赣州市2022年高三年级摸底考试文科数学2022年3月

赣州市2022年高三年级摸底考试文科数学2022年3月本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A＝{x|eq\f(x,x－1)＜0}，B＝{x|x－2＜2}，则“m∈A”是“m∈B”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x(x＞0)，,3x(x≤0)，))则f[f(eq\f(1,4))]的值是\f(1,9)C.－9D.－eq\f(1,9)3.已知(x－eq\f(a,x))8展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和为或38或284.已知椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1，且m，n，m＋n成等差数列，则椭圆的离心率为\f(\r(3),2)\f(\r(5),5)\f(1,2)\f(\r(2),2)5.有下列命题：①函数f(x)＝sinx＋eq\f(2,sinx)(x∈(0，π))的最小值是2eq\r(2)；②在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a＋b＞c，则eq\f(a,1＋a)＋eq\f(b,1＋b)＞eq\f(c,1＋c)；④如果y＝f(x)是奇函数(x∈R)，则有f(0)＝0.其中正确的命题是A.①②③④B.①④C.②③④D.②③6.已知a，b为空间两条异面直线，A是直线a，b外一点，则经过A点与两条异面直线a，b都相交的直线的可能情况为A.至多有一条B.至少有一条C.有且仅有一条D.有无数条7.在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项之和S9等于8.设F为抛物线y2＝4x的焦点，△ABC的三个顶点都在此抛物线上，且eq\x\to(FA)＋eq\x\to(FB)＋eq\x\to(FC)＝0，则|eq\x\to(FA)|＋|eq\x\to(FB)|＋|eq\x\to(FC)|等于9.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，则g(x)＝f(x2)的最大值为10.已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))则z＝eq\f(x＋y＋2,x＋3)的最小值为\f(1,3)\f(13,6)D.－eq\f(2,3)11.方程2sinθ＝cosθ在[0,2π)上解的个数是个个个个12.已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足|eq\x\to(PA)|－|eq\x\to(PB)|＝2，|eq\x\to(PA)－eq\x\to(PB)|＝2eq\r(5)，eq\f(\x\to(PA)·\x\to(PC),|\x\to(PA)|)＝eq\f(\x\to(PB)·\x\to(PC),|\x\to(PB)|)，I为PC上一点，且eq\x\to(BI)＝eq\x\to(BA)＋λ(eq\f(\x\to(AC),|\x\to(AC)|)＋eq\f(\x\to(AP),|\x\to(AP)|))(λ＞0)，则eq\f(\x\to(BI)·\x\to(BA),|\x\to(BA)|)的值为\r(5)\r(5)－1第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.13.某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生9000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所属高中学生中抽取一个容量是600人的样本进行新课程学习作业的调查，则A区应抽取人.14.若函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为.15.已知棱长为2eq\r(6)的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为.16.五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是.

三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知向量a＝(coseq\f(3,2)x，sineq\f(3,2)x)，b＝(coseq\f(x,2)，－sineq\f(x,2))，且x∈[0，eq\f(π,2)].(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－eq\f(3,2)，求λ的值.

18.(本小题满分12分)一个不透明的箱子内装有材质、重量、大小相同的7个小球，且每个小球的球面要么只写有数字“08”，要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同，从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是eq\f(1,7)，现甲、乙两人做游戏，方法是：不放回地从箱子中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到两人中有一人取得写着文字“奥运”的球时游戏结束.(1)求该箱子内装着写有数字“08”的球的个数；(2)求当游戏结束时总球数不多于3的概率.

19.(本小题满分12分)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G为△ABC的重心，M为GD的中点.(1)求直线DG与平面ABC所成的角；(2)求异面直线CG与MB所成的角；(3)求二面角G—MC—B的大小.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－eq\f(1,4)x4＋eq\f(2,3)x3＋ax2－2x－2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(2x)＝m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围.

21.(本小题满分12分)设An为数列{an}的前n项和，An＝eq\f(3,2)(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)把数列{an}与数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，求证：数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1.

22.(本小题满分12分)已知F1(－2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|－|PF2|＝2，记点P的轨迹为S，若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.(1)求轨迹S的方程；(2)无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值；(3)过P、Q作直线x＝eq\f(1,2)的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ＝eq\f(|PA|＋|QB|,|AB|)，求λ的取值范围.

高三摸底数学(文科)答案第页(共3页)赣州市2022年高三年级摸底考试文科数学参考答案2022年3月\f(1,2)\f(1,2)\f(51,256)17.解：(1)a·b＝coseq\f(3,2)x·coseq\f(x,2)－sineq\f(3,2)x·sineq\f(x,2)＝cos分|a＋b|＝eq\r((cos\f(3,2)x＋cos\f(x,2))2＋(sin\f(3,2)x－sin\f(x,2))2)＝eq\r(2＋2cos2x)＝2eq\r(cos2x).4分又∵x∈[0，eq\f(π,2)]，∴cosx＞0，∴|a＋b|＝2cos分(2)f(x)＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ分①当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，∴－1－2λ2＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(1,2).8分②当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，∴1－4λ＝－eq\f(3,2)，解得λ＝eq\f(5,8)(舍).10分③当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，无解.11分综上所述，λ＝eq\f(1,2)为所求.12分18.解：(1)设箱子内装着n个写有数字“08”的球.则eq\f(C\o\al(2,7－n),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7).2分解得n＝分∴该箱子内装有4个写有数字“08”的球.(2)当游戏结束时，总取球数为1的概率是eq\f(3,7)；6分当游戏结束时，总取球数为2的概率是eq\f(4,7)×eq\f(3,6)＝eq\f(2,7)；8分当游戏结束时，总取球数为3的概率是eq\f(4,7)×eq\f(3,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,35)；10分∴当游戏结束时，总取球数不多于3的概率是eq\f(31,35).12分19.解：(1)延长CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中点.1分∵∠ACB＝90°，∴CN＝eq\f(1,2)AB＝6，∴CG＝eq\f(2,3)CN＝分而DC⊥平面ABC，∴三角形DCG是等腰直角三角形，即直线DG与平面ABC所成的角为45°.4分(2)作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是异面直线GC与BM所成的角或补角.5分∵M是DG的中点，ME＝eq\f(1,2)GC＝2，BE＝eq\r(EC2＋BC2)＝eq\r((\f(1,2)DC)2＋62)＝2eq\r(10).6分过M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2·2·6·cos60°＝32，∴cos∠EMB＝eq\f(ME2＋MB2－BE2,2ME·MB)＝－eq\f(\r(2),8).7分∴异面直线GC与BM所成的角为arccoseq\f(\r(2),8).8分(2)过B作直线BF⊥GC于F，BF⊥平面分∵△CNB是正三角形，故BF＝BCcos30°＝3eq\r(3)，过F作FS⊥MC于S，连BS，三角形DCG是等腰直角三角形.10分M为GD的中点，∴GD⊥CM，∴FS∥GD，FS＝FCsin45°＝eq\f(3\r(2),2).11分∴tan∠FSB＝eq\f(BF,FS)＝eq\r(6)，∴二面角B—MC—G的大小是arctaneq\r(6).12分20.解：(1)由函数f(x)＝－eq\f(1,4)x4＋eq\f(2,3)x3＋ax2－2x－2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x＝1取得极小值.1分∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分∴a＝eq\f(1,2).4分(2)由(1)知f(x)＝－eq\f(1,4)x4＋eq\f(2,3)x3＋eq\f(1,2)x2－2x－2，∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－分令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝分∴函数f(x)有极大值f(－1)＝－eq\f(5,12)，f(2)＝－eq\f(8,3)，极小值f(1)＝－eq\f(37,12).8分∵关于x的方程f(2x)＝m有三个不同的实数解，令2x＝t(t＞0)，即关于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分在t∈(0，＋∞)上y＝f(t)与y＝f(x)图象一致.11分又f(0)＝－2，由数形结合可知，－eq\f(37,12)＜m＜－eq\f(8,3).12分21.解：(1)由An＝eq\f(3,2)(an－1)，An＋1＝eq\f(3,2)(an＋1－1).1分∴an＋1＝eq\f(3,2)(an＋1－an)，即eq\f(an＋1,an)＝3，2分且a1＝A1＝eq\f(3,2)(a1－1)，得a1＝分∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列.4分通项公式为an＝分(2)不妨设数列{dn}中的第n项分别是数列{an}的第p项和数列{bn}的第q项，即3p＝4q＋分所以(4－1)p＝4q＋分∴Ceq\o\al(0,p)4p＋Ceq\o\al(1,p)4p－1(－1)1＋…＋Ceq\o\al(p－1,p)4·(－1)p－1＋Ceq\o\al(p,p)(－1)p＝4q＋分4q＝4k＋(－1)p－3，(k∈Z，p，q∈Z*).9分p为奇数，当p＝1时，q＝0(舍去).10分∴p＝2n＋1，所以dn＝a2n＋1＝32n＋分22.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由c＝2,2a＝2，∴b2＝分故轨迹S的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1).4分(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝分∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－3≠0，,Δ＞0，,x1＋x2＝\f(4k2,k2－3)＞0，,x1·x2＝\f(4k2＋3,k2－3)＞0，))解得k2＞分∵eq\x\to(MP)·eq\x\to(MQ)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2＝eq\f(3－(4m＋5)k2,k2－3)＋分∵MP⊥MQ，∴eq\x\to(MP)·eq\x\to(MQ)＝0，故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0对任意的k2＞3恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m2＝0，,m2－4m－5＝0，))解得m＝－分当m＝－1时，MP⊥MQ，当直线l的斜率不存在时，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知结论也成立.综上，当m＝－1时，MP