山东省菏泽市定陶区重点中学2022-2023学年高二下学期数学期中检测试题及参考答案

菏泽市定陶区重点中学2022-2023学年高二下学期期中检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(共40分)1．某村镇道路上有10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的4盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有（

）A．10 B．15 C．20 D．52．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（

）A．80 B．90 C．100 D．1103．设函数在区间D上的导函数为，在区间D上的导函数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”.已知实数m为常数，，若对满足的任何一个实数m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（

）A．4 B．3 C．2 D．14．第三方检测机构又称公正检验，指两个相互联系的主体之外的某个客体，我们把它叫做第三方．某县为创建文明城市，省里委托第三方检测机构对该县进行检测，现从8名检测人员中选派6人到该县甲、乙、丙三个单位检查，要求每个单位至少派1人，丙单位2人，则不同的选派方法总数为（

）A．4200 B．5880 C．1680 D．33605．已知奇函数是定义在上的可导函数，且的导函数为，当时，有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．已知，，，则（

）A． B．C． D．7．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，对于任意的，，且都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题(共20分)9．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中错误结论为（

）A．在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强；B．在时刻，乙企业的污水治理能力比甲企业强；C．在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D．甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．10．下列说法正确的是（

）A．空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体B．甲、乙、丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出24种不同的值周表C．从0，1，2，，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有26543个D．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种11．下列说法正确的是（

）A．若函数满足，则函数在处切线斜率为1B．函数在区间上存在增区间，则C．函数在区间上有极值点，则D．若任意，都有，则有实数的最大值为12．用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（

）A．可组成个不重复的四位数B．可组成个不重复的四位偶数C．可组成个能被整除的不重复四位数D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为三、填空题(共20分)13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.14．数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数．设，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组的个数是__________．15．用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是_________．（用数字填写答案）16．设函数，若存在使得成立，则的最大值为1，此时实数_____________．四、解答题17．(10分)（1）已知，求的值（用数字作答）.（2）解不等式：.18．(12分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.19．(12分)（1）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？（2）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？（具体数字作答）（3）某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为多少？20．(12分)某企业为响应国家号召，研发出一款特殊产品，计划生产投入市场．已知该产品的固定研发成本为180万元，此外，每生产一台该产品需另投入450元．设该企业一年内生产该产品万台并委托一家销售公司全部售完．根据销售合同，时，销售公司按零售价支付货款给企业;时，销售公司按批发价支付货款给企业．已知每万台产品的销售收入为万元，满足:．(1)写出年利润(单位:万元)关于年产量(单位:万台)的函数关系式;（利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本)(2)当年产量为多少万台时，该企业的获利最大?并求出此时的最大利润．21．(12分)已知函数．(1)若恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：．22．(12分)已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)若函数有两个极值点，求证：.参考答案1．D【分析】利用插空法，将4盏关闭的灯插入到5个空，即可求解.【详解】采用插空法，让4盏需要关闭的灯插空，有种方法.故选：D2．C【分析】设运输成本为元，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解；【详解】解：设运输成本为元，依题意可得，则所以当时，当时，当时，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，所以时全程运输成本最低；故选：C3．C【分析】利用题意得到，则可转化成时，关于m的一次函数恒成立，可得到最大区间，即可得到答案【详解】由可得，设在区间上的导函数为，，当时，恒成立等价于即时，关于m的一次函数恒成立，所以且，即，解得，从而，故选：C.4．B【分析】由已知，不同的选派方法可分为三种情况，分别是：甲单位2人，乙单位2人，丙单位2人；甲单位3人，乙单位1人，丙单位2人；甲单位1人，乙单位3人，丙单位2人，然后列式加在一起即可完成求解.【详解】分以下三种情况讨论：①甲单位2人，乙单位2人，丙单位2人，不同的选派方法数为种；②甲单位3人，乙单位1人，丙单位2人，不同的选派方法数为种；③甲单位1人，乙单位3人，丙单位2人，不同的选派方法数为种．综上所述，不同的选派方法数为种．故选：B．5．A【分析】由题，可设，结合及的奇偶性，可得的奇偶性及单调性，由，即可结合单调性求解【详解】设，则为奇函数，当时，，故在上单调递减，故，故选：A6．A【分析】利用作商法，结合对数换底公式可得；根据可构造函数，利用导数可求得单调性，得到，由此可得大小关系.【详解】，，，；，，设，则，在上单调递减，，即，；综上所述：.故选：A.7．B【分析】依题意可得，令，则问题等价于，即，再由，即可得到，即可得到参数的取值范围；【详解】解：，，令，显然为增函数，则原命题等价于，又令，则，所以时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故选：B8．A【分析】由题意构造函数，结合条件判断其为减函数，可得在时恒成立，即在时恒成立，然后结合正弦函数的性质求得答案即可.【详解】令，则，由题意知对于任意的，，且都有成立，即，故，即是上的单调减函数；故在时恒成立，即在时恒成立，设，则，故单调递减，所以，即，所以，即，故选：A【点睛】本题考查了导数的应用，主要是解决不等式恒成立使得参数问题，解答时要注意将问题转化为函数的单调性问题，关键是构造函数，利用导数判断函数单调性解决问题.9．ABD【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图像，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可.【详解】A：表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；错误；B：在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；错误；C：在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；正确；D：甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．错误；故选：ABD10．AD【分析】直接利用组合数计算，判定A，对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算，从而判定B，按照首位分类，利用排列数计算可以判定C，利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算判定D.【详解】对于，空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，可以有种取法，即可以作个不同的四面体，A正确；对于B，分种情况讨论：①甲排在星期六，有种排法；②甲不排在星期六，有种排法；则值班方案种数为种，B不正确；对于C，分种情况讨论：①五位数的首位为､､､､､､､时，有个五位数，②五位数的首位为时，其千位数字不能为､，有个五位数，则共有个大于五位数，C不正确；对于D，分步进行分析：①将个小球分为组，有种分组方法，②在个盒子中任选个，放入三组小球，有种情况，则有种不同的放法，D正确；故选：AD.11．AD【分析】利用导数的几何意义可判断A，利用二次函数的性质可判断B，利用导数和极值的关系可判断C，构造函数，利用函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由，可知函数在处切线斜率为，故A正确；对于B，由函数在区间上存在增区间，可知，所以，故B错误；对于C，由，可得，则在区间上有变号零点，即在区间上有解，又，当时，，函数没有极值，当时，，令则或，不满足在区间上有极值点，故，故C错误；对于D，令，则，所以，函数单调递增，，函数单调递减，又任意，都有，即，故，即实数的最大值为，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义、二次函数的单调性、利用导数分析函数的极值问题与构造函数分析不等式的问题，属于中档题12．BC【解析】A选项选一个非0数在首位，其他几位全排列；B选项，分为在末位和不在末位；C选项能被整除的四个数然后分类讨论排列；D选项分类讨论：首位为、前两位为、前两位为进而得出答案.【详解】解：A选项，有个，错，B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，∴共有种，对，C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，即先选：，、、、，它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对，D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，此时共有个，因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错，故选：BC.【点睛】解排列、组合问题要遵循的两个原则:（1）按元素(位置)的性质进行分类；（2）按事情发生的过程进行分步：具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).13．或【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可.【详解】因为，所以，所以当时，，即切线的斜率为2，所以由点斜式得即，联立整理得，因为切线与曲线只有一个公共点，所以方程只有一个根，当时，方程为只有一个根，满足题意；当时，，即，解得，综上或，故答案为:或.14．28【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解即可．【详解】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①，此时共有种情况；最大数为4的情况：②，此时共有种情况；③，此时共有种情况．当最大数为3时，，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组的个数是．故答案为：28．15．120【分析】所有涂色方法可分为三类，第一类，区域涂同一种颜色，第二类，区域涂不同颜色，区域涂不同颜色，第三类，区域涂不同颜色，区域涂相同颜色，利用综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决.【详解】所有的涂色方法可以分为三类：第一类：区域涂同一种颜色，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂同一种颜色的涂色方法有种，即48种方法，第二类：区域涂不同颜色，区域涂不同颜色，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即24种方法，第三类：区域涂不同颜色，区域涂相同颜色，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种方法，然后涂区域，有2种方法，再涂区域，有1种方法，再涂区域，有1种方法，最后涂区域，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域涂不同颜色的涂色方法有种，即48种方法，由分类加法计数原理可得涂色方法总数是48+24+48种方法，即120种方法.故答案为：120.16．2【分析】，构造函数，利用函数的单调性即可求解.【详解】，设，，令，，，即是单调递减的，，，即是单调递减的，；故答案为：2.17．（1）；（2）【分析】（1）根据组合数的运算性质可求得，再根据组合数的运算性质计算即可；（2）利用排列数的计算公式计算即可.【详解】（1）因为，所以或，解得或（舍去），则；（2），即为，解得，又因，所以不等式的解集为.18．(1)；(2)递减区间是，递增区间是；(3)3.【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）利用导数求出的单调区间作答.（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是.（2）函数的定义域是，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（3），，令，求导得，由（2）知，在上单调递增，，，因此存在唯一，使得，即，当时，，即，当时，，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，则，所以整数的最大值是3.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19．（1）

（2）504

（3）990【分析】（1）首先从10个人中任选5个人站第一排，有种，然后按从高到低排只有1种，即为种，然后，剩下的5个人站第二排，按从高到低排只有1种，利用分步乘法原理即可求解；（2）将新买的3本书依次插空即可求解；（3）将添加的3个与“抗冰救灾”有关的节目按照要求依次插空即可求解.【详解】（1）首先从10个人中任选5个人站第一排，有种，然后按从高到低排只有1种，即为种，然后，剩下的5个人站第二排，按从高到低排只有1种，由分步乘法计数原理可得种,所以共有252种排法.（2）将新买的3本书依次插空，则有,所以有504种不同的插法.（3）原准备的节目表中10个节目，可产生9个空位（不包含两端），赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经拍好的10个节目顺序不变，第一个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，共有9种方法；当第一个赈灾节目插入后，11个节目会产生10个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，有10种方法；当第二个赈灾节目插入后，12个节目会产生11个空（不包含两端），第二个赈灾节目可插入到其中的任何一个位置，有11种方法；根据分步乘法计数原理，不同的节目表可排出种，所以该晚会的节目单的编排总数为990种.20．(1);(2)当年产量为30万台时，该企业获利最大，且此时的最大利润为2270万元【分析】（1）根据利润=销售收入-固定研发成本-产品生产成本，分和两种情况写出函数解析式，可得答案；（2）计算时销售收入说明企业亏损，则判断最大获利一定在时取得，利用基本不等式可求得答案.（1）当时，，当时，，所以，;（2）当时，,令，则转化为，则，当时，，在上单调递增，的最大值为，即当时，取得最大值4万元，此时销售收入远小于投入，企业亏损，所以最大获利一定在时取得，此时，当且仅当，即（