上海市杨浦区2022-2023学年数学九年级上册期末联考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将

PB拉到PB'的位置，测得NPB'C=a（B'C为水平线），测角仪B'D的高度为1m,则旗杆PA的高度为（）

2.如图，以A5为直径的。。上有一点C,且N8OC=50。，则NA的度数为（）

A.65°B.50°C.30°D.25°

B是反比例函数y=&（x>0）图象上的两点，过点A,

3.如图，点A,B分别作AC_Lx轴于点C,BDLx轴于点D,

x

4.已知反比例函数y=月的图象经过点P（-1,2）,则这个函数的图象位于（）

x

A.二、三象限B.一、三象限C.三、四象限D.二、四象限

5.二次函数y=—2/+4x图像的顶点坐标是（）

A.(-1,2)B.(Tl)C.(1,1)D.(1,2)

k

6.已知点(3,-4)在反比例函数y=—的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是()

x

A.(3,4)B.(-3,-4)C.(-2,6)D.(2,6)

7.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=(x+1)(x-3)与x轴相交于4、8两点，若在抛物线上有且只有三个不同

的点。、心、Ci,使得△A5G、4ABe2、AA8C3的面积都等于，"，则，"的值是()

A.6B.8C.12D.16

8.已知两个相似三角形的相似比为4:9,则这两个三角形的对应高的比为()

A.2:3B.4:9C.16:81D.9:4

9.二次函数y=℃2+历;+C(OHO)的部分图象如图所示，图象过点(―3,0),对称轴为x=—l.下列说法：①而c<0；

②加一Z?=0；③4a+28+c<0；④若(一5,»),(2,%)是抛物线上两点，则弘〉内，错误的是()

A.①B.②C.③D.④

10.如图，OO的半径为2,点O到直线1的距离为3,点P是直线1上的一个动点.若PB切。O于点B,则PB的

最小值是()

11.如图，抛物线y=ax?+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=l,且经过点P(3,0),则a-b+c的值为()

C.1D.2

12.把抛物线y=3(x+iy先向左平移1个单位，再向上平移几个单位后，得抛物线y=+12尤+14,则〃的值是

()

A.-2B.2C.8D.14

二、填空题(每题4分，共24分)

13.若上,，则山=_________.

x2x

14.若关于1的一元二次方程0?+泣+4=()的一个根是x=—l,则2016—a+h的值是.

15.方程2f-5x=0的解为.

16.抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是.

17.如图，点E是矩形ABC。的对角线AC上一点，正方形EFG"的顶点G,"在边AO上，AB=3,5C=4,则

tanZDAF的值为

18.一元二次方程x2-16=0的解是.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=必+加+，的图象与x轴交于A、3两点，4点在原点的左侧，抛

物线的对称轴x=L与y轴交于C(0,-3)点，点尸是直线5c下方的抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式及4、8点的坐标.

(2)连接P。、PC,并把△尸。C沿C。翻折，得到四边形POP'C,那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形；

若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点P运动到什么位置时，四边形A8PC的面积最大；求出此时尸点的坐标和四边形A8PC的最大面积.

20.(8分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

(2)如图，将AABC绕顶点B按顺时针方向旋转60。得到ADBE,连接AD,DC,CE,已知NDCB=30。.

①求证：ABCE是等边三角形；

②求证：DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.

112

21.(8分)我们可以把一个假分数写成一个整数加上一个真分数的形式，如1=3+§.同样的，我们也可以把某些分式写

3x-3+33(x-l)+33〜力必位八位小皿并

成类似的形式，如——=-------=-----------=3+—.这种方法我们称为“分离常数法”.

x-1x-lx-lX-1

(1)如果—=1+—3-,求常数a的值；

x+lX+1

(2)利用分离常数法,解决下面的问题:当m取哪些整数时，分式网的值是整数？

mA

2

(3)我们知道一次函数产E的图象可以看成是由正比例函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到,函数尸——的图

x+1

23X-2

象可以看成是由反比例函数尸一的图象向左平移1个单位长度得到.那么请你分析说明函数尸一7的图象是由哪个反

xx-2

比例函数的图象经过怎样的变换得到？

22.(10分)如图，在平面直角坐标系中，过点A(2,0)的直线/与y轴交于点8,tanNO48=；,直线/上的点P

位于y轴左侧，且到)，轴的距离为1.

(1)求直线/的表达式；

(2)若反比例函数y=—的图象经过点P,求机的值.

x

23.（10分）4月23日，为迎接“世界读书日”，某书城开展购书有奖活动.顾客每购书满100元获得一次摸奖机会，规

则为：一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字1,2,3,4,它们除所标数字外完全相同，摇匀后同

时从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之和与奖励的购书券金额的对应关系如下：

两球所标数字之和34567

奖励的购书券金额（元）00306090

（1）通过列表或画树状图的方法计算摸奖一次获得90元购书券的概率；

（2）书城规定：如果顾客不愿意参加摸奖，那么可以直接获得30元的购书券.在“参加摸奖”和“直接获得购书券”两种

方式中，你认为哪种方式对顾客更合算？请通过求平均教的方法说明理由.

24.（10分）如图，已知抛物线经过坐标原点。和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2,4）.矩形ABCD的顶点A与

点O重合，A。、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2,AB=1.

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）将矩形ABC。以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相

同的速度从点A出发向8匀速移动，设它们运动的时间为/秒（04,43）,直线A3与该抛物线的交点为N（如图2所

示）.

①当r=2,判断点尸是否在直线MB上，并说明理由；

②设P、N、C、。以为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说

明理由.

25.（12分）某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获取更多利润，商店决定提高销售价格，经试

验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件.假定每月销售件数

y（件）是价格x（元/件）的一次函数.

⑴试求y与x之间的函数关系式；

（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时，才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多

少?（总利润=总收入-总成本）.

26.沙坪坝正在创建全国文明城市，其中垃圾分类是一项重要的举措.现随机抽查了沙区部分小区住户12月份某周内

“垃圾分类”的实施情况，并绘制成了以下两幅不完整的统计图，图中A表示实施天数小于5天，8表示实施天数等

于5天，C表示实施天数等于6天，。表示实施天数等于7天.

（1）求被抽查的总户数；

（2）补全条形统计图；

（3）求扇形统计图中8的圆心角的度数.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

pc

【解析】设PA=PB=PB，=x,在RTMCB，中，根据sina=——，列出方程即可解决问题.

PB'

【详解】设PA=PB=PB，=x,

PC

在RTAPCB'中，sina=——，

PB'

x-1

=sina,

X

/•x-l=xsina,

:.(1-sina)x=l,

1

x=-----------・

1-sina

故选A.

【点睛】

本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型.

2、D

【分析】根据圆周角定理计算即可.

【详解】解：由圆周角定理得，ZA=1ZBOC=25°,

故选：D.

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

3、D

【分析】先求CD长度，再求点B坐标，再求函数解析式，可求得面积.

【详解】因为，BD=3,SABCD=-C£>«B£>=3,

2

所以，-CD-3=3,

2

解得，CD=2,

因为，C(2,0)

所以，0D=4,

所以，B(4,3)

k

把B(4,3)代入y=—，得k=12,

x

所以，y上

x

所以，SAAoc=^Ay=6

故选D

【点睛】

本题考核知识点：反比例函数.解题关键点：熟记反比例函数性质.

4、D

【分析】此题涉及的知识点是反比例函数的图像与性质，根据点坐标P(-1,2)带入反比例函数y=(中求出k值就

X

可以判断图像的位置.

【详解】根据y=&的图像经过点P(-1,2),代入可求的k=-2,因此可知kVO,即图像经过二四象限.

X

故选D

【点睛】

此题重点考察学生对于反比例函数图像和性质的掌握，把握其中的规律是解题的关键.

5、D

【分析】先把二次函数进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标.

【详解】•••y=-2f+4x

=-2(X2-2X+1-1)

=—2(x—1)'+2,

.•.二次函数y=-2x2+4x的顶点坐标为(1,2).

故选：D.

【点睛】

本题考查二次函数的顶点坐标，配方是解决问题的关键，属基础题.

6、C

【解析】试题解析：•.•反比例函数y=A图象过点(3,-4),

X

-4=一，即h=-12,

3

A.・.・3x4=12w—12,・•・此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

B.:(-3)X(-4)=12H-12,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C.v-2x6=-12,二此点在反比例函数的图象上，故本选项正确.

D.2x6=12。—12,此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

故选C.

7,B

【分析】根据题目中的函数解析式可以求得该抛物线与x轴的交点坐标和顶点的坐标，再根据在抛物线上有且只有三

个不同的点Ci、C2、C3,使得AABG、AABC2.AABC3的面积都等于m,可知其中一点一定在顶点处，从而可以求

得m的值.

【详解】•••抛物线丫=(x+1)(x-3)与x轴相交于A、B两点，

...点A(-1,0),点B(3,0),该抛物线的对称轴是直线x=——=1

2

/.AB=3-(-1)=4,该抛物线顶点的纵坐标是：y=(1+1)x(1-3)=-4,

,在抛物线上有且只有三个不同的点Cl、C2、C3,使得AABG、AABC2、AABC3的面积都等于m,

故选B.

【点睛】

本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和

数形结合的思想解答.

8^B

【分析】根据相似三角形的性质即可得出答案.

【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得对应高的比为4:9,故答案选择B.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边、对应高、对应中线以及周长比都等于相似比.

9、C

【分析】根据抛物线的对称轴和交点问题可以分析出系数的正负.

【详解】由函数图象可得：a>0,c<0,x=--=-1

2a

所以b>0,2a-b=0,

所以abc<0,

抛物线与x轴的另一个交点是(1,0),当x=2时，y>0,

所以4a+28+C>0,故③错误，

因为(一5,乂)，(2,%)是抛物线上两点，且(一5,弘)离对称轴更远，

所以X>%

故选：c

【点睛】

考核知识点：二次函数图象.理解二次函数系数和图象关系是关键.

10、B

【分析】由切线的性质可得△。尸8是直角三角形，则尸)=0尸2-04,如图，又。3为定值，所以当OP最小时，PB

最小，根据垂线段最短，知OP=3时尸8最小，然后根据勾股定理即可求出答案.

【详解】解：；尸8切。。于点5,.••NOBP=90°,

：.PB2=OP2-OB2,

如图，•；OB=2,

112

：.PB=OP-4,即PB=A/0P-4，

.•.当OP最小时，PB最小，

•.•点。到直线/的距离为3,

.•.OP的最小值为3,

:.PB的最小值为79-4=亚.

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了切线的性质、勾股定理及垂线段最短等知识，属于常考题型，如何确定尸8最小时点尸的位置是解题

的关键.

11、A

【解析】试题分析：因为对称轴x=l且经过点P(3,1)

所以抛物线与x轴的另一个交点是(-1,1)

代入抛物线解析式y=ax2+bx+c中，得a-b+c=l.

故选A.

考点：二次函数的图象.

12、B

【分析】将y=3f+12x+14改写成顶点式，然后按照题意将y=3(x+iy进行平移，写出其平移后的解析式，从而

求解.

【详解】解：y=3x?+12x+14=3(*2+4x+4)+2=3(x+2)2+2

由题意可知抛物线y=3(x+叶先向左平移1个单位，再向上平移〃个单位

y=3(x+l)-=3(x+l+lJ+〃=3(x+2)-+〃

:.n=2

故选：B

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的变化确定函数图象的变化可以使求解更加简便.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、2

2

【分析】把所求比例形式进行变形，然后整体代入求值即可.

,y+xy,y1y+x1,3

【详解】V--=-+1,-=-=-+1=-;

xxx2x22

3

故答案为

2

【点睛】

本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的方法是解题的关键.

14、1

【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a—b=-4,再把2019-a+b变形为2019-(a-b),然后利用整体代入

的方法计算.

【详解】把x=T代入一元二次方程62+陵+4=0,得：

a-b+4=0,即：a-b=-4,

.•.2016-a+Z?=2016-(a—Z?)=2016+4=2020,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

八5

15->玉=0,*2=]

【分析】因式分解法即可求解.

【详解】解：2/—5X=0

x(2x-5)=0,

【点睛】

本题考查了用提公因式法求解一元二次方程的解，属于简单题，熟悉解题方法是解题关键.

16、(-1,2)

【详解】

解：将二次函数转化成顶点式可得：y=(x+l)2+2,则函数的顶点坐标为(-1,2)

故答案为：(-1,2)

【点睛】

本题考查二次函数的顶点坐标.

17、之

7

【分析】先证明△AHEs^CBA,得到HE与AH的倍数关系，则可知GF与AG的倍数关系，从而求解tan/GAF

的值.

【详解】•••四边形EFG"是正方形，

AHE=HG,

VZAHE=ZABC=90°,NHAE=NBCA,

.'.△AHE^ACBA,

HEAHHEAB3

:.——=——，即an——=—=「

ABBCAHBC4

设HE-3a,则A”=4a,

AAG=AH+HG=7a,GF=3a,

../「AGF_3«_3

••tciri/GAF=-----=—=-.

AGla7

3

故答案为：—.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形、矩形的性质、解直角三角形.利用参数求解是解答本题的关键.

18、Xl=-1,X2=l

【分析】直接运用直接开平方法进行求解即可.

【详解】解：方程变形得：产=16,

开方得：X=±l,

解得：XI=-1,X2=l.

故答案为：Xl=-1>X2=l

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，掌握直接开平方法是解答本题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)y=xz-2x-3,点A、B的坐标分别为：(-1,0)、(3,0)；(2)存在，点P(1+川,--)；(3)故S有

22

最大值为整，此时点尸(—,--y-).

824

b

【分析】(1)根据题意得到函数的对称轴为：x=--=1,解出b=-2,即可求解；

2

13

(2)四边形POP'C为菱形，则"=--OC=即可求解；

(3)过点尸作尸”〃y轴交8c于点P,由点3、C的坐标得到直线BC的表达式，设点尸(x,3-2*-3),则点”(x,

x-3),再根据ABPC的面积S=SAABC+SA8CP即可求解.

【详解】(1)函数的对称轴为：x=--=1,解得：6=-2,

2

.,.y=x2-2x+c,

再将点C(0,-3)代入得到c=-3,

，，抛物线的表达式为：>=必-2*-3,

令y=0,贝!]x=-1或3,

故点4、8的坐标分别为：(-1,0)、(3,0)；

(2)存在，理由：

图1

3

即y=x2-2x-3=--,

解得：x=l土叵(舍去负值),

2

故点…坐,-|)；

(3)过点尸作尸//〃y轴交于点P,

由点5、C的坐标得到直线BC的表达式为：j=x-3,

设点P(x,x2-2x-3),则点H(x,x-3),

ABPC的面积S=SAABC+SABCP

11

=-XABXOC+-XPHXOB

22

11,,、

=-X4X3+-X3X(x-3-，+2x+3)

22

39

=-----x2+—x+6,

22

3,3、275

228

3

V-一＜0,

2

...当x=2时，S有最大值为2,此时点尸（』，-?）.

2824

【点睛】

此题是一道二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点，翻折的性质，菱形的性质，利

用函数解析式确定最大值，（3）是此题的难点，利用分割法求四边形的面积是解题的关键.

20、（1）正方形、矩形、直角梯形均可；（1）①证明见解析②证明见解析

【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形;

（D①首先证明AABCgaDBE,得出AC=DE,BC=BE,连接CE,进一步得出ABCE为等边三角形;

②利用等边三角形的性质，进一步得出ADCE是直角三角形，问题得解.

【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可;

(1)①•.•△ABCgAkDBE,

；.BC=BE,

VZCBE=60°,

/.△BCE是等边三角形;

(DVAABC^ADBE,

.*.BE=BC,AC=ED；

.•.△BCE为等边三角形,

.\BC=CE,ZBCE=60°,

VZDCB=30°,

:.ZDCE=90°,

在RtZkDCE中，

DC^CE^DE1,

.,.DC'+BC^AC1.

考点：四边形综合题.

3x-2

21、(1)a=-4；(2)，"=4或，〃=-2或，〃=2或，〃=0；(3)y=

x-2

【解析】(1)依据定义进行判断即可；(2)首先将原式变形为-3-三3，然后依据m-1能够被3整数列方程求解即可;

m-3

3x-24

(3)先将函数丫=化为y=+3,再结合平移的性质即可得出结论.

x—2x—2

x-3x+1-4-4

【详解】(1)I------=1+,.：a=Y.

x+1x+1----x+1

-3m-3m+3-3-3(m-l)-3^_3

⑵Ur3

mAm-]m-\

.：当。-1=3或-3或1或T时,分式的值为整数,解得方4或mr或矿2或m=0.

3x-23x-6+43(x-2)+4型白,

⑶尸

x-2x-2x-2x-2

4443x-2

•:将y=-的图象向右移动2个单位长度得到尸一；的图象,再向上移动3个单位长度得到y-3--,即y=^—

xx-2x-2x-2

【点睛】

本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质和找出图象平移的性质是解题的关键.

13

22、(1)y=—x+1；(2)---.

22

Z1D|

【分析】⑴已知A(2,0)anZOAB=—=一，可求得OB=1,所以B(0,1),设直线1的表达式为y=丘+匕，用待

OA2

定系数法即可求得直线1的表达式；(2)根据直线1上的点P位于y轴左侧，且到y轴的距离为1可得点P的横坐标为

m

一1,代入一次函数的解析式求得点P的纵坐标，把点P的坐标代入反比例函数丫=一中，即可求得m的值.

x

【详解】解:(1)VA(2,0),.,.OA=2

OB1

•；tanNOAB=---=—

OA2

/.OB=1

AB(0,1)

设直线1的表达式为.y="+"则

b-\

<2k+b=0

k=——,b=1

2

直线l的表达式为y=-gx+l

⑵•.•点P到y轴的距离为1,且点P在y轴左侧,

二点P的横坐标为一1

又••,点P在直线1上，

13

.•.点P的纵坐标为：一一x（—1）+1=—

22

.••点P的坐标是1―1,1）

•・•反比例函数y=—的图象经过点P,

x

.3m

s•———

2-1

.33

..m=-i।x—=——

22

【点睛】

本题考查待定系数法求函数的解析式；一次函数与反比例函数的交点坐标.

23、（1）（2）在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算，理由见解析.

【分析】（1）根据题意，列出表格，然后利用概率公式求概率即可；

（2）先根据（1）中表格计算出两球数字之和的各种情况对应的概率，然后计算出摸球一次平均获得购书券金额，最

后比较大小即可判断.

【详解】解：（1）列表如下：

第1球

1234

第2球

10,2)。，3）。，4）

2（2」）。，3）J)

3（3」）(30（3,4）

4（4」）(40（4,3）

由上表可知，共有12种等可能的结果.其中“两球数字之和等于7”有2种,

21

：.P(获得90元购书券)

126

(2)由(1)中表格可知，两球数字之和的各种情况对应的概率如下:

数字之和34567

获奖金额(元)00306090

22422

相应的概率

1212121212

/.摸球一次平均获得购书券金额为

22422

0x—+0x—+30x——+60x—+90x—=35元

1212121212

V35>30,

.•.在“参加摸球”和“直接获得购书券”两种方式中，我认为选择“参加摸球”对顾客更合算.

【点睛】

此题考查的是求概率问题，掌握用列表法和概率公式求概率是解决此题的关键.

3

2

24、(l)j=-x+4x;(2)点尸不在直线M8上，理由见解析；②当时，以点P,N,C,。为顶点的多边形面积有

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最大值，这个最大值为

4

【分析】(1)设抛物线解析式为y="(X-2)2+4,将(0,0)代入求出。即可解决问题；

(2)①由(1)中抛物线的解析式可以求出E点的坐标，从而可以求出ME的解析式，再将P点的坐标代入直线的解

析式就可以判断P点是否在直线"E上.

②设出点N(f,-(r-2)2+4),可以表示出PN的值，根据梯形的面积公式可以表示出S与/的函数关系式，从而可以

求出结论.

【详解】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x-2)2+4,

把(0,0)代入解析式得a(0-2尸+4=0,

解得，6Z=—1,

函数解析式为y=_(x_2尸+4,即y=_无2+4x.

(2)①•jy=-(x-2)2+4,

.•.当y=0时，_(》_2y+4=0,

%,=0,x2=4,