正多边形有关的证明及计算

正多边形有关的证明及计算第1页，共55页，2023年，2月20日，星期五第2页，共55页，2023年，2月20日，星期五1.掌握正多边形的相关概念，会依据圆的性质证明一个多边形是正多边形，并会利用等分圆周的方法画正多边形.2.会进行与正多边形有关的角度、周长、面积等方面的计算，并会用相关知识解决实际问题.第3页，共55页，2023年，2月20日，星期五第4页，共55页，2023年，2月20日，星期五第5页，共55页，2023年，2月20日，星期五第6页，共55页，2023年，2月20日，星期五第7页，共55页，2023年，2月20日，星期五第8页，共55页，2023年，2月20日，星期五第9页，共55页，2023年，2月20日，星期五

正多边形的定义、相关概念及画法【例1】已知：如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC=36°，弦BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，求证：五边形AEBCD是正五边形.第10页，共55页，2023年，2月20日，星期五【思路点拨】第11页，共55页，2023年，2月20日，星期五【自主解答】∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD、CE分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°.∴∴AD=CD=BC=BE=AE,∴∠EAD=∠AEB.同理：∠EBC=∠BCD=∠CDA=∠DAE.∴五边形AEBCD是正五边形.第12页，共55页，2023年，2月20日，星期五

正多边形的判定方法由定义可知，须从两个方面进行证明：(1)各角相等；(2)各边相等，二者缺一不可.与圆有关的正多边形的判定，证明的途径是根据等弧所对的弦相等，所对的圆周角也相等.正多边形的性质除边、角的相等关系之外，还有其对称性等.利用等分圆周的方法可以作圆内接正多边形.第13页，共55页，2023年，2月20日，星期五1.下列命题中正确的有()①各边相等的三角形是正三角形；②各角相等的多边形是正多边形；③各边相等的多边形是正多边形；④各边相等的圆内接多边形是正多边形；⑤各角相等的圆内接多边形是正多边形.(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个第14页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】选B.判断一个多边形要紧扣定义，同时注意三角形的特殊性，根据等边对等角，所以各边相等的三角形的各角也相等，故①正确；②、③不符合定义，如矩形满足各角相等，菱形满足各边相等，但都不是正多边形；由正多边形和圆的关系可知：弦相等→弧相等→多边形为正多边形，故④正确.⑤不正确，如：圆内接矩形就不是正多边形.故选B.第15页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.已知⊙O,半径为2cm,求作⊙O的内接正八边形.【解析】(1)如图所示，作直径AC.(2)作AC的中垂线BD交⊙O于B，D两点.(3)连接AD，作AD的中垂线交于M点.(4)同法作出的中点分别为E，F，G.(5)依次连接A，E，B，F，C，G，D，M，即得正八边形.即正八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形.第16页，共55页，2023年，2月20日，星期五

正多边形的边数为偶数时，既是轴对称图形又是中心对称图形，它的对称中心就是正多边形的中心；边数为奇数时，只是轴对称图形，但不是中心对称图形.第17页，共55页，2023年，2月20日，星期五

正多边形有关的证明及计算【例2】如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，⊙O的半径为4.(1)求∠AOQ；(2)求△PQR与四边形ABCD的周长.第18页，共55页，2023年，2月20日，星期五【思路点拨】求解∠AOQ的度数，关键是求出圆内接正多边形的中心角，正多边形周长的计算，在多边形的外接圆的半径、边心距和边长的一半构成的直角三角形中利用勾股定理求解.第19页，共55页，2023年，2月20日，星期五【自主解答】(1)延长PO交QR于E，交BC于F，连接OR，∵△PQR为正三角形，∴∠POQ=120°，∵OP=OQ,∴∠OPQ=∠OQP=30°，同理∠OPR=30°，∴∠OPQ=∠OPR.∵PR=PQ，∴PE⊥QR，又∵BC∥QR，∴PE⊥BC.∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴PE⊥AD，∵∠OAD=45°，∴∠AOP=45°，∴∠AOQ=120°－45°=75°.第20页，共55页，2023年，2月20日，星期五(2)连接OC，由(1)的计算可知，

OE=OR=2,∴∴△PQR的周长是设FC的长为x，则x2+x2=42，解得x=,∴四边形ABCD的周长为.第21页，共55页，2023年，2月20日，星期五

解决正多边形的有关计算，首先要辨清正多边形的边长、半径、边心距、中心角等概念及它们之间的关系；计算其周长或面积时，需要利用正多边形外接圆的半径、边心距，把正多边形分割成n个或2n个直角三角形，结合勾股定理及方程的思想来解决问题.第22页，共55页，2023年，2月20日，星期五3.(2010·宿迁中考)如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于_____°.【解析】正五边形的一个内角的度数为所以∠α=360°－108°－180°=72°.答案：72第23页，共55页，2023年，2月20日，星期五4.如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2.T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切(我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形).(1)设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r,求r∶a及r∶b的值;(2)求正六边形T1，T2的面积比S1∶S2的值.第24页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】(1)连接圆心O与T1的6个顶点，可得6个全等的正三角形.∴r∶a=1∶1.连接圆心O与T2相邻的两个顶点，可得以⊙O半径为高的正三角形.∴()2+r2=b2.得r=b,∴r∶b=∶2.(2)第25页，共55页，2023年，2月20日，星期五

与正多边形有关的实际问题，关键是根据题意正确地抽象出数学模型，并借助多边形的知识加以解决.多边形的有关计算，其要点是抓住边心距、半径、边长之间的关系.第26页，共55页，2023年，2月20日，星期五第27页，共55页，2023年，2月20日，星期五1.正多边形一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是()(A)两角互余(B)两角互补(C)两角互余或互补(D)不能确定两角的关系【解析】选B.因为正多边形的中心角为,一个内角=所以中心角+内角=,故选B．第28页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()(A)正六边形(B)平行四边形(C)正五边形(D)等边三角形【解析】选A.所有的正多边形都是轴对称图形，但只有正偶数边形同时又是中心对称图形．故选A．第29页，共55页，2023年，2月20日，星期五3.如图所示，已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为_____.第30页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】连接OF、OB、OC，由题意可知△BDF为正三角形，如图，设⊙O的半径为r，则∴FM=r+r=r.BD=2BM=∴×r×=.∴r=4(取正值),且△BOC为正三角形.∴正六边形的边长等于4.答案:4第31页，共55页，2023年，2月20日，星期五4.(2010·晋江中考)将一块正五边形纸片(图①)做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒(侧面均垂直于底面，见图②)，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是_____度.第32页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】先求出正六边形的每一个内角的度数又在四边形ABCD中的∠ADC=∠ABC=90°,所以∠BAD的度数为360°-108°-90°×2=72°.答案：72第33页，共55页，2023年，2月20日，星期五5.如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°,⊙O和底边相切于中点D，并过两腰的中点G、F，又和两腰相交于点H、E．求证：五边形DEFGH是正五边形．第34页，共55页，2023年，2月20日，星期五【证明】连结DG和DF．由题意，得∴四边形AGDF是平行四边形．∴∠1=∠2=∠3=∠4=36°,∠GDB=∠C==72°,∴∠5=∠GDB-∠4=36°.同理∠6=36°∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.∴，∴五边形DEFGH是正五边形．第35页，共55页，2023年，2月20日，星期五第36页，共55页，2023年，2月20日，星期五一、选择题（每小题4分，共12分）1.（2010·河北中考）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）（A）7（B）8（C）9（D）10第37页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】选B.如图所示，根据题意得，正六边形的每个内角均为120°，所以图中空白的两个三角形为等边三角形，故图形的外轮廓的长度为8条边长的和，所以周长为8.第38页，共55页，2023年，2月20日，星期五2.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长的比是（）第39页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】选B.设圆的半径为R，如图则∠1=60°，∠2=45°，∠3=30°，对于正三角形，对于正方形,r4=a4,∴R2=(a4)2+(a4)2,∴a4=R.对于正六边形，a6=R,∴a3∶a4∶a6=.第40页，共55页，2023年，2月20日，星期五【规律方法】如图所示，多边形A1A2A3…An为正多边形，设其半径为Rn，边心距为rn，边长为an,半中心角为θ,内角度数为αn，周长为Pn，面积为Sn.第41页，共55页，2023年，2月20日，星期五第42页，共55页，2023年，2月20日，星期五3.正八边形外接圆的半径为，则其面积为（）【解析】选A.如图连接OA、OB，过A作AM⊥OB，则∠AOB=45°，∴△AOM为等腰三角形，∴AM=OM，由勾股定理解得AM=OM=1，∴S△AOB=×OB·AM=××1=，所以正八边形的面积为第43页，共55页，2023年，2月20日，星期五二、填空题（每小题4分，共12分）4.（2010·乐山中考）正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为这个正六边形内部的一个动点，则点P到这个正六边形各边的距离之和为_____cm．第44页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】EF与BC之间的距离为FB，如图，则∠FAB=120°，AF=AB，所以∠AFB=∠FBA=30°，所以∠FBC=90°，∠BFC=30°，所以FC=2BC=4cm,所以FB=cm.又因为两平行边间的距离处处相等，都等于边心距的2倍,所以点P到正六边形各边的距离之和等于cm.答案：第45页，共55页，2023年，2月20日，星期五5.（2010·德州中考）粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支．图2是它的横截面（矩形ABCD），已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm．(≈1.73，结果精确到1mm)第46页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】由题意可知，BC的长为12×5+×5+××1=12×5+6×5+3=93(mm)，AB的长为

××2×5+××1=6×5+3=33(mm)，所以矩形ABCD的周长为2×（93+33）≈300.18≈300(mm).答案：300第47页，共55页，2023年，2月20日，星期五6.如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B，在⊙O1中ABCD为正方形，在⊙O2中△ABE是正三角形，若⊙O1的半径为则⊙O2的半径是_____.第48页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】连接O1A、O2A，连接O2O1交AB于点F，∵四边形ABCD为正方形，△ABE是正三角形，∴∠AO1O2=45°，∠AO2O1=60°.∴AF=FO1,FO2=AO2.又在Rt△AO1F中，AO1=，∴AF=1.在Rt△AO2F中，有AO22=AF2+FO22.即AO22=12+AO22，解得AO2=即⊙O2的半径为答案:第49页，共55页，2023年，2月20日，星期五三、解答题（共26分）7.（12分）如图所示，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形面积为16cm2，求半圆的半径.第50页，共55页，2023年，2月20日，星期五【解析】如图，小正方形的边长为4cm，设OA的长为acm,则AB=2acm.∴OB=OD==在Rt△OCD中，OC=（a+4）cm.∴有OD2=OC2+CD2,即：（）2=(a+4)2+42，a