概率论和概率分布

概率论和概率分布第1页，共39页，2023年，2月20日，星期五参考书

1、《管理统计学》

徐国祥主编上海财经大学出版社

2、《概率论与管理统计基础》

南开大学周概容主编复旦大学出版社

3、《概率论与数理统计》

浙江大学盛骤等编高等教育出版社第2页，共39页，2023年，2月20日，星期五主要内容随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、随机变量事件的概率条件概率和概率的基本公式离散型随机变量连续型随机变量第3页，共39页，2023年，2月20日，星期五一、随机现象、随机试验、随机事件、样本空间、随机变量1、随机现象及其统计规律性

必然现象：在一定条件下，必然会出现某种结果的现象。

在室温下，生铁必定不能熔化；在一定标准大气压下，纯水加热到100℃，必然沸腾；同性电荷互相排斥。第4页，共39页，2023年，2月20日，星期五

随机现象：在一定条件下，有多种可能结果，且事前不能预言哪种结果会出现；

不确定性与统计规律性。掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面，也可能出现反面；某交通线上一天内交通事故的次数；某商店一天的销售额；零售价格指数。概率论——研究和揭示随机现象的统计规律性的科学。

第5页，共39页，2023年，2月20日，星期五2、随机试验

随机试验：以随机现象为观察对象的试验，简称试验，并且字母E表示。三个特征：可以在相同的条件下重复进行；有多种可能结果，且试验前不能预言会出现哪种结果；知道试验可能出现的全部结果。E1:掷一枚硬币，观察所出现的面；E2：观察某交通干线上一天内交通事故的次数；E3：观察某商店一天的销售额；E4：测试某种灯泡的寿命；E5：掷一枚骰子,观察出现的点数；E6：纪录某传呼台在上午8时到9时接到的电话传呼次数。第6页，共39页，2023年，2月20日，星期五3、随机事件随机事件：在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情，简称事件，用大写字母A、B、C等表示。A＝｛将一枚均匀硬币抛1次，正面出现｝B＝｛将一枚均匀硬币抛10次，正面出现的次数不少于

5次｝C＝｛掷一枚骰子，出现的点数为1｝D＝｛掷一枚骰子，出现的点数小于3｝基本事件：不可能再分解的事件，如事件C。复合事件：由若干基本事件组合而成的事件，如事件D。必然事件：在一定条件下必然要发生的事件，如“点数小于7”。不可能事件：在一定条件下必然不发生的事件，如“点数大于7”。第7页，共39页，2023年，2月20日，星期五4、样本空间

样本点：试验E的每一个不可分解的结果（基本事件）叫做E的样本点，记为ω。样本空间：试验E的样本点的全体构成的集合叫做E的样本空间，记为Ω。一个试验中所有基本事件的全体所组成的集合称为样本空间，它是必然事件。Ω1=｛ω1

，ω2

｝=｛正面，方面｝Ω2=｛ω1

，ω2，ω3

，ω4，ω5

，ω6｝

=｛点数1，点数2，…，点数6｝Ω3=｛ωi

，i＝1，2，…｝

=｛0次呼唤，1次呼唤，…，n次呼唤，…｝第8页，共39页，2023年，2月20日，星期五

每一个随机事件就是由若干样本点组成的集合，即随机事件是样本空间的子集，E的不可能事件记为Ф，它对应着空集。D＝｛掷一枚骰子，出现的点数小于3｝＝｛点数1，点数2｝F＝｛接到至多4次呼唤｝＝｛0次呼唤，1次呼唤，2次呼唤，3次呼唤，4次呼唤｝第9页，共39页，2023年，2月20日，星期五5、随机变量随机变量：是取值带随机性的变量，即在随机试验中被测量的量。是定义在样本空间上的函数，即对于随机试验的每一个可能的结果W,都有一个函数X(W)与它对应。习惯上，常用最后面几个大写英文字母X、Y、……,U、V、W，……表示随机变量。随机事件可以表示为随机变量在某一范围内的取值。C=｛掷一枚骰子，出现的点数为1｝=｛X＝1｝D=｛掷一枚骰子，出现的点数小于3｝＝｛X＜3｝F=｛接到至多4次呼唤｝=｛0≤X≤4｝按照随机变量的取值，随机变量分为离散型和连续型。离散型随机变量：指其所代表取值为有限或可到无穷多个的随机变量，如掷骰子。连续型随机变量：指其可取某个范围内的一切值，如测试灯泡的寿命。第10页，共39页，2023年，2月20日，星期五二、事件的概率频率：事件发生频繁程度的变量。概率：事件在试验中出现可能性大小的数值度量，取值范围为0到1之间。事件A发生的概率以P(A)表示。事件D=｛掷一枚骰子，出现的点数小于3的概率｝P(D)=P｛掷一枚骰子，出现的点数小于3｝＝P｛X＜3｝概率三大公理：

非负性：任何事件A的概率都是非负的，P（A）≥0规范性：必然事件的概率等于1，P(Ω)=1可加性：对于任意有限个或可数个两两不相容事件中，它们之和的概率等于各个事件的概率之和，即

P(A1+……+An+…..)=P(A1)+……+P(An)+…

第11页，共39页，2023年，2月20日，星期五三、条件概率和概率的基本公式

1、条件概率

条件概率：在事件B已经发生条件下，如果P(B)>0,则事件A发生的概率称为事件A在给定事件B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记为P(A∣B)=P(AB)/P(B)。P（A）为无条件概率。

第12页，共39页，2023年，2月20日，星期五案例1事件A={新产品在整个市场上的销售良好}事件B={新产品的试销情况良好}问题：在已知事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率是多大？案例2A={顾客喜用葱}，B={顾客喜用黄瓜}P（A）=0.75，P（B）=0.80，P（AB）=0.65

在已知某顾客喜欢用葱的条件下，他也喜欢用黄瓜的概率？

P（B︱A）=P（AB）/P（A）=0.65/0.75=0.8667第13页，共39页，2023年，2月20日，星期五2、概率的乘法公式

条件概率→概率的乘法公式设A，B为两个事件若P（B）>0,则P（AB）=P（B）P（A︱B）若P（A）>0,则P（AB）=P（A）P（B︱A）乘法公式一般形式：对于任意m个事件A1,A2,…,Am，有P（A1A2…Am）＝P（A1）P（A2︱A1）P（A3︱A1A2）…P（Am︱A1

…Am-1）第14页，共39页，2023年，2月20日，星期五3、全概率公式

市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为25％、35％、40％，且三家工厂的次品率分别为5％、4％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。第15页，共39页，2023年，2月20日，星期五定义事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间Ω的一个划分，若满足：定理设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BΩ有全概率公式全概率解决的问题：原因→结果第16页，共39页，2023年，2月20日，星期五4、贝叶斯公式若从市场得到一件产品是次品，问三个厂家谁生产了这个次品的可能性最大？问题：求P（Ai︱B），i＝1，2，3由条件概率定义和乘法公式，得乙厂家生产这个次品的可能性最大。第17页，共39页，2023年，2月20日，星期五定理设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BΩ有

贝叶斯公式先验概率：概率P（Ai）称为事件Ai

的先验概率，对事件Ai发生概率的主观臆断。后验概率：概率P（Ai︱B）称为事件Ai的后验概率，反映的是在获得了更多信息的条件下，对主观臆断的修正。贝叶斯解决的问题：结果→原因通讯中，B表示接受信号，而Ai(i=1,2,……)表示发送信号；产品验收，B表示产品的等级，而Ai表示生产厂家；验血，B表示反应阳性，而Ai表示患某种疾病；刑事案件侦察，B表示发生一起刑事案件，而Ai表示犯罪嫌疑人。第18页，共39页，2023年，2月20日，星期五概率之间关系第19页，共39页，2023年，2月20日，星期五四、离散型随机变量1、概率分布设X是离散型随机变量，是其一切可能值，其概率或分布律函数表示为分布律性质：事件的概率为（1）非负性（2）归一性第20页，共39页，2023年，2月20日，星期五2、期望与方差期望：随机变量一切可能值的加权平均值，权重是相应可能值的概率，反映了随机变量的平均取值。是大量随机试验结果的平均值，即这个数值处于大量试验结果的中心位置。设离散型随机变量X具有分布律则方差：对随机变量的离散程度的一个度量。DX小→随机变量X的分布比较集中→波动小，稳定DX大→随机变量X的分布比较教散→波动大，不稳定标准差：第21页，共39页，2023年，2月20日，星期五

甲出版社的历史数据表明，它所出版的图书中任何一页所包含的印刷错误数X以及对应的概率如表1所示；而乙出版社出版图书任何一页所包含的印刷错误Y以及对应的概率如表2所示。问：1、如果你要出版一本书，你应该选择哪家出版社？为什么？

2、两家出版社哪家印刷质量更稳定一些。1、两家出版社印刷错误数的期望分别为：故选择甲家出版社2、两家出版社印刷错误数的方差分别为：

甲家出版社的印刷质量更稳定。第22页，共39页，2023年，2月20日，星期五3、常用离散型随机变量分布两点分布或（0－1）分布

若以随机变量X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(0－1)分布(两点分布)，亦称伯努利分布。

二项分布

若以随机变量X表示n重伯努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为的二项分布，记作泊松分布泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布，记作。第23页，共39页，2023年，2月20日，星期五从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,,于是,X的分布律为:第24页，共39页，2023年，2月20日，星期五五、连续型随机变量售货员扯出来的布长落在4.95米到5.05米之间的概率自动包装白糖的机器包装出来的净重在0.98到1.02公斤之间的概率某地区明天的降雨量在15到35毫米之间的概率。随机变量X的取值落在某指定区间内的概率：第25页，共39页，2023年，2月20日，星期五1、概率密度函数随机变量X落在区间的概率（面积）

为X的概率分布密度函数，简称概率密度，可以说随机变量X服从概率密度为的分布，其性质：（1）非负性（2）归一性第26页，共39页，2023年，2月20日，星期五2、分布函数设X是随机变量，对任意实数，事件的概率称为随机变量X的分布函数；分布函数可以描述随机变量的概率分布。记为，即第27页，共39页，2023年，2月20日，星期五随机变量X在区间内的概率第28页，共39页，2023年，2月20日，星期五随机变量X的概率密度为，则期望方差4、正态分布如果随机变量X的概率密度函数为：

式中和为常数，则称X服从参数为和的正态分布，记为3、期望与方差第29页，共39页，2023年，2月20日，星期五正态随机变量X的期望（均值）：正态随机变量X的方差：若，则正态随机变量X分布函数为：第30页，共39页，2023年，2月20日，星期五不同的值和值→不同的正态分布正态概率密度函数的特点：以直线为对称轴；在处有最大值；固定，变动→图形沿x轴平行移动固定，变大→图形高度下降，平坦固定，变小→图形高度上升，陡峭第31页，共39页，2023年，2月20日，星期五5、标准正态分布参数，的正态分布称为标准正态分布，记作