中考复习-几何定值和极值+不分版本

....几何定值和极值.本周教学容：几何定值和极值几何定值问题定值问题大概分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定弧、定比）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向）解决这类问题要经过题目中元素动静联合，特殊与一般联合，数形联合的特点去剖析，把定值找出来，再有的放矢地进行论证。定量问题：解决定量问题的重点在探究定值，一旦定值被找出，就转变为熟悉的几何证明题了。探究定值的方法一般有运动法、特殊值法与计算法。定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线能够看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。几何极值问题：最常有的几何极值问题大概包括：相关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。.重点、难点：（一）重点：重点是几何的定值问题和极值问题，证几何定值问题时要运用一定的猜想、联想、推理、计算等手段探究定值。几何中的极值问题大量的是利用几何图形的性质，作各样几何变换与利用几何中的不等量关系来求解。（二）难点：难点是经过题目中元素动静联合，特殊与一般联合，数形联合的特点进行剖析，进而提高剖析问题和解决问题的能力。[例题剖析]例1.已知ABC的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延伸线分别交AC、AB于D、E，求证：ADAEDCEB为定值。AEDMNPBC剖析：用运动法探究定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到M时，D点将与A点重合，而AM＝MB，于是ADAE0AM011，于是转入一般证明。DCEBACMB证明：连接APAESAECSAEPSAECSAEPEBSBECSBEPSBECSBEP即AESAPC同理：ADSAPBEBSBPCDCSBPC1/11AEADSEBDCS

APCBPC

....SAPBSABCSBPCSBPCSBPCSABC1BCh，SBPC1BC1h222SABC2SBPCAEADSBPC1EBDCSBPC例2.两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线AA'与BB'交一圆于A、B，交另一圆于A'、B'，AB与A'B'交于点C，求证：C为定值。QQA'BOO'A(B)P

A'(B')PB'ACC剖析：设两圆为⊙O、⊙O'，现从运动极端剖析，因为直线AA'与BB'都是以P为固定点运动的。当AA'与BB'重合时，便成了左图的情况，而AC和A'C分别成了两圆的切线。且PQAA'(BB')，QA、QA'分别为直径。容易求得C180AQA'QAPQA'P1(QOPQO'P)这就是所求的定值。2证明：如右图，连接PQ、BQ、A'Q则有CPB'A'PBA180PQA'PBAQA'PQPA'PBAQA'PQBAPBAQA'PQBP1(QOPQO'P)为定值2例3.在定角XOY的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任作一圆与OX相交，凑近O点的交点为A，与OY相交，远离O点的交点为B，则APB为定角。XXMAP(A)POONBYY(1)(2)2/11..

.

.剖析：先探究定值，根据特殊化求定值，一般证明的原则，先看图

(2)，如果以角平分线上随意一点

P为圆心，以

OP为半径作圆，此时，

A点与

O点重合，

APB

OPB1POBPBOXOY2APB180XOY为定值证明：如图(1)，作PMOX于M，PNOY于NOPMOPN(AAS)PMPN又PAPB，RtPMARtPNBPAMPBN、、、四点共圆OBPAAPB180为定值XOY例4.已知E、F分别是四边形ABCD的AB、CD边上的中点求证：EF1(ADBC)2ADADEFEFGBCBC剖析：本题即证EF的最大值为1(ADBC)，因此可先考虑特殊情况，以找出等号建立的条件，再证一般情况。2证明：(1)当四边形中AD//BC时，如左图EF是梯形ABCD的中位线1EF(ADBC)当AD不平行BC时，如右图连接AC，取AC的中点G，再连接EG、FG在ACD中，GF1AD21BC在ABC中，EG2EGGF1(ADBC)2又在EFG中，EFFGGEEF1(ADBC)2综合(1)(2)，得EF1(ADBC)2[考点解析]3/11....1.ADOBADBEOEACBEBE⌒⌒，例如图，是⊙的直径，是延伸线上一点，于点交延伸线于点CDG切⊙，，若ED弦EG交AD于点F。求证：CEFG。BD2GE3O14CA证明：连接AE、EDAD是⊙O直径AED90ACBC490BC切⊙O于点E314EDDG，AD是⊙O直径EFAD，EFFGEFAD，ECAC，14ECEFCEFG点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识。例

2.

如图，在

ABC中，

ABC

90

，O是

AB上一点，以

O为圆心，

OB为半径的半圆与

AC切于点

D，与

AB交于点E，若

AD＝2，AE＝1，求

tg

ADE

的值和四边形

BCDE的面积。CD

F312A

E

O

B剖析：求

tg

ADE的值，需要用转变的思想，因为

ADE

不是直角三角形，所以要转变到直角三角形中解决问题。因为

ADE

DBA

，所以能够把问题转变到

RtDBE中解决问题。求四边形能够用割补的方法，把四边形切割成RtDBE和等腰

DCB

两个三角形分别求解。4/11....解：连接BD，过D点作DFBC于点F半径OBBC于点BBC切⊙O于点BAC切⊙O于点DCDCBAC切⊙O于点D，BE是直径12，BDE90tg2

DEBD2，AA，AD2，AE1ADE~ABDDEAE1BDAD2tgADEED1tg22BD设CDCBx(x0)又得AD2AEABAD2AB4AEABC90AB2BC2AC2即42x2(2x)2BCx3DFBC，ABBCDF//ABCF:FBCD:AD3:232BF2BC6，tg3BE155DF2DF2BF125SBCD1BCDF131236.265251BD35又BD5BFED525SBDE1BDED16318.225555S四边形BCDE54.(平方单位)5/11....点评：本题主要运用了转变的思想，把求tgADE转变到了RtDBE中来解决。考察了相像三角形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识。[模拟试题].几何定值问题求证：正三角形一点到三边距离之和为定值。ADFPBEC在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P，则(PC＋PA)：PB为定值。DPEACB3.在正方形ABCD，以A点为极点作EAF45，且EACFAC，设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于Ｅ、F，自E、F分别作正方形对角线AC的垂线，垂足为P、Q。求证：过B、P、Q所作圆的圆心在BC上。ADFPQBEC4.已知CD是半径为R的⊙O的直径，AB是动弦，AB与CD相交于E，且成45角，求证：AE2BE2为定值。ACOEDB二.几何极值问题5.在ABC中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，试证明DEF的面积不超过ADE与BDF的面积之6/11....和。6.如图，ABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且123，如果ABC、EBD、ADC的周长依次是m、m1、m2，证明：m1m25。m4AE12B3CD7.已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延伸线与CB的延伸线相交于Q，问P点在什么地点时，使得APBQ的值最小？DCABPQ8.设AB是⊙O的动切线，与经过圆心O而互相垂直的两直线相交于A、B，⊙O的半径为r，求OA＋OB的最小值。yBPrOAx[疑难解答]教师自己设计问题：1.本周的模拟试题为什么没有选择题和填空题？2.解答题的8个题各属于几何定值和极值的哪一种种类？它们的解题思路是什么？对问题的解答：本周的几何定值和极值问题综合性较强，而且一般都在解答题中出现，选择题和填空题出现极少，因此本周的模拟试题都是解答题。2.答：解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题；第3题是几何定值中的定形问题；第5到第8题是几何极值问题。下面就这8个题的解题思路分别作以下的说明。第1题：已知P为正ABC随意一点，它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD，求证：PD＋PE＋PF为定值。剖析：点P能够在三角形随意运动，当P点运动到正三角形的一个极点时，显然就是正三角形的高，因此，PD＋PE＋PF7/11....必取定值，这个定值，就是ABC的高h。证明：连接PA、PB、PC显然有：SABCSPABSPBCSPAC1BCh1ABPD1BCPE1ACPF2222ABBCCAPDPEPFhADFPBEC第2题：剖析：用运动法律P与D重合，则(PC＋PA)：PB变为(DA＋DC)：DB，显然其定值为2。由于图中直角比较多，所以可做垂线结构相像形证明。证明：由A引AEPB，APCAEB90且ABEACPABE∽ACPPAPCAC(1)AEBEABAPBACB45AEP90AE，代入(1)式得：PEPAPCPAPCAC2ABPEBEPBAB2AB(PAPC)：为定值PBDPEACOB第3题：本题属于定形问题，要证B、P、Q三点所确定的圆的圆心在BC上，若命题正确，则B点就是半径的端点，且ABBC，AB就是圆的切线，APQ是割线，那么必有AB2APAQ，证明即可。8/11....证明：如图，BAECAF45EAC又BAQFRtABE∽AQFABAE(1)同理AEP∽AFDAQAF得APAE(2)由(1)(2)ABAP又ADABADAFAQADAB2APAQAB是过B、P、Q三点所作圆的切线，BC过切点B垂直于AB，它必经过圆心，也就是过B、P、Q所作圆的圆心在BC边上。ADFPQBEC第4题：这是定值问题，既然AB是⊙O的动弦，而且与⊙O的定直径CD保持夹角为45，则可把这些动弦视为一组平行移动的弦，显然，做一条过圆心且平行于AB的弦AB，则E点与O点重合，这时AE2BE2R2R22R2，1111于是探究到定值为2R2，这里的A1B1是特殊地点，一般情况就比较好证了。第5题：CFEBADE'(1)CCFEADBADB(F)(E)(3)(2)9/11....剖析：因为DA＝DB，所以ADE与BDF就能够拼合成一个四边形，然后再去与DEF比较面积的大小。证明：(1)如图(1)，以D为对称中心，把DAE旋转180到DBE'，易知四边形BFDE'是凸四边形，连接FE'，而且DEDE'SDEFSDE'F，SDE'FS四边形DE'BFSDEFS四边形DE'BFSBDE'SBDFSDEFSADESBDF(2)当E运动到与A重合时，SADE0，则SDEFSADFSBDF如图(2)(3)当F运动到与B重合时，SBDF0，则SDEFSBDESADE如图(3)综合(1)、(2)、(3)SDEFSADESBDF总能建立。第6题：剖析：初看本题不好下手，但认真想来有两条路可走，一是把m1、m2、m分别用同一个三角形的边长的代数式表示，将m1m2转变为二次函数求极值；另一是将m1m2视为m1与m2的和，分别求其代数式再求极值。mmmm证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则m＝a＋b＋c123，则ED//AC，进而得ABC∽EBD∽DAC由ADC∽得DCADACbBACbcaaa2b2m2DCADACb(abc)同时BDaDCaa由∽得：EDBEADa2b2EBDABCacaam1EDBEBDa2b2(abc)a2m1m2a2a2b2b1(b)2b(b1)255maaaa244第7题：剖析：P是AB边上的一个动点，Q点随P的运动而动，题中涉与两个未知量的和。BQ随AP的变化而变化，所以可用AP的代数式来表示。这样，我们设所求两线段之和为线段AP的函数，即可用代数法求解。解：设AP＝x，AB＝m，AD＝n，AP＋BQ＝y，易证BQP∽ADPBQBP，即BQmxBQn(mx)ADAPnxxyx