福建省莆田重点中学2022-2023学年高一上学期期末数学试卷及答案解析

-2023学年福建省莆田重点中学高一（上）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知A={−1,0,1,3,5}，B={x|2x−3<0}，则A∩∁RB=A.{0,1} B.{−1,1,3} C.{−1,0,1} D.{3,5}2.函数f(x)=6x−logA.(0,1) B.(1,2) C.(3,4) D.(4,+∞)3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(

)

A.f(x)=1|x−1| B.f(x)=1||x|−1| C.4.已知a=0.32，b=20.3，c=loA.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c5.若sin(π6+α)=1A.0 B.23 C.1+2236.已知函数f(x)=ax−3+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程mx+ny=4(m>0,n>0)，则2mA.4 B.6 C.12 D.247.已知函数f(x)=−lg(3−ax)(a≠1)在区间(0,4]上是增函数，则实数a的取值范围为(

)A.(0,34) B.(0,34]8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0<x≤1时，f(x)=2x，则f(1+logA.−10111024 B.−10241011 C.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(−1,m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(

)A.sinα+cosα B.sinα−cosα C.sinαcosα D.sinα10.已知命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的(

)A.a∈[−1,1] B.a∈(−4,4) C.a∈[−4,4] D.a∈{0}11.已知定义域为D的函数f(x)，若对任意x∈D，存在正数M，都有|f(x)|≤M成立，则称函数f(x)是定义域为D上的“有界函数”.则下列函数中，其中“有界函数”是(

)A.f(x)=−2022x B.f(x)=2022−x2

12.关于函数f(x)=|xlog2(1−A.f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1) B.f(x)有一个零点

C.f(x)的图像关于原点对称 D.f(x)的值域为(−∞,0)第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知偶函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增，则满足f(2x−1)<f(13)的x取值范围是______14.已知函数f(x)=3sin(ωx−π6)(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同，若x∈[0,π2]，则f(x)的取值范围是15.已知函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0，g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2个零点，则实数a取值范围是16.已知函数f(x)=x2+4x,x≥22|x−a|,x<2，若对任意的x1∈[2,+∞)，都存在唯一的四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

化简求值：

(1)0.2552×0.5−418.(本小题12.0分)

已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1,−m−1)，且cosα=55．

(1)求实数m的值；

(2)若m>0，求sin19.(本小题12.0分)

设函数f(x)=sin(2x+φ)(−π<φ<0)，y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0)．

(1)求φ的值；

(2)20.(本小题12.0分)

每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12log3x100−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(结果保留到整数位.参考数据：lg5≈0.70，31.4≈4.66)

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex+e−x．

(1)当x∈[0,+∞)时，试判断f(x)单调性并加以证明；

(2)若存在x∈[−ln2,ln3]，使得f(2x)−mf(x)+3≥0成立，求实数m的取值范围.(提示：a2x22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x+log9(9x+1)．

(1)若f(x)−(2x+a)>0对于任意x恒成立，求a的取值范围；

(2)若函数g(x)=9f(x)−x+2m⋅3x+1，答案解析1.【答案】D

【解析】解：∵B={x|2x−3<0}={x|x<32}，

∴∁RB={x|x≥32}，

∵A={−1,0,1,3,5}，

∴A∩∁RB={3,5}2.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．

根据连续函数f(x)=6x−log2x，可得【解答】解：∵连续减函数f(x)=6x−log2x，

∴f(3)=2−log23>0，f(4)=64−

3.【答案】B

【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，可从函数的性质或特殊点(范围)的函数取值进行思考，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．

先由函数的定义域可排除选项A和D，再由x∈(0,1)时，f(x)与0的大小关系，可得解．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，排除选项A和D，

当x∈(0,1)时，f(x)>0，

但在选项C中，由于x2<1，所以f(x)<0，可排除选项C，

故选：

4.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查指对数函数的单调性，对数，指数幂的运算法则，属于基础题．

利用指对数函数的单调性和对数，指数幂的运算法则即可求解．【解答】解：∵a=0.32=0.09<1，

20<b=20.3<21，

5.【答案】B

【解析】解：因为sin(π6+α)=13，

则sin(5π6−α)−6.【答案】B

【解析】解：函数f(x)=ax−3+1的图象横过定点A，

所以A(3,2)，将点A代入方程可得3m+2n=4，

所以2m+3n=14(2m+3n)(3m+2n)=14(6+6+4nm+9mn)≥7.【答案】A

【解析】解：因为x∈(0,4]时，3−ax>0恒成立，

所以3>03−4a>0⇒a<34，

设t=3−ax，

因为函数y=−lgt是减函数，所以要使f(x)在(0,4]上是增函数，

则需函数t=3−ax是减函数，可得a>0，

所以0<a<34，

实数a的取值范围为(0,34)．

故选：A．

由x∈(0,4]时，3−ax>0恒成立，可得8.【答案】B

【解析】解：因为210=1024<2022<211=2048，

所以11<1+log22022<12，且0<11−log22022<1，

由题意可得f(x)=f(2−x)=−f(x−2)，

所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

故函数f(x)为周期函数，且周期为4，

所以f(1+log22022)=f(log29.【答案】CD

【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(−1,m)(m>0)，

∴sinα=mm2=1>0，cosα=−1m2+1<0，tanα=−m<0，

∵m>0，

∴sinα−cosα>0，sinαcosα<0，sinαtanα<0，

sinα+cosα的符号不确定，

∴一定为负值的是CD．

故选：10.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0⇔△<0，解得【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+ax+4>0，

∴△=a2−16<0，解得：−4<a<4．

则命题p成立的一个充分不必要条件可以是：a∈[−1,1]，或a∈{0}

11.【答案】BC

【解析】解：选项A：显然x≠0，f(x)≠0，对任意x∈{x|x≠0}，

不存在正数M，使得|f(x)|≤M，故f(x)=−2022x不是“有界函数”；

选项B：显然−2022≤x≤2022，0≤f(x)≤2022，所以对任意x∈[−2022,2022]，

存在正数M，都有|f(x)|≤M成立，故f(x)=2022−x2是“有界函数”；

选项C：显然x∈R，0<f(x)≤1011，所以对任意x∈R，存在正数M，都有|f(x)|≤M成立，故f(x)=2022x2+2是“有界函数”；

选项D：显然x∈R，f(x)∈R，所以对任意12.【答案】AC

【解析】解：函数f(x)=|xlog2(1−x2)||x−1|−1，

故函数的定义域满足|x−1|−1≠01−x2>0，解得−1<x<0或0<x<1，故f(x)的定义域为(−1,0)∪(0,1)，故A正确；

对于B：由f(x)=0，得log2(1−x2)=0，解得x=0，由于x=0时，对于函数f(x)没意义，故函数没有零点，故B错误；

对于C：由函数的定义域(−1,0)∪(0,1)，f(x)=|xlog2(1−x2)||x−1|−1=|xlog2(1−x2)|−x，满足f(−x)=−f(x)，13.【答案】(1【解析】【分析】

根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|2x−1|<13，解得x的取值范围，即可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式．

【解答】

解：根据题意，偶函数f(x)在区间(0,+∞)单调递增，

则f(2x−1)<f(13)

∴f(|2x−1|)<f(13)⇒|2x−1|<13，

解可得：1314.【答案】[−3【解析】解：由已知可得，ω=2，

则f(x)=3sin(2x−π6)，

∵x∈[0,π2]，∴2x−π6∈[−π6,5π6]，

则sin(2x−π6)∈[−12,1]，f(x)=3sin(2x−15.【答案】[−1,+∞)

【解析】解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，

作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：

当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，两个函数的图象都有2个交点，

即函数g(x)存在2个零点，

故实数a的取值范围是[−1,+∞)，

故答案为：[−1,+∞)．

由g(x)=0得f(x)=−x−a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．

16.【答案】[0,4)

【解析】解：当x≥2时，f(x)=x2+4x=x+4x≥2x⋅4x=4，

当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立，

∴y=f(x)在[2,+∞)上的值域为[4,+∞)，

当x<2时，f(x)=2|x−a|，

①当a≥2时，f(x)=2a−x在(−∞,2)上单调递减，

要使对任意的x1∈[2,+∞)，都存在唯一的x2∈(−∞,2)，满足f(x2)=f(x1)，

则2a−2<4，即a<4，

∴2≤a<4，

②当a<2时，f(x)=2|x−a|在(−∞,a)上单调递减，在(a,2)上单调递增，又f(a)=1<4，

要使对任意的x1∈[2,+∞)，都存在唯一的x2∈(−∞,2)，满足f(x2)=f(x1)，

则2|2−a|≤4，即17.【答案】解：(1)原式=2−5×24−4【解析】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．

(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．

(2)利用对数的运算性质求解．

18.【答案】解：(1)由题意可得x=1,y=−m−1,r=12+(m+1)2，

∴cosα=55=112+(m+1)2，整理得(m+1)2=4，

解得m=1或m=−3；【解析】(1)由已知借助于余弦函数的定义列式求解m值；

(2)由(1)可得sinα，cosα的值，结合三角函数的诱导公式可得sin(3π+α)tan(π19.【答案】解：(1)∵y=f(x)图象的一个对称中心是(π8,0)．

∴sin(2×π8+φ)=0，

∴2×π8+φ=kπ，k∈Z，

∴φ=kπ−π4，k∈Z，

又∵−π<φ<0，

∴φ=−π4；

(2)由(1)得函数f(x)=sin(2x−π4)，【解析】(1)将(π8,0)代入可得φ=kπ−π4，k∈Z，结合−π<φ<0，可得φ的值；

(2)由2x−π4∈[−20.【答案】解：(1)将x0=5，v=0代入函数v=12log3x100−lgx0，得12log3x100−lg5=0，

因为lg5≈0.70，所以log3x100=21g5≈1.40，所以x100≈4.66，

所以x=466．

【解析】(1)将x0=5，v=0代入函数解析式，求出x的值即可答案；

(2)设出雄鸟每分钟的耗