概率与正态分布

概率与正态分布第1页，共48页，2023年，2月20日，星期五概率基本知识随机现象与确定性现象抛硬币，落地时，正面向上。掷一粒骰子，掷出７点（不可能事件）。向空中抛一块石头，落到地上（必然事件）。随机事件：随机现象的各种可能结果（也称为“事件”，用大写字母A，B，C等表示）基本事件：不能分解的复合事件：可分解的第2页，共48页，2023年，2月20日，星期五事件的概率1.频率事件发生的概率与频率有关。对于随机事件A，如果在N次试验中出现a次，则A发生的频率记作F（A）=a/N频率满足不等式0F（A）1第3页，共48页，2023年，2月20日，星期五事件的概率经验概率对多次重复相同或相似试验所得到的数据进行分析，获得事件发生的相对频率，作为对此事件发生概率的一个估计。第4页，共48页，2023年，2月20日，星期五事件的概率先验概率当试验满足:试验中各种可能结果（基本事件）是有限的，并且每种结果发生的可能性是不变时，则某事件发生的概率等于该事件包含的基本事件数除以试验中可能发生的基本事件总件数之商。设N代表可能发生的基本事件总数，K代表事件A包含的基本事件数，则A事件发生的概率为：第5页，共48页，2023年，2月20日，星期五关于两种概率的理解抛一枚硬币，落地时正面朝上的概率是多少？先验概率：经验概率：大数定律：试验次数越大，P(A)的相对频率估计越好。第6页，共48页，2023年，2月20日，星期五第7页，共48页，2023年，2月20日，星期五第8页，共48页，2023年，2月20日，星期五50粒不同颜色的石子放入一只瓶子并且完全混合在一起，石子中有25粒蓝色，20粒绿色和5粒红色。如果闭上眼睛从瓶子中取出一粒石子，计算以下概率：（1）P(红色石子)（2）P(蓝色或红色石子)第9页，共48页，2023年，2月20日，星期五在某大城市一家医院的产房，去年出生1060个男婴和1000个女婴，假设这些数据表示了全部出生情况，在该医院下一个出生的婴儿是男婴的概率是多少？是女婴的概率是多少？第10页，共48页，2023年，2月20日，星期五概率的性质(1)任何随机事件的概率都是不小于零且不大于１的数。(2)不可能事件的概率等于零。(3)必然事件的概率等于１。(4)两个互逆事件（对立事件）的概率之和等于１，逆事件的概率(5)小概率事件，P(A)<0.05第11页，共48页，2023年，2月20日，星期五概率的两个基本法则概率的加法法则：两个互不相容事件A、B之和的概率等于两个事件分别发生的概率之和。互不相容事件：一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容事件。第12页，共48页，2023年，2月20日，星期五在9道试题中，有6道选择题，2道是非题，1道填空题，随机抽出一道题为是非题或选择题的概率是多少？解：第13页，共48页，2023年，2月20日，星期五概率的两个基本法则乘法法则：两个相互独立事件A、B同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率的积。相互独立事件：一个事件的发生概率与另一个事件的发生与否无关。第14页，共48页，2023年，2月20日，星期五两道四选一题，凭猜测做对一题的概率是多少？3/8设第一题做对为事件A，做错为事件，第二题做对为事件B，做错为事件，做对第一题的概率为,做对第二题的概率为第15页，共48页，2023年，2月20日，星期五正态分布随机变量正态分布特点(标准正态分布)正态分布表正态分布曲线下面积的应用第16页，共48页，2023年，2月20日，星期五随机变量：随机现象的函数化随机变量：表示随机现象结果的变量在随机现象中有很多样本点本身就是用数量表示的，由于样本点出现的随机性，其数量呈现为随机变量。掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间V。Y,U,V是三个不同的随机变量。在随机现象中还有不少样本点本身不是数，这时可根据研究需要设计随机变量。检查一个产品，只考察合格与否，则其样本空间为{合格品，不合格品}，这时可设计一个随机变量X如下：样本点X的取值合格品0不合格品1第17页，共48页，2023年，2月20日，星期五定义在样本空间上的实值函数X=X（w）称为随机变量。将事件映射为数字可以将概率研究定量化，引入分布函数设X是一个随机变量，对任意实数x，称F（x）=P（X<=x）为随机变量X的分布函数。第18页，共48页，2023年，2月20日，星期五离散型随机变量随机变量X只取有限或可列无穷多个值。例：某学生做一道正误判断题，做对记１分，做错记０分。他在这道题的得分为随机变量X连续型随机变量随机变量X可以取无限的且是不可列的值。例：某公共汽车停车点上乘客候车的时间记为随机变量Y第19页，共48页，2023年，2月20日，星期五概率分布随机变量各取值的概率构成的分布某学生参加一次数学竞赛，共回答三个问题，求该生答对题数的概率分布。第20页，共48页，2023年，2月20日，星期五考虑全班153位同学体重的概率分布，若体重以千克为单位，可以精确到无限小数位，你能否列表显示各种取值的概率？第21页，共48页，2023年，2月20日，星期五连续型随机变量的概率分布连续型随机变量X有无限多个可能的取值，那么任何一个特殊值的概率都是0。由于X的取值是不可数的，则对应的概率密度也是不可数的。连续型概率分布不能表示为列表的形式，只能表示为连续型的曲线或者该曲线的函数表达式连续型分布不能计算某一点的概率，只能计算两点间的概率，以曲线下的面积表示。第22页，共48页，2023年，2月20日，星期五图5.1连续型随机变量的概率分布第23页，共48页，2023年，2月20日，星期五第24页，共48页，2023年，2月20日，星期五68.3％95.4％99.7％密度连续随机变量（X）图5.2正态分布曲线正态概率分布（正态分布）第25页，共48页，2023年，2月20日，星期五正态分布曲线的特点钟形轴对称曲线，对称轴是随机变量的平均数。正态分布曲线的位置和形状分别由平均数和标准差决定。平均数大小决定图形向左移或右移。标准差大小决定图形的陡峭程度，即纵线的最大值。第26页，共48页，2023年，2月20日，星期五0

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图5.3平均数不等，标准差相等的正态分布示意图第27页，共48页，2023年，2月20日，星期五－1

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图5.4平均数相等，标准差不等的正态分布示意图第28页，共48页，2023年，2月20日，星期五标准正态分布标准正态分布：平均数为０，标准差为1的正态分布。标准分数即服从标准正态分布标准正态分布曲线的特点：曲线最高点为（Z＝0，Y=0.3989）。曲线下的总面积即概率总和为１，对称轴两边各为0.5。曲线是以过Z=0的纵线为对称轴，两侧横坐标绝对值相等的对应点高度相等，对应的曲线下面积相等。标准正态分布的平均数、中数、众数三点重合在Z=0这一点上。曲线与对称轴交点处Y值最大，即此处观测值的相对次数最大，概率最大；第29页，共48页，2023年，2月20日，星期五正态分布表根据标准正态分布曲线的函数公式进行计算编制而成的。通过Z值可查Y值或P值，也可通过P值查Z值。第30页，共48页，2023年，2月20日，星期五标准正态分布表中各变量的含义第31页，共48页，2023年，2月20日，星期五已知下列Z值，查表求P值。（1）Z＝-1与Z＝1之间的概率（2）Z＝-2与Z＝2之间的概率（3）Z＝-3与Z＝3之间的概率（4）Z＝-1.96与Z＝1.96之间的概率（5）Z＝-2.58与Z＝2.58之间的概率第32页，共48页，2023年，2月20日，星期五利用正态分布表求：（1）正态曲线下Z＝1.34处左侧的面积（2）正态曲线下Z＝2.16处右侧的面积（3）正态曲线下Z＝-1.64处左侧的面积（4）正态曲线下Z＝-1.5处右侧的面积第33页，共48页，2023年，2月20日，星期五利用正态分布表求：（1）中央50％的面积的下限Z值和上限Z值（2）正态曲线下右尾20％的面积的下限Z值（3）正态曲线下左侧30％的面积的上限Z值第34页，共48页，2023年，2月20日，星期五标准正态曲线下面积的应用使用前提：随机变量（X）服从或近似正态分布，其标准化后的变量（Z）才能服从标准正态分布，才能应用正态分布表（标准正态分布曲线）的规律进行概率的计算。第35页，共48页，2023年，2月20日，星期五解题关键画出正态分布曲线示意图注意题意转换成Z、P第36页，共48页，2023年，2月20日，星期五推求考试成绩特定区间内的人数已知某年级200名学生考试成绩呈正态分布，平均分为85分，标准差为10分，学生甲的成绩为70分，问全年级成绩比学生甲低的学生人数是多少？第37页，共48页，2023年，2月20日，星期五图5.6运用标准正态分布曲线解题（一）第38页，共48页，2023年，2月20日，星期五第39页，共48页，2023年，2月20日，星期五已知某省有86582名考生参加1998年全国普通高校招生入学数学考试，总体成绩服从均值为66分、标准差为19.79分的正态分布，试问下列范围内的人数有多少？（1）60－72分；（2）72分以上。第40页，共48页，2023年，2月20日，星期五推求考试成绩中某一特定人数比率的分数界限某次招生考试，学生成绩符合正态分布，学生成绩的平均分为80分，标准差为10分，要择优录取25％的学生进入高一级学校学习，问最低分数线应是多少分？第41页，共48页，2023年，2月20日，星期五25％图5.7运用标准正态分布曲线解题（二）a第42页，共48页，2023年，2月20日，星期五解：已知

1.择优25％录取，设分数线在a点，则a点右侧的的概率为0.25

2.那么a点的P为0.5-0.25＝0.25

3.查正态分布表P=0.25时，Z=0.67

4.将Z＝0.67通过公式转换成原始分数即可，得到a点的分数为86.7分答：择优录取25％的人的话，最低分数线应为86.7分。第43页，共48页，2023年，2月20日，星期五某次数学竞赛，学生成绩呈正态分布，参赛学生200人，平均分66.78分，标准差为9.19分，（1）若表彰前20名竞赛优胜者，其最低分应是多少？（2）某生若得80分，他在参赛者中排列第几名？第44页，共48页，2023年，2月20日，星期五分析：已知N=200,（1）前20名，在所有参赛者中的位置是前10％设最低分数点为b，则b点右侧的概率是0.1

b点标准分数对应的P值是0.5-0.1＝0.4查正态分布表得b点的Z分数为1.28，根据Z分数的公式转换求得b点分数为78.54分。（2）某生得80分，则其Z分数为1.44查表Z＝1.44时，P=0.42507那么等于和高于该生的人数比率为

0.5-0.42507＝0.07493具体人数＝200×0.07