振动与波 优秀公开课

第八章机械振机械波目的要求：理解简谐振动和波的传播过程中各量变化的规律特点,掌握单摆模型的有关计算\横波的传播规律和利用波的图象进行综合分析第一单元简谐振动、振动图像一、机械振动1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件.产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小;2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的,可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力;③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；也是振动停止后，振动物体所在位置；平衡位置通常在振动轨迹的中点。“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）二、简谐振动及其描述物理量1、振动描述的物理量（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．①是矢量，其最大值等于振幅；②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象．（2）振幅：离开平衡位置的最大距离．①是标量；②表示振动的强弱；（3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．①二者都表示振动的快慢；②二者互为倒数；T=1/f；③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．①受力特征：回复力F=—KX。②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.【例1】如图，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：mg—kΔx=0………①式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量．再设小球离开O点的位移x（比如在O点的下方），并取x为矢量正方向，此时小球受到的合外力∑Fx为：∑Fx=mg－k（x＋Δx）②由①②两式可得：∑Fx=－kx,所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置．点评：这里的F=—kx，不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回复力．此时弹力为k（x＋Δx）；所以求回复力时F＝kx，x是相对平衡位置的位移，而不是相对弹簧原长的位移．三．弹簧振子：1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力（水平的弹簧振子）或弹力和重力的合力（竖直的弹簧振子）提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．2、弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况（如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月球上或在绕地球运转的人造卫星上）无关。3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。【例2】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）A、Mg；B．（M－m）g；C、（M＋m）g；D、（M＋2m）g【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为A＝x2－x1=mg／kD物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力四、振动过程中各物理量的变化情况振动体位置位移X回复力F加速度a速度v势能动能方向大小方向大小方向大小方向大小平衡位置O000最大最小最大最大位移处A指向A最大指向O最大指向O0→最大0最大最小平衡位置O→最大位移处A指向A0→最大指向O0→最大指向O最大O→A最大→0最小→最大最大→最小最大位移处A→平衡位置O指向A最大→0指向O最大→0指向O最大→0A→O0→最大最大→最小最小→最大说明:简谐运动的位移、回复力、加速度、速度都随时间做周期性变化（正弦或余弦函数），变化周期为T，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为T／2。①凡离开平衡位置的过程，v、Ek均减小，x、F、a、EP均增大；凡向平衡位置移动时，v、Ek均增大,x、F、a、EP均减小.②振子运动至平衡位置时，x、F、a为零，EP最小，v、Ek最大；当在最大位移时，x、F、a、EP最大，v、Ek最为零；③在平衡位置两侧的对称点上,x、F、a、v、Ek、EP的大小均相同．【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为（）。（A）1Hz；（B）（C）2Hz；（D）2．5Hz解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。综上所述，本题应选择（B）。五、简谐运动图象1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律．2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x；②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。规律方法1、简谐运动的特点【例4】（1995年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为T（）A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍C．若Δt=T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t十Δt）时刻弹簧的长度一定相等解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。【例5】如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O为平衡位置，A,B为最大位移处，当振子由A点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t秒，在O点上方C处有一个小球，现使振子由A点，小球由C点同时从静止释放，它们恰好到O点处相碰，试求小球所在C点的高度H是多少？解析:由已知振子从A点开始运动，第一次经过O点的时间是1/4周期，第二次经过O点是3/4周期，设其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;振子第一次到O点的时间为；振子第二次到点的时间为；振子第三次到O点的时间为……第n次到O点的时间为（n＝0．1,2,3……）C处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有2、弹簧振子模型【例5】如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使A随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为。解析：根据题意，只要在最高点A、B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg，即最大加速度amax=g，故A、B不脱离的条件是a≤g，可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，a对B的压力大小等于其重力mg。拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B的质量为mB，因为mg=mamax，振幅最大时，a才有最大值，，是由kAmax=（m+mB）g，得Amax=m+mB）g/k。②运动至最低点时A对B的最大压力是多少?③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足a>g,为什么?【例6】在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M间的动摩擦因数为μ，O点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？【解析】①在细线烧断时，小球受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此时m必在O点左侧。设此时物体在O点左侧x处，则kx=μmg。所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0，即m与M的最终运动状态是静止的3、利用振动图像分析简谐振动【例7】一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm.振子的平衡位置位于x袖上的0点.图甲中的a,b,c,d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象是（AD）A.若规定状态a时t＝0，则图象为①B.若规定状态b时t＝0，则图象为②C.若规定状态c时t＝0，则图象为③D.若规定状态d时t＝0，则图象为④解析:若t＝0，质点处于a状态，则此时x＝＋3cm运动方向为正方向，只有图①对；若t＝0时质点处于b状态，此时x＝＋2cm，运动方向为负方向，②图不对；若取处于C状态时t=0，此时x=－2cm，运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d为t=0时,图④刚好符合，故A,D正确．点评:对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动试题展示1、某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4km/s和9km/s.一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成（题20图）.在一次地震中，震源地地震仪下方，观察到两振子相差5s开始振动，则P先开始振动，震源距地震仪约36kmP先开始振动，震源距地震仪约25kmH先开始振动，震源距地震仪约36kmH先开始振动，震源距地震仪约25km答案：A解析：本题考查地震波有关的知识，本题为中等难度题目。由于纵波的传播速度快些，所以纵波先到达地震仪处，所以P先开始振动。设地震仪距震源为x,则有解得：x=36km.habO2、如图所示的单摆，摆球a向右摆动到最低点时，恰好与一沿水平方向向左运动的粘性小球b发生碰撞，并粘在一起，且摆动平面不变。已知碰撞前a球摆动的最高点与最低点的高度差为h，摆动的周期为T，a球质量是b球质量的5倍，碰撞前a球在最低点的速度是habOA．摆动的周期为B．摆动的周期为C．摆球最高点与最低点的高度差为D．摆球最高点与最低点的高度差为3、一列简谐横波沿x轴负方向传播，图1是t=1s时的波形图，图2是波中某振动质元位移随时间变化的振动图线(两图用同同一时间起点)，则图2可能是图1中哪个质元的振动图线？（A）x/m图1Oy/mx/m图1Oy/m图2Ot/sy/mC．x=2m处的质元；D．x=3m处的质元。4、简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是（D）A．振幅越大，则波传播的速度越快B．振幅越大，则波传播的速度越慢C．在一个周期内，振动质元走过的路程等于一个波长D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短5、公路上匀速行驶的货车受一扰动，车上货物随车厢底板上下振动但不脱离底板。一段时间内货物在坚直方向的振动可视为简谐运动，周期为T。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，即，其振动图象如图所示，则（C） A．时，货物对车厢底板的压力最大 B．时，货物对车厢底板的压力最小 C．时，货物对车厢底板的压力最大 D．时，货物对车厢底板的压力最小6、一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图1所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图2所示.当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图3所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则ACA.由图线可知T0=4sB.由图线可知T0=8sC.当T在4s附近时，Y显著增大;当T比4s小得多或大得多时，Y很小D.当T在8s附近时，Y显著增大;当T比8s小得多或大得多时，Y很小7、某同学看到一只鸟落在树枝上的P处，树枝在10s内上下振动了6次，鸟飞走后，他把50g的砝码挂在P处，发现树枝在10s内上下振动了12次.将50g的砝码换成500g砝码后，他发现树枝在15s内上下振动了6次，你估计鸟的质量最接近Bgggg8、一单摆做小角度摆动，其振动图象如图，以下说法正确的是（D）A.时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小B.时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C.时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大D.时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大第二单元单摆、振动中的能量一、单摆1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100．3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。4、单摆的周期：当l、g一定，则周期为定值T=2π，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。5、6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm.【例1】如图为一单摆及其振动图象，回答：（1）单摆的振幅为，频率为，摆长为，一周期内位移x（F回、a、Ep）最大的时刻为．解析：由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3crn．横坐标可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的时间．轴长度就是周期T=2s，进而算出频率f=1/T=，算出摆长l=gT2/4π2=1m·从图中看出纵坐标有最大值的时刻为0．5s末和1．5s末．（2）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是。势能增加且速度为正的时间范围是．解析：图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正．且增大．A处最大，历时1/4周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G．A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，所以是从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1．5—2．0s间摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的过程．在图象中为从O到A，时间范围是0—0．5s间．（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（）A．位移；B．速度；C．加速度；D．动量；E．动能；F．摆线张力解析：过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcosα＋mv2/L也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选B、D．如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？从（1）、（2）、（3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动—一对应起来．（4）当在悬点正下方O/处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且＝¼．则单摆周期为s．比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力．解析：放钉后改变了摆长，因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆线长为lm，所以T左=π=1s：钉右侧的半个周期T右＝π=0．5s，所以T＝T左十T右=1．5s．由受力分析，张力T=mg＋mv2/L，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的1/4．所以挡后绳张力变大．（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？解析：问题的关键要分析在线断的时间，摆球所处的运动状态和受力情况．在最大位移处线断，此时球速度为零，只受重力作用，所以球做自由落体运动．在平衡位置线断，此时球有最大水平速度，又只受重力，所以做平抛运动．【例2】有一个单摆，其摆长l=1．02m，摆球的质量m＝0．1kg，从和竖直方向成摆角θ=40的位置无初速度开始运动（如图所示），问：（1）已知振动的次数n＝30次，用了时间t＝60．8s，重力加速度g多大？（2）摆球的最大回复力多大？（3）摆球经过最低点时速度多大？（4）此时悬线拉力为多大？（5）如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变？为什么？（取sin40＝0．0698，cos40＝0．9976，π＝3．14）【解析】（1）θ＜50，单摆做简谐运动，其周期T=t/n=60．8/30s＝2·027s，根据T=2得，g=4×π×1．02/2．0272=9．791m/s2。（2）最大回复力为F1＝mgsin4o=0．1×9．791×0．0698N＝0．068N（3）单摆振动过程中，重力势能与动能互相转化，不考虑阻力，机械能守恒，其总机械能E等于摆球在最高处的重力势能E，或在最低处的速度v＝=0．219m/s。（4）由T－mg=mv2/L得悬线拉力为T=mg十mv2/L=0．l×10十0．l×0．2l92/1．02＝0．52N（5）秒摆的周期T=2s，设其摆长为L0，根据T=2得，g不变，则T∝即T∶T0=∶故L0=T02L/T2=22×l．02/2．0272=0．其摆长要缩短ΔL＝L—L0＝l．02m—0．993m=0．027m二、振动的能量1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．3、阻尼振动与无阻尼振动（1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．（2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．注意：等幅振动、阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的，等幅振动不一定不受阻力作用．4.受迫振动（1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．（2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．5.共振（1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．(2）条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率．（3)共振曲线．如图所示．【例3】行驶着的火车车轮，每接触到两根钢轨相接处的缝隙时，就受到一次撞击使车厢在支着它的弹簧上面振动起来．已知车厢的固有同期是0．58s，每根钢轨的长是12．6m，当车厢上、下振动得最厉害时，火车的车速等于m／s．解析：该题应用共振的条件来求解．火车行驶时，每当通过铁轨的接缝处就会受到一次冲击力，该力即为策动力．当策动周期T策和弹簧与车厢的国有周期相等时，即发生共振，即T策＝T固＝0．58s………①T策=t=L/v……②将①代入②解得v=L/0．58=21．7m／s答案：21．7m／s规律方法1、单摆的等效问题①等效摆长：如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为CO．②等效重力加速度：当单摆在某装置内向上运动加速度为a时，T＝2π；当向上减速时T=2π，影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位置静止时，摆线的张力T与摆球质量的比值．【例4】如图所示，在光滑导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的线，下端悬挂一个摆球B，质量为m，设B摆小球作小幅度振动，求振动周期。【分析】将2m的A球和m的B球组成系统为研究对象，系统的重心O点可视为单摆的悬点，利用水平方向动量守恒可求出等效摆长。【解析】A和B两物体组成的系统由于内力的作用，在水平方向上动量守恒，因此A和B速度之比跟质量成反比，即vA/vB=mB/mA=1/2．因此A和B运动过程中平均速度/=1/2，亦即位移SA/SB＝1/2。，因为ΔOAA/∽ΔOBB/，则OB/OA＝2/1。300BACO300BACO说明：据动量守恒条件，2m在A位置时，m在B位置，当2m运动到A/时，m运动到B/。【例5】如图所示，三根细线OA,OB,OC结于O点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L，使AOB成一直角三角形，∠BAO=300，已知OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是A、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为：B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为C.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为D.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为解析:当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动，OA和OB绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L十Lsin600/2=L十L/4,其周期为,故选A.拓展:若将上题中的小球改为装满沙子的漏斗，在漏斗摆动的过程中，让沙子匀速的从漏斗底部漏出，则单摆的周期如何变化?(因沙子遂渐漏出，其重心的位置先下移后上升，等效摆长先增加后减小，所以周期先变长后减小）。【例5】在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是（）＋A、T1＞T2＞T3＞T4；B、T1＜T2=T3＜T4＋C、T1＞T2=T3＞T4、；、D、T1＜T2＜T3＜T4【解析】单摆的周期与重力加速度有关．这是因为是重力的分力提供回复力．当单摆处于（1）图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsinθ）沿切向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，周期T1＞T3．对于（2）图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，T2=T3．在（4）图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上升的运动，也就是摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T4＜T3．综上所述，只有C选项正确．点评：对于单摆的周期公式，在摆长不变的条件下，能影响单摆振动的周期的因素就是运动过程中的回复力发生的变化，回复力增大，周期变小，回复力变小，周期变大．这是判断在摆长不变时单摆周期变化的唯一2、摆钟问题单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：【例6】有一摆钟的摆长为ll时，在某一标准时间内快amin。若摆长为l2时，在同一标准时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。【解析】设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的钟周期为T1s，走慢时的周期为T2s，准确的钟周期为T3。不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是Ts。（法一）由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解，对快钟：t＋60a=T；对慢钟：t—60a=T联立解，可得==最后可得L=。（法二）由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：设快钟的ts内全振动次数为nl，慢钟为n2，准确的钟为n。显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故：对快钟：nl＝t/T1＝n＋60a/T＝t/T+60a/T对慢钟：n2＝t/T2＝n－60b/T＝t/T－60b/T联解①②式，并利用单摆周期公式T＝2同样可得L=点窍：对走时不准的摆钟问题，解题时应抓住：由于摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T。3、单摆的综合应用【例7】图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触．现将摆球A在两摆线所在平面向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动．以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（）A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧解析：由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇.因此，不管mA＞mB，还是mA＜mB还是mA＝mB，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确．拓展:两球的碰撞是否是弹性碰撞?【例8】如图所示，两个完全相同的弹性小球1,2，分别挂在长L和L/4的细线上，重心在同一水平面上且小球恰好互相接触，把第一个小球向右拉开一个不大的距离后由静止释放，经过多长时间两球发生第10次碰撞？解析:因将第1个小球拉开一个不大的距离，故摆动过程应符合单摆的周期公式有，,系统振动周期为，在同一个T内共发生两次碰撞，球1从最大位移处由静止释放后．经发生10次碰撞，且第10次碰后球1又摆支最大位移处.【例9】如图所示，AB为半径R=7.50m的光滑的圆弧形导轨，BC为长s＝0.90m的光滑水平导轨，在B点与圆弧导轨相切,BC离地高度h＝1.80m，一质量m1＝0.10kg的小球置于边缘C点，另一质量m2＝0.20kg的小球置于B点，现给小球m1一个瞬时冲量使它获得大小为0.90m/s的水平向右速度，当m1运动到B时与m2发生弹性正碰，g取10m/s2，求：（1)两球落地的时间差Δt；(2)两球落地点之间的距离Δs解析:(1)m1与m2发生弹性正碰，则设碰后m1和m2速度分别为v1/和v2/，有得v1＝一0.3m/s,v'2=0.6m/s可见m1以0.3m/s速度反弹，从B到C,t=s/v1/=3s,m2以0.6m/s速度冲上圆弧轨道，可证明m2运动可近似为简谐运动，在圆弧上运动时间为＝s,再从B到C,t2=s/v2/=则△t＝t2＋T/2一t1=s.(2）利用平抛运动知识不难求得△s＝0.18m.【例10】在长方形桌面上放有：秒表、细绳、铁架台、天平、弹簧秤、钩码，怎样从中选取器材可较为准确地测出桌面面积S？并写出面积表达式．【解析】用细绳量桌面长，并用此绳（包括到钩码重心）、钩码、铁架台做成单摆，由秒表测出其振动周期T1；同理量桌面宽，做单摆，测出周期T2．答案：S=试题展示1、一单摆的摆长为L，摆球的质量为m，原来静止，在一个水平冲量I作用下开始摆动．此后，每当摆球经过平衡位置时，便给它一个与其速度方向一致的冲量I，求摆球经过多长时间后其摆线与竖直方向间的夹角可以达到α？（α≤50，不计阻力，所施冲量时间极短）解析：设摆球经过平衡位置的次数为n，则摆球达最大偏角α时需用时间t=（n—l）十…………①由动量定理和机械能守恒定律得：nI＝mv………②½mv2=mgl（1－cosα）………③单摆周期………④联立①－④式得：2、如图所示，a、b、Co质量相等的三个弹性小球（可视为质点），a、b分别悬挂在L1=1.0m，L2=0.25m的轻质细线上，它们刚好与光滑水平面接触而不互相挤压，ab相距10cm。若c从a和b的连线中点处以v0=5cm/s的速度向右运动，则c将与b和a反复碰撞而往复运动。已知碰撞前后小球c均沿同一直线运动，碰撞时间极短，且碰撞过程中没有机械能损失，碰撞后a和b的摆动均可视为简谐振动。以c球开始运动作为时间零点，以向右为正方向，试在图中画在l0s内C、b两球运动的位移—时间图像，两图像均以各自的初位置为坐标原点。（运算中可认为）【答案】如图3、有几个登山运动员登上一无名高峰，但不知此峰的高度，他们想迅速估测出高峰的海拔高度，但是他们只带了一些轻质绳子、小刀、小钢卷尺、可当作秒表用的手表和一些食品，附近还有石子、树木等，其中一个人根据物理知识很快就测出了海拔高度，请写出测量方法，需记录的数据，推导出计算高峰的海拔高度的计算式．解析:用细线和小石块做一个单摆，量出摆线长L1，并测出单摆周期T1.设小石块重心到细线与小石块的连接处的距离为d，则改变摆线长为L2,测出周期T2，则可得当地重力加速度为又由，得第三单元波的性质与波的图像一、机械波1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波．2、产生条件:(1)有作机械振动的物体作为波源．(2)有能传播机械振动的介质．3、分类:①横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上．质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波。4.机械波的传播过程(1)机械波传播的是振动形式和能量．质点只在各自的平衡位置附近做振动，并不随波迁移．后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。(2）介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同．(3)由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动．二、描述机械波的物理量1．波长λ：两个相邻的，在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长．在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离．在纵波中两相邻的的密部（或疏部）中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率（或周期），波速与波长都发生变化．3．波速：单位时间内波向外传播的距离。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。三、说明:①波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率.波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．波长是质点完成一次全振动所传播的距离,所以波长的长度与波速v和周期T有关．即波长由波源和介质共同决定．由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变．②振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越滞后．沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点的振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的．反之，相距1/2个波长的两质点的振动步调是相反的．所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源的振动同步（同相振动）；与波源相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反（反相振动．）【例1】一简谐横波的波源的振动周期为1s，振幅为1crn，波速为1m／s，若振源质点从平衡位置开始振动，且从振源质点开始振动计时，当t＝0．5s时（）A．距振源¼λ处的质点的位移处于最大值B．距振源¼λ处的质点的速度处于最大值C．距振源½λ处的质点的位移处于最大值D．距振源½λ处的质点的速度处于最大值解析：根据题意，在0．5s内波传播的距离Δx＝vt＝0．5m．即Δx=½λ．也就是说，振动刚好传播到½λ处，因此该处的质点刚要开始振动，速度和位移都是零，所以选项C、D都是不对的，振源的振动传播到距振源¼λ位置需要的时间为T/4=0。25s，所以在振源开始振动0．5s后．¼λ处的质点，振动了0．25s，即1/4个周期，此时该质点应处于最大位移处，速度为零．答案：A四、波的图象（1）波的图象①坐标轴：取质点平衡位置的连线作为x轴，表示质点分布的顺序；取过波源质点的振动方向作为Y轴表示质点位移．②意义：在波的传播方向上，介质中质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移．③形状：正弦（或余弦）图线．因而画波的图象．要画出波的图象通常需要知道波长λ、振幅A、波的传播方向（或波源的方位）、横轴上某质点在该时刻的振动状态（包括位移和振动方向）这四个要素．（2）简谐波图象的应用①从图象上直接读出波长和振幅．②可确定任一质点在该时刻的位移．③可确定任一质点在该时刻的加速度的方向．④若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向．若已知某质点的振动方向，可确定波的传播方向．⑤若已知波的传播方向，可画出在Δt前后的波形．沿传播方向平移Δs=vΔt.规律方法1、机械波的理解【例2】地震震动以波的形式传播，地震波有纵波和横波之分。（1）图中是某一地震波的传播图，其振幅为A，波长为λ，某一时刻某质点的坐标为（λ，0）经1/4周期该质点的坐标是多少？该波是纵波还是横波。A．纵波（5λ/4．0）B．横波（λ，－A）C．纵波（λ，A）D．横波（5λ/4．A）（2）若a、b两处与c地分别相距300km和200km。当C处地下15km处发生地震，则A．C处居民会感到先上下颠簸，后水平摇动B．地震波是横波C．地震波传到a地时，方向均垂直地面D．a、b两处烈度可能不同解析:（1）由题图知，该地震波为横波，即传播方向与振动方向垂直。某质点的坐标（λ，0）即为图中a点，经1/4周期，a点回到平衡位置下面的最大位移处，即位移大小等于振幅，坐标为（λ，－A），（水平方向质点并不随波逐流）。故答案为B（2）由于地震波有横波、纵波之分，二者同时发生，传播速度不同而异，传到a、b两处，由于距离，烈度也当然不同。故答案为A、D。【例3】1999年9月台湾南投地区发生了里氏7．4级大地震，已知地震中的纵彼和横波在地表附近的传播速度为9．1km／s和3．7km／s，在某地的观测站中，记录了南投地震的纵波和横渡到达该地的时间差5．4S．（1）求这个观测站距南投的距离．（2）观测站首先观察到的是上下振动还是左右晃动？解析：（1）设观测站距南投的距离为S，则－=t，s=t=34km（2）因为纵波先到观测点，因而先观察到的是左右晃动。2、质点振动方向和波的传播方向的判定（1）在波形图中，由波的传播方向确定媒质中某个质点（设为质点A）的振动方向（即振动时的速度方向）：逆着波的传播方向，在质点A的附近找一个相邻的质点B．若质点B的位置在质点A的负方向处，则A质点应向负方向运动，反之。则向正方向运动如图中所示，图中的质点A应向y轴的正方向运动（质点B先于质点A振动．A要跟随B振动）．（2）在波形图中．由质点的振动方向确定波的传播方向，若质点C是沿Y轴负方向运动，在C质点位置的负方向附近找一相邻的质点D．若质点D在质点C位置X轴的正方向，则波由X轴的正方向向负方向传播：反之．则向X轴的正方向传播．如图所示，这列波应向X轴的正方向传播（质点c要跟随先振动的质点D的振动）具体方法为：①带动法：根据波的形成，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理，在被判定振动方向的点P附近（不超过λ/4）图象上靠近波源一方找另一点P/，若P/在P上方，则P/带动P向上运动如图，若P/在P的下方，则P/带动P向下运动．②上下坡法：沿着波的传播方向走波形状“山路”，从“谷”到“峰”的上坡阶段上各点都是向下运动的，从“峰”到“谷”的下坡阶段上各点都是向上运动的，即“上坡下，下坡上”③微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动Δx＝v·Δt＜λ/4，则可判定P点沿y方向的运动方向了．反过来已知波形和波形上一点P的振动方向也可判定波的传播方向．【例4】如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在X轴上的距离s=30m，波沿x轴正方向传播，当a振动到最高点时b恰好经过平衡位置，经过3s，波传播了30m，并且a经过平衡位置，b恰好到达最高点，那么．A．这列波的速度一定是10m／sB．这列波的周期可能是0．8sC．这列波的周期可能是3sD．这列波的波长可能是24m解析：因波向外传播是匀速推进的，故v＝ΔS／Δt=10m/s，设这列波的振动周期为T，由题意知经3s，a质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3（n=1，2……）另由v=λ/T得波长λ=，（n＝0，1，2……）在n＝2时，对应的波长λ＝24m；在n＝7时，T＝0．8s．故选项A、B、D正确．答案：ABD点评：本题在写出周期T的通式时即应用了“特殊点法”，对a质点，同波峰回到平衡位置需T／4时间，再经T/2又回到平衡位置……，这样即可写出T的通式．当然，若考虑质点b，也能写出这样的通式（同时须注意到开始时b恰好经过平衡位置，包括向上通过平衡位置和向下通过平衡位置这两种情况）．【例5】一列波在媒质中向某一方向传播，图所示的为此波在某一时刻的波形图，并且此时振动还只发生在M、N之间．此列波的周期为T，Q质点速度方向在波形图中是向下的，下列判断正确的是（）波源是M，由波源起振开始计时，P质点已经振动的时间为T；B．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3T／4C．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4。D．波源是M，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4解析:若波源是M，则由于Q点的速度方向向下，在Q点的下向找一相邻的质点，这样的质点在Q的右侧，说明了振动是由右向左传播，N点是波源，图示时刻的振动传到M点，P与M点相距λ／4，则P点已经振动了T／4．故C选项正确。点评：本题关键是由质点的运动方向确定波的传播方向，从而确定波源的位置．【例6】如图所示，O为上下振动的波源，振动频率为100Hz，它P所产生的横波同时向左、向在传播．波速为80m／s，M、N两质点距波源的距离分别为OM＝17．4m，ON＝16．2m，当波源通过平衡位置向上振动时，M、N两质点的位置分别为（）A．M点在波峰，N点在波谷；B．M、N两点均在波峰C．N点在波峰，M点在波谷；D．M、N两点均在波谷解析:由题意可知该列波的波长为λ＝v／f＝80／100m＝0．8m．M、N两点与波源的距离分别为OM＝＝（21＋3／4）λ，ON=＝（20＋l／4）A．这说明M、N两点为反相点，当波源O在平衡位置向上振动时波形图如图所示，图中的P点与M点是同相点，Q点与N点是同相点，所以M在波峰，N点在波谷，A选项正确点评：本题关键有两点：当波源O由平衡位置向上运动时，波源两侧的质点的波形图的形状，也就是确定如图的波形图（O两侧相邻的质点均追随O点向上运动且在O点的下方）；在O点的附近寻找M、N两点的同相点P、Q。3．已知波速V和波形，画出再经Δt时间波形图的方法．（1）平移法：先算出经Δt时间波传播的距离上Δx＝V·Δt，再把波形沿波的传播方向平移动Δx即可．因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移nλ时波形不变，当Δx=nλ十x时，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可（2）特殊点法：（若知周期T则更简单）在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt＝nT＋t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别做出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形．【例7】图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后的空间波形图。解析:由波形图已知λ=0.08m,由T=λ/v=4=,经过t=,即相当于=个周期,而每经过一个周期,波就向前传播一个波长。经过个周期，波向前传播了个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而原有波形不会发生改变,所以可以先画出经过1/2周期后的波形，如图。再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图。【例8】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知波速v=0.5m/s，画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。0x/my解析：λ=2m，v=0.5m/s，=4s.所以⑴波在7s内传播的距离为x=vt=3.5m=7λ0x/my方法1波形平移法：现有波形向右平移可得7s后的波形；现有波形向左平移λ可得7s前的波形。由上得到图中7s后的瞬时波形图（粗实线）和7s前的瞬时波形图（虚线）。方法2特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。【例9】一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值（）A．1个

B．2个C．3个

D．4个解析：由题意：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。AACBD【例10】一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P和Q的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P点离振源较Q点近，则该波的波长值可能为多少？若Q点离振源较P点近，则该波的波长值又可能为多少？分析：由图可知，T=4s，P近，波由P向Q传，P先振动，Q后振动，t=Kt+3T/4，所以，SPQ=k+3/4，则k=0，1，2若Q近，波由Q向P传，Q先振动，P后振动，t=Kt+T/4，所以，SPQ=k+/4，则k=0，1，24．已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移．求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函数较复杂．但Δt若为半周期T/2的整数倍则很容易．在半周期内质点的路程为2A．若Δt=n·T/2，n＝1、2、3……，则路程s=2A·n，其中n=．当质点的初始位移（相对平衡位置）为x1＝x0时，经T/2的奇数倍时x2=－x0，经T/2的偶数倍时x2＝x0．·P·Q【例11】如图所示,在xOy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐振动横波,波速为1m/s,振幅为4cm,频率为·P·QA、在时的位移是4cm;B、在时的速度最大;C、在时的速度向下;D、在0到的时间内路程是4cm;解析:,P与Q相距λ/2,先画出若干个波长的波形,经过也就是T/4后,Q点将回到平衡位置,且向上运动,B项正确;在0到时间内通过的路程为振幅,即4cm,D项正确拓展:若求经Δt=时Q的路程和Q的位移,如何求?试题展示1、.一列简谐横波沿x轴传播，周期为T，t=0时刻的波形如图所示.此时平衡位置位于x=3m处的质点正在向上运动，若a、b两质点平衡位置的坐标分别为xa=2.5m,xb=5.5m,则A.当a质点处在波峰时，b质点恰在波谷=T/4时，a质点正在向y轴负方向运动=3T/4时，b质点正在向y轴负方向运动D.在某一时刻，a、b两质点的位移和速度可能相同答案：C解析：由图可看出波长为4m，t=0时刻x=3m处的质点向上振动，可得该波向左传播。将整个波形图向左平移1.5m时，a质点到达波峰，此时b质点正好在平衡位置，与t=0时刻平衡位置在7m处的质点振动状态一样，故a质点到达波峰时，b质点正在平衡位置并向上振动，A错；将图像整体向左平移1m，即波传播T/4时，a的振动状态与与t=0时刻平衡位置在3.5m处的质点振动状态一样，即处在平衡位置上方并向y轴正方向运动，B错；将图像整体向左平移3m，即波传播3T/4时，a的振动状态与与t=0时刻平衡位置在9.5m处和1.5m的质点振动状态一样，即处在平衡位置下方并向y轴负方向运动，C对；a、b质点相隔3m，即相差3T/4，速度相同的质点应该在半周期内才会出现，故D错。2、一列简谐横波沿x轴正方向传播，振幅为A。t=0时，平衡位置在x=0处的质元位于y=0处，且向y轴负方向运动；此时，平衡位置在x=0.15m处的质元位于y=A处．该波的波长可能等于A．0.60mB．0.20mC．0.12mD答案：AC 解析：因为波沿正方向传播，且x=0处质点经平衡位置向y轴负方向运动，故此时波形图为正弦函数图像，则x=0.15m＝，当n=0时，，A项正确；当n=1时，，C项正确；当n3时，，D项错。3、下列关于简谐振动和简谐机械波的说法正确的是（）A.弹簧振子的周期与振幅有关B.横波在介质中的传播速度由介质本身的性质决定C.在波传播方向上的某个质点的振动速度就是波的传播速度D.单位时间内经过媒质中一点的完全波的个数就是这列简谐波的频率答案：BD4、．有两列简谐横波a、b在同一媒质中沿x轴正方向传播，波速均为v＝2.5m/s。在t＝0时，两列波的波峰正好在x＝2.5m处重合，如图所示。（1）求两列波的周期Ta和Tb。（2）求t＝0时，两列波的波峰重合处的所有位置。（3）辨析题：分析并判断在t＝0时是否存在两列波的波谷重合处。 某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在。只要找到这两列波半波长的最小公倍数，……，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置。 你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置。若不正确，指出错误处并通过计算说明理由。解析：（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λa＝2.5m，λb＝4.0m，因此它们的周期分别为s＝1s s＝（2）两列波的最小公倍数为 S＝20mt＝0时，两列波的波峰生命处的所有位置为 x＝（）m，k＝0，1，2,3，……（3）该同学的分析不正确。要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的厅数倍恰好相等的位置。设距离x＝2.5m为L处两列波的波谷与波谷相遇，并设L＝（2m－1） L＝（2n－1），式中m、n均为正整数只要找到相应的m、n即可将λa＝2.5m，λb＝4.0m代入并整理，得由于上式中m、n在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。5、如图所示，位于介质I和II分界面上的波源S，产生两列分别沿x轴负方向与正方向传播的机械波。若在两种介质中波的频率及传播速度分别为f1、f2和v1、v2，则CLLxⅠⅡA．f1＝2f2，vLLxⅠⅡB．f1＝f2，v1＝C．f1＝f2，v1＝2v2D．f1＝0.5f2，v1＝v6、一列在竖直方向振动的简谐横波，波长为，沿正方向传播，某一时刻，在振动位移向上且大小等于振幅一半的各点中，任取相邻的两点P1、P2，已知P1的x坐标小于P2的x坐标。A.若P1P2<，则P1向下运动，P2向上运动B.若P1P2<，则P1向上运动，P2向下运动C.若P1P2>，则P1向上运动，P2向下运动D.若P1P2>，则P1向下运动，P2向上运动[答案]：A、C7、声波属于机械波。下列有关声波的描述中正确的是（C） A．同一列声波在各种介质中的波长是相同的 B．声波的频率越高，它在空气中传播的速度越快 C．声波可以绕过障碍物传播，即它可以发生衍射 D．人能辨别不同乐器同时发出的声音，证明声波不会发生干涉8、两个不等幅的脉冲波在均匀介质中均以1.0m/s的速率沿同一直线相向传播，t=0时刻的波形如图所示，图中小方格的边长为0.1m。则以下不同时刻，波形正确的是(ABD)专题：振动图像与波的图像及多解问题一、振动图象和波的图象振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：振动图象波动图象研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律图线物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移图线变化随时间推移图延续，但已有形状不变随时间推移，图象沿传播方向平移一完整曲线占横坐标距离表示一个周期表示一个波长【例1】如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象（1）说出两图中AA/的意义？（2）说出甲图中OA/B图线的意义？（3）求该波速v=？（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是P质点在0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．（2）甲图中OA/B段图线表示O到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．（3）甲图得波长λ＝4m，乙图得周期T＝1s所以波速v=λ/T=4m/s（4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14m＝（3十½）λ所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6——28所示（5）求路程：因为n==7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．【例2】如图所示，（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是该列波的波速度为4m／s；B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播C、该列波的频率可能为2Hz；D．若P点的坐标为xp＝4m，则该列波沿x轴负方向传播；解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp＝4m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向二、波动图象的多解波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．1.波的空间的周期性沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt=x/v=xT0/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相同．因此，在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断重复出现，这就是机械波的空间的周期性．空间周期性说明，相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同．2.波的时间的周期性在x轴上同一个给定的质点，在t+nT时刻的振动情况与它在t时刻的振动情况（位移、速度、加速度等）相同．因此，在t时刻的波形，在t+nT时刻会多次重复出现．这就是机械波的时间的周期性．波的时间的周期性，表明波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波的图象相同．3.波的双向性双向性是指波沿正负方向传播时，若正、负两方向的传播时间之和等于周期的整数倍，则沿正负两方向传播的某一时刻波形相同．4.介质中两质点间的距离与波长关系未定在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定，就会形成多解，解题时若不能联想到所有可能情况，易出现漏解．5.介质中质点的振动方向未定在波的传播过程中，质点振动方向与传播方向联系，若某一质点振动方向未确定，则波的传播方向有两种，这样形成多解．说明：波的对称性：波源的振动要带动它左、右相邻介质点的振动，波要向左、右两方向传播．对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同．【例3】一列在x轴上传播的简谐波，在xl=10cm和x2=110cm处的两个质点的振动图象如图所示，则质点振动的周期为s，这列简谐波的波长为cm．【解析】由两质点振动图象直接读出质点振动周期为4s．由于没有说明波的传播方向，本题就有两种可能性：（1）波沿x轴的正方向传播．在t＝0时，x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，也就x2一x1＝（n十1/4）λ，λ=400/（1十4n）cm（2）波沿x轴负方向传播．在t＝0时．x1在正最大位移处，x2在平衡位置并向y轴的正方向运动，那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性，x2一x1＝（n十3/4）λ，λ=400／（3＋4n）cm4x/4x/my0【例4】如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过时的波形图象。求：①波传播的可能距离②可能的周期（频率）③可能的波速④若波速是35m/s，求波的传播方向⑤若小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。解析：①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m（n=0、1、2…）向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m（n=0、1、2…）②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=/（4n+3）（n=0、1、2…）向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=/（4n+1）（n=0、1、2…）③计算波速，有两种方法。v=x/t或v=λ/T向左传播时，v=x/t=（4n+3）/=（20n+15）m/s.或v=λ/T=4（4n+3）/=（20n+15）m/s.（n=0、1、2…）向右传播时，v=x/t=（4n+1）/=（20n+5）m/s.或v=λ/T=4（4n+1）/=（20n+5）m/s.（n=0、1、2…）④若波速是35m/s，则波在内传播的距离为x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。⑤若小于一个周期，说明波在内传播的距离小于一个波长。则：向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=；波速v=5m/s.点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。【例5】如图所示，一列简谐横波在t1时刻的波形，如图甲所示，质点P在该时刻的振动速度为v，t2时刻质点P的振动速度与t1时刻的速度大小相等，方向相同；t3时刻质点P的速度与t1时刻的速度大小相等，方向相反．若t2－t1＝t3—t2＝0．2秒，求这列波的传播速度．解析：从振动模型分析，若质点P从t1时刻开始向平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图乙所示．考虑到振动的周期性，则有：t2—t1＝（n＋1／4）Tn＝0，1，2……周期为：T=（t2一t1）／（n十1/4）n＝0，1，2……由公式：v＝λ／T得出速度v的通解为：v＝20（n＋l／4）n=0，1，2……方向向左．若质点P从t1时刻开始背离平衡位置方向振动，在一个周期内，从t1时刻到t2时刻，从t2时刻到t3时刻，对应的振动图象如图丙所示．考虑到振动的周期性，则有：t2—t1＝（n＋3／4）Tn＝0，1，2……周期为：T=（t2一t1）／（n十3/4）n＝0，1，2……由公式：v＝λ／T得出速度v的通解为：v＝20（n＋3／4）n=0，1，2……方向向右．答案：v＝20（n＋l／4）（n＝0，1，2……）方向向左．或v＝20（n＋3／4）（n＝0，1，2，……）方向向右123456789QRPx/cms/mO【例6】已知在t1时刻简谐横波的波形如图中实线所示；在时刻t2该波的波形如图中虚线所示。t2123456789QRPx/cms/mO⑵若已知T<t2-t1<2T，且图中P质点在t1时刻的瞬时速度方向向上，求可能的波速。⑶若<T<，且从t1时刻起，图中Q质点比R质点先回到平衡位置，求可能的波速。解：⑴如果这列简谐横波是向右传播的，在t2-t1内波形向右匀速传播了，所以波速=100(3n+1)m/s(n=0,1,2,…)；同理可得若该波是向左传播的，可能的波速v=100(3n+2)m/s(n=0,1,2,…)⑵P质点速度向上，说明波向左传播，T<t2-t1<2T，说明这段时间内波只可能是向左传播了5/3个波长，所以速度是唯一的：v=500m/s⑶“Q比R先回到平衡位置”，说明波只能是向右传播的，而<T<，也就是T<<2T，所以这段时间内波只可能向右传播了4/3个波长，解也是唯一的：v=400m/s【例7】一列横波沿直线在空间传播，某一时刻直线上相距为d的M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰，若经过时间t，N质点恰好到达波峰位置，则该列波可能的波速是多少？分析与解：本题没有给定波的传播方向，仅告诉我们在某一时刻M、N两点均处在平衡位置，且M、N之间仅有一个波峰．由此我们可以推想，处在直线MN上的各个质点在该时刻相对平衡位置的位移可能会有以下四种情况，即波的图像有以下四种图形（如图中A、B、C、D图，各图中均为左端为M，右端为N）：若波的传播方向由M到N，那么：AACBD在A图中，经过时间t，N恰好到达波峰，说明时间t内波向右前进的距离，且