲化处理。常见的处理方法有极差变换、线性比例变换设有m项评价指标的指标矩阵为第53页，共95页，2023年，2月20日，星期五用I1,I2,I3分别表示效益型，成本型和固定型指标集合，

用极差变换法建立无量纲的效益型矩阵B=(bij),:第54页，共95页，2023年，2月20日，星期五用线性比例法建立无量纲的效益型矩阵D=(dij)

:第55页，共95页，2023年，2月20日，星期五例3.2：（湖泊的水质的评价）近年来我国湖泊水质富营养化的问题日益严重，正确评价湖水的水质情况，有利于今后开展对湖水的污染治理和保护工作。下表2所列为我国12个湖泊评价参数实测数据，表1所列为我国对湖泊水质评价标准，试建立模型对我国的12个湖泊的水质进行评价，确定各个湖水质的等级。极贫营养贫营养中营养富营养极富营养总磷/（mg/L）<14

23110>660耗氧量(mg/L)<0.090.361.807.10>27.1透明度/m>37

12

2.4

0.55

<0.17总氮/(mg/L)

<0.02

0.06

0.31

1.20

>4.6表1湖泊水质评价标准第56页，共95页，2023年，2月20日，星期五总磷/（mg/L）耗氧量(mg/L)透明度/m总氮/(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武汉东湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23鄱阳湖1001.51.250.9太湖1398.690.8251.04洞庭湖1419.510.851.11洪泽湖1177.061.651.26阳澄湖409.71.3152.664洪湖457.831.651.33湖北武湖1078.11.521.075表2：全国12个湖泊的实测数据第57页，共95页，2023年，2月20日，星期五问题分析：如何归类？以距离最近原则进行归类。指标的量纲不同，数据的大小级别不同。对数据统一量纲，使用线性比例变换（12个湖泊的实测数据矩阵）第58页，共95页，2023年，2月20日，星期五A=[130,10.30,0.35,2.76;105,10.70,0.40,2.0;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.50,0.23;100,1.5,1.25,0.9;139,8.69,0.825,1.04;141,9.51,0.85,1.11;117,7.06,1.65,1.26;40,9.7,1.315,2.664;45,7.83,1.65,1.33;107,8.1,1.52,1.075];B=[A(:,1)./max(A(:,1)),A(:,2)./max(A(:,2)),min(A(:,3))./A(:,3),A(:,4)./max(A(:,4))]C=[1,4,23,110,660;0.09,0.36,1.80,7.10,27.1;37,12,2.4,0.55,0.17;0.02,0.06,0.31,1.20,4.6];D=[C(1,:)./max(C(1,:));C(2,:)./max(C(2,:));min(C(3,:))./C(3,:);C(4,:)./max(C(4,:))]mjd=mandist(B,D)[px,i]=sort(mjd');pp=i'第59页，共95页，2023年，2月20日，星期五B=0.92200.96260.71431.00000.74471.00000.62500.72460.14180.13080.05560.07970.21280.58501.00000.60510.14180.94670.50000.08330.70920.14020.20000.32610.98580.81210.30300.37681.00000.88880.29410.40220.82980.65980.15150.45650.28370.90650.19010.96520.31910.73180.15150.48190.75890.75700.16450.3895第60页，共95页，2023年，2月20日，星期五D=0.00150.00610.03480.16671.00000.00330.01330.06640.26201.00000.00460.01420.07080.30911.00000.00430.01300.06740.26091.0000第61页，共95页，2023年，2月20日，星期五mjd=3.58513.55233.35942.60030.40113.08053.04782.85482.09570.90570.39420.36140.19900.59073.59202.38912.35632.16341.40431.59711.65811.62541.43241.07802.32811.36171.32891.13600.83872.62452.46402.43132.23831.49131.52222.57132.53852.34561.61641.41492.08392.05111.85811.41421.90242.33182.29902.10611.58491.65441.67051.63781.44481.00092.31572.05612.02331.83031.36051.9302第62页，共95页，2023年，2月20日，星期五pp=543215432132145453214321543215453215432143521453214321543521等级杭州西湖5武汉东湖5青海湖3巢湖4滇池4鄱阳湖4太湖4洞庭湖5洪泽湖4阳澄湖4洪湖4湖北武湖4第63页，共95页，2023年，2月20日，星期五每股收益(元)每股净资产（元）每股现金流量净资产收益率（%）主营收入增长率（%）主营利润增长率（%）资产负债比率（%）海尔0.3965.6601.6507.2723.0946.2147.73海信0.3046.860-0.1304.54-4.5090.4052.79奥柯玛0.0151.6700.2300.885611.68-46.5978.85长虹0.0363.510-0.3301.040419.4626.5367.55苏泊尔0.2504.4960.1305.6135.9527.0527.47小天鹅0.2105.050-1.1604.3349.018.1759.75TCL0.0532.4830.1542.1412.23275.4665.73美的0.2205.1200.0405.0496.13172.0064.55美菱0.0725.195-0.7901.383113.41-50.0363.36格力0.3325.0601.1206.7868.9154.8475.49例3.3：（经营业绩的评价）下表为2011年第一季度10家家电类的上市公司的部分财务指标数据，要求根据这些数据对这10家公司的经营业绩做出合理的综合排名。第64页，共95页，2023年，2月20日，星期五输入原始数据矩阵X（1）用极差变换法建立无量纲的效益型矩阵B=(bij),:

B=[(X(:,1:6)-ones(10,1)*min(X(:,1:6))),max(X(:,7))-X(:,7)]./(ones(10,1)*range(X))第65页，共95页，2023年，2月20日，星期五（2）求出理想最佳和最劣方案向量U和V

U=[max(X(:,1:6)),min(X(:,7))]V=[min(X(:,1:6)),max(X(:,7))]（3）计算相对偏差矩阵R和T

R=abs(X-ones(10,1)*U)./(ones(10,1)*range(X))T=abs(X-ones(10,1)*V)./(ones(10,1)*range(X))（4）求客观权向量w

r0=normc(R)t0=normc(T)w=sum(r0.*t0)/sum(sum(r0.*t0))（5）计算得分、排序

df=B*(w')[a,n]=sort(df)第66页，共95页，2023年，2月20日，星期五X=[0.396,5.660,1.650,7.27,23.09,46.21,47.73;0.304,6.860,-0.130,4.54,-4.50,90.40,52.79;0.015,1.670,0.230,0.8856,11.68,-46.59,78.85;0.036,3.510,-0.330,1.0404,19.46,26.53,67.55;0.250,4.496,0.130,5.61,35.95,27.05,27.47;0.210,5.050,-1.160,4.33,49.01,8.17,59.75;0.053,2.483,0.154,2.14,12.23,275.46,65.73;0.220,5.120,0.040,5.04,96.13,172.00,64.55;0.072,5.195,-0.790,1.3831,13.41,-50.03,63.36;0.332,5.060,1.120,6.78,68.91,54.84,75.49];B=[(X(:,1:6)-ones(10,1)*min(X(:,1:6))),max(X(:,7))-X(:,7)]./(ones(10,1)*range(X))U=[max(X(:,1:6)),min(X(:,7))]V=[min(X(:,1:6)),max(X(:,7))]R=abs(X-ones(10,1)*U)./(ones(10,1)*range(X))T=abs(X-ones(10,1)*V)./(ones(10,1)*range(X))第67页，共95页，2023年，2月20日，星期五r0=normc(R)t0=normc(T)w=sum(r0.*t0)/sum(sum(r0.*t0))df=B*(w')[a,n]=sort(df)aa=flipud(a)nn=flipud(n)第68页，共95页，2023年，2月20日，星期五

11085267943

0.69420.60060.59890.56750.51580.38580.34180.23320.21950.1079得分排名1海尔0.694212海信0.515853奥柯玛0.1079104长虹0.219595苏泊尔0.567546小天鹅0.385867TCL0.341878美的0.598939美菱0.2332810格力0.60062第69页，共95页，2023年，2月20日，星期五四、参数估计总体X的分布函数去估计某些未知参数或数字特征。参数估计问题：(一)点估计：构造统计量作为参数的估计值。1.矩估计法：用样本的k阶矩估计总体的k阶矩，得到k个方程求出k个参数第70页，共95页，2023年，2月20日，星期五例4.1设总体X的概率密度为：试求的矩估计。解：样本1阶矩：总体的1阶矩：第71页，共95页，2023年，2月20日，星期五2.极大似然估计法：设总体X的概率密度为为总体X的一组样本，为这组样本的观察值，构造似然函数：由求出第72页，共95页，2023年，2月20日，星期五(二)区间估计：求未知参数的范围，构造两个统计量使得：则称随机区间为参数θ的置信度为1-α的置信区间。

MATlAB统计工具箱中，参数估计的命令：fit

如：a=expfit(X):

指数分布参数的点估计值，

[a,b]=expfit(x,alpha):指数分布参数的区间估计值。

alpha:显著性水平第73页，共95页，2023年，2月20日，星期五例4.2有一批糖果，从中随机抽取16代，称得其重量（克）为：506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496。设袋装糖果的质量近似服从正态分布，试求总体均值和标准差的置信度为0.95的置信区间。x=[506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496];[a,b,ar,br]=normfit(x,0.05)第74页，共95页，2023年，2月20日，星期五五、假设检验对总体X的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.（一）单个正态总体均值检验1.已知总体X服从正态分布，方差σ2已知，对其均值μ的检验。设X1,X2,…,Xn为总体X的一组样本，第75页，共95页，2023年，2月20日，星期五（1）双边检验：原假设:备择假设：构造统计量：给定显著性水平，由计算临界值，得拒绝域第76页，共95页，2023年，2月20日，星期五（2）单边检验：原假设：备择假设：（或）构造统计量：给定显著性水平，由计算临界值，得拒绝域（或）第77页，共95页，2023年，2月20日，星期五[h,p,ci,zval]=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)

x:检验数据，

m：原假设中的均值

alpha：显著性水平

tail：确定假设的情况

tail=0：双边检验，tail=1：右边检验(>)，tail=-1：左边检验(<)

h=1：拒绝原假设，

h=0：不能拒绝原假设

p：检验成立的概率

ci：均值的置信区间

zval：统计量的值第78页，共95页，2023年，2月20日，星期五例5.1某车间用一台包装机包装奶粉，袋装奶粉的重量是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5kg，标准差为0.015kg，假定标准差不变，某日开工后为检验包装机是否正常，随机抽取该机所包装的9袋奶粉，称得重量为：0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512kg,问机器是否正常？（α=0.05）原假设H0：μ=0.5，备择假设H1

：μ≠0.5，显著性水平：

α=0.05第79页，共95页，2023年，2月20日，星期五x=[0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512];[h,p,ci,zval]=ztest(x,0.5,0.015,0.05,0)得：h=1,p=0.0248,ci=0.5014,0.52210,zval=2.2444因此拒绝原假设，认为包装机不正常。第80页，共95页，2023年，2月20日，星期五

2.已知总体X服从正态分布，方差σ2未知，对其均值μ的检验。使用的检验方法为t-检验。构造统计量：原假设H0备择假设H1拒绝域[h,p,ci,zval]=ttest(x,m,alpha,tail)第81页，共95页，2023年，2月20日，星期五例5.2某种电子元件，要求其使用寿命不得小于225h，现随机抽取16只该元件，测得其寿命(h)为:159,280,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170。若该批元件寿命服从正态分布，问在显著性水平为α=0.05下，是否可认为该批元件合乎要求？解：检验方法为t-检验原假设H0：μ=225，备择假设H1

：μ<225，显著性水平：

α=0.05第82页，共95页，2023年，2月20日，星期五clcclearX=[199,280,201,232,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,190];[h,p,ci]=ttest(X,225,0.05,-1)h=0p=0.8852ci=-Inf291.5945接受原假设H0原假设H0成立的概率第83页，共95页，2023年，2月20日，星期五（二）两个正态总体均值检验1.已知总体X与总体Y服从正态分布，方差已知，对它们的均值μ1与μ2的检验原假设H0备择假设H1拒绝域统计量：第84页，共95页，2023年，2月20日，星期五2.已知总体X与总体Y服从正态分布，方差相等未知，对它们的均值μ1与μ2的检验原假设H0备择假设H1拒绝域统计量：第85页，共95页，2023年，2月20日，星期五[h,sig,ci,zval]=ttest2(x,y,alpha,tail)

x,y:检验数据，alpha：显著性水平

tail：确定假设的情况

tail=0：检验假设“x的均值等于y的均值”

tail=1：检验假设“x的均值大于y的均值”

tail=-1：检验假设“x的均值小于y的均值”

h=1：拒绝原假设，

h=0：不能拒绝原假设

sig：检验成立的概率

ci：x与y均值差的置信区间

zval：统计量的值第86页，共95页，2023年，2月20日，星期五（三）总体分布的检验1.JB检验法：[h,p,jbstat,cv]=jbtest(x,alpha)

h=1：拒绝X服从正态分布的假设。

h=0：不能拒绝X服从正态分布的假设。

jbstat：检验统计量的值。

cv：拒绝原假设的临界值。第87页，共95页，2023年，2月20日，星期五例5.3从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（mm）为：15.0,15.8,15.2,15.1,15.9