圆锥曲线设而不求法典型试题

圆锥曲线设而不求法典型试题例1,弧ADB为半圆，AB为直径，0为半圆的圆心，且0D垂直于AB,Q为半径0D的中点，已知AB长为4,曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点D的直线与曲线C交于不同的两点M、N，求三角形OMN面积的最大值。2例2：已知双曲线x-y/2=1，过点M(1,1)作直线L,使L与已知双曲线交于点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明原因。解：假定存在知足题意的直线L,设Qi(Xi,Yi),Q2(X2,Y2)2222代人已知双曲线的方程，得xi-yi/2=1①，x2-y2/2=1②②-①，得(X-x)(x+x)-(y-yi)(y+y)/2=02i2i22io当Xi=x2时，直线L的方程为x=i，此时L与双曲线只有一个交点(i,0)不知足题意;当xi孜2时，有(y2-yi)/(x2-xi)=2(x2+xi)/(y2+yi)=2.故直线L的方程为y-1=2(x-1)222-4X+3=0,其鉴别式查验：由y-1=2(x-1),x-y/2=1，得2X"=-8<0,此时L与双曲线无交点。综上，不存在知足题意的直线3例3,已知，椭圆C以过点A(1,-),两个焦点为(一1,0)(1,0)o2求椭圆C的方程；(2)E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值,2x2y解由题意，c=1,可设椭圆方程为-b24b2i1因为A在椭圆上，所以9,解得b2=3,b21b212x224b所以椭圆方程为一'1.43

3(舍去)。4(H)证明设直线AE方程：得yk(x1)3，代入7并求出这个定值。(3+4k22k)2)x+4k(32k)x4(12023设E(XE,YE),F(XF,YF)?因为点A(1,一)在椭圆上,2324(k)2123所以XE2yEkxEk。2又直线AF的斜率与2k代k，可得AE的斜率互为相反数，在上式中以34k4(2k)2123k。2XF34k2，YkxF2F所以直线EF的斜率kEFYYk(xFx)2k1FEEXXXX2FEFE即直线EF的斜率为定值,其值为1。2224,已知直线x2y20经过椭圆C:XCS2a1(ab0)的左极点A和上极点，椭圆的右极点为，点DB和椭圆C上位于X轴上方的动点，直线,AS,BS与直线|:x10分别交于3求椭圆C的方程；求线段MN的长度的最小值；解方法一(1)由已知得，椭圆C的左极点为A(2,0),2上极点为D(0,1),a2,b1x2彳故椭圆C的方程为7y1(2)直线的斜率故可设直线的方程为yk(x2)，ASk显然存在，且k0，AS进而M(?曙yk(x2)x22“得(127y12224k)x16kx16k40，3316k24/曰鲨，进而y14k设S(X,yJ,则(2),x厂得214k14k214k2S(28k企),又B(2,0)1即4k2'14k丄(x102)4k310丄)故|MN|16k1得10%13k33k33k016k1|MN|3k,3当且仅当型丄，即丄时等号建立433kk1时，线段MN的长度取最小值4例5?已知点A(X1,y1),B(X2,y2)(X1X20)是抛物线y2px(p0)上的两个动点，0是坐标原点，向量UUUUUIUuuuuuuuuuuuu22OAOBC的方程为Xy(X1212)y0OAOB知足OAOBX)X(yy,证明线段AB是圆C的直径；(2)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时，求p的值￡3uuuuuuuuuuuuuuu25uuu2UUUUUU解析：(I)证明：QOAOBOAOB)(OAOB)21OB,(OAUUU2uuuuuu22UUUuuuuuumuUULOA2OAOBuuuuuuOA2OAOB2整理得：OAOBOBXXyy0OB120,12UULT，UUL设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的随意一点则MAT(xxj(xX)2即2整理得:X?(yyJ(yy)0MB220'1212)yy(XyX)x(y故线段AB是圆C的直径UUUuuu2uuuuuuuuuuuuuuuuuu2证明2：QOAOBOAOB,(OAOB)(OA2UUUuuuuuuUUUUUUuuuuuuuu2OB)222OA2OAOBOBOA2OAOBOBuuuuuu0整理得：OAOBXxyi目20..(1)i设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即31311(xXi,XX2)XX2xX1去分母得：(XX1)(xX2)(yy1)(yy?)0点(X,yd,y),(x,『1)(x,y)知足上方程，展开并将(1)代入得:1222222(X121y2)y0XyX)X(y故线段AB是圆C的直径uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu证明3：QOAOBuuu22UUU2uuuuumUUU2OAOB,(OAOB)2(OAOB)22UUUUUUUUW2OAOA2OAOBOBuuuuuu整UUUOBOB2OA理得：OAOB0XXy1y20(1)12以线段AB为直径的圆的方程为Xir)Xn2(yy1y2)2122(x2[(XX)(yy)]展开并将(1)代入得41212：x2y2(x-ix2)x(yiy2)yo故线段AB是圆C的直径解法1:设圆C的圆心为C(X,y),则捲x22y1y222px1,y22Qy1222px2(p0)y2X!X24p2Xy1y2又因2X1X2y1y222yiy224pQXx20,yiy2|yiy24p2Xii22iy22%y2)学x(yiy2护2214p4pi22(y22p2)c2ppx2p设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则所以圆心的轨迹方程为i22dlx2y|d.l5—(y22p2)2y|y22py2p2|pl(yP)2p2|75p25当y=p时,d有最小值-匕,由题设得、5V5V5p2.解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则xix22yiy?22Qyi20)2px,y2px(pi22x|x222yiy2又因xX24p2yiy20xx2yiy2|22yiy2Qx|x24p20,yiy2yiy24p2x亠i,22"2(y4p2iy2i4p22-(y22p2)p所以圆心的轨迹方程为设直线px2p2x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为m2因为x-2y+2=0与y2px2p2无公共点所以当x-2y-2=0与y2px2p2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为亠55x2y20L(2)y2px2p2L⑶将⑵代入⑶得y22py2p22p0224p4(2p2p)0Qp0p2.解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则yiy2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则XiX2(yy2)I2i22Qyi2pX』22px2(p0)i22