山东省临沂市2019届高三数学模拟考试试题理（含解析）

2019年普通高考模拟考试

理科数学

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4=卜何」<1},5={-2,-1,0,1,2,3},则AB=()

A.{1}B.{1,2}C.{-2,-1,0,1}D.{-2}

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求得集合A,然后进行交集运算即可.

【详解】求解对数不等式可得A={x[0<x<e},

结合题意和交集的定义可知：A8={1,2}.

故选：B.

【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和

计算求解能力.

2.已知复数z满足(z7)i=2+i,则口=()

A.>/2B.V3C.V5D.V10

【答案】A

【解析】

【分析】

首先求得复数z,然后求解其共筑复数并确定模即可.

【详解】由题意可得：z=2±I+i=-2i+l+i=l—i,

i

则5=1+胴=及.

故选：A.

【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

3.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机

的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态.根据该折

线图，下列结论正确的个数为（）

r亿美元

80

70

50.763J

60

50

40

30

20

1()

20102011201220132014201520162017201tH年)

f按营收划分之全球连接器巾场规模

①每年市场规模量逐年增加；

②增长最快的一年为2013~2014；

③这8年的增长率约为40%；

©2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更

小，变化比较平稳

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可.

【详解】考查所给的结论：

①2011-2012年的市场规模量有所下降，该说法错误；

②增长最快的一年为2013〜2014,该说法正确；

635-453

③这8年的增长率约为:.“40%,该说法正确；

@2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更

小，变化比较平稳，该说法正确.

综上可得：正确的结论有3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.

x-2<0,

4.己知x，y满足约束条件<y-2«0,，则z=2x+y的最大值与最小值之和为（）

x+y—2>0,

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可.

【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，

目标函数即：y=-2x+z,

其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点8（2,2）处取得最大值,

据此可知目标函数的最大值为：Zgx=2x2+2=6,

其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，

据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，

联立直线方程：］可得点的坐标为：A（0,2）,

据此可知目标函数的最小值为：Zmin=2x0+2=2.

综上可得：z=2x+y的最大值与最小值之和为&

故选：C.

【点睛】求线性目标函数2=@才+勿(仍W0)的最值，当6>0时，直线过可行域且在y轴上

截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当6<0时，直线过可行域且在y

轴上截距最大时，z值最小，在了轴上截距最小时，z值最大.

5.从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概

率为()

2525

A.—B.-C.-D.一

7799

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.

【详解】能组成两位数有：10,12,13,20,21,23,30,31,32,总共有9种情况.

其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为〃=焉.

故选：D.

【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.

6.函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设

〃(x)=|/(x+l)|+g(x+l)，则下列结论中正确的是()

A./，(力的图象关于(LO)对称B.〃(力的图象关于(-1,0)对称

C.力(力的图象关于x=l对称D.人(力的图象关于8=-1对称

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数〃(x)的性质

【详解】首先考查函数"(x)=|/(x)|+g(x),

其定义域为R，且"(一x)=|/(-x)|+g(-x)=|/(x)|+g(x)="(x),

则函数”(x)为偶函数，其图像关于)'轴对称，

将H(x)的图像向左平移一个单位可得函数〃(》)="(》+1)=|/(》+1)|+8(X+1)的图

像，

据此可知〃(x)的图象关于x=-1对称.

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献.他所创立的

秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法.用秦九韶算法是将

/(X)=2019吠8+2018—7+2017%刈6+…+2x+l化为

/(x)=(…((2019x+2018x)x+2017)x+...+2)x+l再进行运算，在计算/(%)的值

时，设计了如下程序框图，则在◊和中可分别填入()

A.〃22和S=%+〃B.〃22和5=必)+"-1

C.〃21和S=Sx0+nD.和5=胱+〃-1

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可.

【详解】由题意可知，当,=1时程序循环过程应该继续进行，〃=0时程序跳出循环，故

判断框中应填入n＞\,

由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：S=S/+〃，

故选：C.

【点睛】本题主要考查流程图问题，流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生

的转化能力和计算求解能力.

8.在A4BC中，5=45°,。是边上一点，AD=而，AC=4,DC=3,则AB的

长为（）

A.述B.巫C.373D.2n

22

【答案】D

【解析】

【分析】

首先求得cosC的值，然后利用正弦定理解三角形即可.

【详解】由题意，在中，由余弦定理可得：cosC=2+l?-3二,则sinc=x5,

2x3x422

AB4

AAf''---=----

在△ABC中，由正弦定理可得：——即：G&，

sinCsinB————

22

据此可得：AB=2y/6-

故选：D.

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

9.若双曲线（7:，一==1（。＞0,。＞0）的一条渐近线被圆一+（丫一2）2=2所截得的弦

长为2,则双曲线。的离心率为（)

A.73B.2

C.逐D.2石

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心

率.

【详解】设圆心到直线的距离为d,由弦长公式可得：2jT^=2,解得：d=l,

双曲线的渐近线方程为：bx±ay=Q,圆心坐标为（0,2）,

|0±2a|2ac

故：\1=1,即：——=1,双曲线的离心率e=-=2.

yja2+b2ca

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意

在考查学生的转化能力和计算求解能力.

10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（)

A.2B.y/jC.—D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】

首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可.

【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为/•=g,高

h=1,

故俯视图是一个腰长为2,顶角为120的等腰三角形，

易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2,顶角的范围为（0,120],

设顶角为。，则截面的面积：S='x2x2xsine=2sin6,

2

当夕=90时，面积取得最大值2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考

查学生的转化能力和计算求解能力.

11.若函数/(%)=/一处在((),+8)上单调递减，则出的取值范围为()

飞)「41「2、

A.-,+ooB.—,+ooC.-,+℃D.

)Le)LeJ

-1)

-,+oo

一e)

【答案】c

【解析】

【分析】

将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数A的取值范围.

【详解】由函数的解析式可得：f\x)=2x-kex,

函数在(0,+8)上单调递减，则/'(x)<0恒成立，即：2x-kex<0,

据此可得:k>丁恒成立,

令g(x)=4(x>0),则g〈x)=U»，

ee

故函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(l,xo)上单调递减,

22

函数g(x)的最大值为g(l)=],由恒成立的结论可得：k>-,

表示为区间形式即

故选：C.

【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法

等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

12.已知函数/(乃=5足(2%一看)，若方程/(x)=|的解为内，马(0<x,<x2<71),

则5皿司一动=()

A34V26

5533

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和

诱导公式即可确定sin（X1-±）的值.

【详解】函数〃x）=sin2x-g的对称轴满足：2x-5=k»+W（%GZ）,

\6762

即x=1■万+（（左eZ）,令Z=0可得函数在区间（0,4）上的一条对称轴为x=（,

结合三角函数的对称性可知玉+々=|■］，则:

3rC,，万n7万

由题意：sin2x,————,且0<%</<乃，故--<M<一<Xy<----,

I-6；5-1213*12

JTJT4

-<2X-—<7T,由同角三角函数基本关系可知：cos

2-265

故选：B.

【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能

力和计算求解能力.

二、填空题.

13.已知向量匕满足：忖=3,忖=4,+q=贝！）|“一切=

【答案】3

【解析】

【分析】

由题意结合平行四边形的性质可得,-匕|的值.

【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：

2（,［+愀］=,+61+,一/?『，即：2（32+42）=（V41）-+|«-/?|2-

据此可得：卜-4=3.

【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力

和计算求解能力.

14.己知函数/(x)=log“(x-l)-l(a>0,且awl)的图象恒过点A,若点A在角a的

终边上，则cos2a-sin2a=.

【答案】I

【解析】

【分析】

首先确定点力的坐标，然后由三角函数的定义求得sin。,cosa的值，最后结合二倍角公式

可得三角函数式的值.

【详解】由函数的解析式可知点力的坐标为4(2,—1),

12

由三角函数定义可得:sina忑cosa=-y=,

故cos2a-sin%=(co52a-sin2a)-sir)2a=|----——-

,71555

【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知

识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15.在［1+2—尤)的展开式中，V项的系数为

【答案】40

【解析】

【分析】

由题意利用排列组合的性质可得/项的系数.

【详解】由题中的多项式可知，若出现可能的组合只有:1'(TV和图X(-X)4

X

结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得/系数为:

C^xl3x2°x(-l)3+C^xrxC>2lx(-l)4=40.

【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.

16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,直线/与。交于A,3两点，AFLBF,

线段AB的中点为“，过点M作抛物线。的准线的垂线，垂足为N,则的最小值

\MN\

为

【答案】近

【解析】

【分析】

由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.

【详解】如图所示，设抛物线的准线为/，作AQJ./于点。，BP上I于点P,

由抛物线的定义可设：|AF|=|A。=名忸F|=|明=匕,

由勾股定理可知：|AB|=yj\AFf+\BFf=y/a2+b2，

由梯形中位线的性质可得：|MN|=g2,

则：吗=耳之松M二"

\MN\a+ba+b

当且仅当a=b时等号成立.

即\局AB的\最小值为「&•

\MN\

【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛g/满足4=1，4用=4—2"+2.

(1)判断数列｛4,+2"｝是否为等差数列，并说明理由；

(2)记S”为数列｛4｝的前〃项和，求S..

【答案】(1)见解析；(2)S„=n2+2n-2"+l+2

【解析】

【分析】

(1)由题意结合等差数列的定义和数列的递推关系即可确定数列为等差数列；

(2)结合(1)中的结论首先确定数列｛%｝的通项公式，然后分组求和确定其前〃项和即可.

【详解】(1)Van+t=a„-2"+2,

用+2向)—(/+2")=2,

数列(«„+2"｝为公差为2的等差数列

(2);4=1,q+2=3,由(1)可得：4+2"=3+2(〃-1)=2〃+1,

/•cin—2力—2"+1,

.\S„=2(14-2+3++n)-(2+22+23++2")+〃，.

2x①一U+〃

21-2

=/?2+2rt-2n+'+2

【点睛】本题主要考查由递推关系式证明数列为等差数列的方法，分组求和的方法等知识,

意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

18.如图，己知矩形43co中，AB=2AO=2,点E是C。的中点，将ABEC沿5E折起

到ABEC'的位置，使二面角--C是直二面角.

(1)证明:BC'JL平面AEC'；

(2)求二面角C'-A8—E的余弦值.

【答案】(1)见证明；(2)必

3

【解析】

【分析】

(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；

(2)由几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，分别求得两个半平面的法向量，利用所

得的法向量整理计算可得二面角的余弦值.

【详解】(1)•.•AB=2AO=2,点E是CO的中点，

：.^ADE,A8CE都是等腰直角三角形，

ZAEB=90°,即AEJ.BE..

又•..二面角C-BE-C是直二面角，即平面CEBJ■平面43E,

平面C'EBc平面=BE,AEu平面ABE,

；•AEJ_平面C'EB,

又：BC'u平面C'BE,

BC±AE,

又,：BC'LEC',EC'u平面AEC',AEcEC=E,

：.BC±平面AEC'.

(2)如图，取BE的中点。，连接C'。，

•：C'B=C'E,：.C'O±BE,

"：平面C'EB±平面ABE，平面CEBc平面ABE=BE,

COu平面C'EB,

...C'OJ•平面/WE,

过。点作。/AE,交AB于产，

,：AE1EB,OFYOB,

以。尸，OB,OC所在直线为X轴、y轴、z轴，建立如图所示坐标系。一到Z,

则0(0,0,0),A0,一拳,0,B0,3,0,C0,0,T

<27I2JI2>

八,。图

—\CB=[o,—\0C

2)I22J2

设”=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量，则

近x*y*z=G

nCA=022

「「,取y=z=l,则x=l,...”=(1,1,1),

n-CB血夜八

----y-----z=0

又C'OJ_平面"E,...m=。。=0,0,—为平面ME'的一个法向量，

I2J

所以cos<m,〃>==」=走,即二面角C'—A3-E的余弦值为由.

\m\-\n\V333

【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方

程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.

(2)设机,〃分别为平面。，£的法向量，则二面角，与(机〃，互补或相等.求解时一定要

注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.

19.已知椭圆C：，+*l(a>6>0)的离心率为*，且与抛物线丁='交于“，N

两点，AOMN(。为坐标原点)的面积为2J5.

(1)求椭圆。的方程;

(2)如图，点A为椭圆上一动点(非长轴端点)耳,鸟为左、右焦点，A5的延长线与

椭圆交于8点，A。的延长线与椭圆交于。点，求A4BC面积的最大值.

22

【答案】⑴土+匕=1⑵472

84

【解析】

【分析】

(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；

(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达

定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.

22

【详解】(1)椭圆。：3+方=1(4>/;>0)与抛物线V=x交于M,N两点，

可设M(x,6)，N(x,—y[x)>

的面积为2夜,

:•x&=2叵，解得x=2,M(2,扬，N(2,-扬,

£=2/2

a2

42

由已知得<—5~+乒=1,解得Q=2、/2，b=2,c=2,

22

椭圆C的方程为土+二=1.

84

（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A（2,J5），B（2,-V2）,C（-2,r伤），故

AABC=-X2>/2X4=4V2；

2

②当直线4B的斜率存在时，设直线的方程为丫=M》-2）,A（玉,y）,3（力）,

y^k（x-l）

联立方程9化简得（2人-+1）厂—8k~x+8左~—8=（）,

----1----=1

84

则△=64k2_4（2二+川8左2-8）=32（/+1）>0,

8公8/一8

公+1

=4V2,

2公+1

点0到直线kx-y-2k^0的距离d

4伙|

因为。是线段AC的中点，所以点C到直线A8的距离为2d

J/?+1

/k2（k2+\）

S^BC=，W2d4万

（2左2+1）2

公（F+l）_公卜2+］）%2k2+1）1

又公7二+1，所以等号不成立.

（242+1）2［左2+优2+］）『，，彳&2（炉+］）4

综上，AA8C面积的最大值为40.

【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件：

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题.

20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A、3两个专业的大学

本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在

3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：

月薪（百

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

元）

人数203644504010

将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，

巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的2x2列联表，并通过计算判断，是否能在犯

错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关？

非高薪收入群体高薪收入群体合计

A专业

B专业20110

合计

（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X（单位：百元）近似地服从正

态分布N（〃,196）,其中〃近似为样本平均数最（每组数据取区间的中点值）.若X落在

区间（〃-2。,〃+2。）的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联

系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导.

①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；

②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低

于〃的获赠两次随机话费，月薪不低于〃的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z及对应

的概率分别为：

赠送话费Z(单位：

60120180

元)

£]_j_

概率

236

则李阳预期获得的话费为多少元？

附：K2=------------,其中，n^a+b+c+d.

[a+h)[b+c)[c+d)[b+d)

【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②见解析

【解析】

【分析】

(1)首先写出列联表，然后计算R2的值给出结论即可；

(2)由题意求得〃-2b的值然后判定学生就业是否理想即可；

由题意首先确定Z可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期望可

得其预期获得的话费.

【详解】⑴列出列联表如下：

非高薪收入群体高薪收入群体合计

A专业603090

8专业9020110

合计15050200

200x(60x20-30x90)2200

K2»6.061>5.024,

150x50x90x110-33

所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关.

(2)①月薪频率分布表如下：

月薪（百

[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)

元）

人数203644504010

频率0.10.180.220.250.20.05

将样本的频率视为总体的概率，该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为:

=35x0.1+45x0.18+55x0.22+65x0.25+75x0.2+85x0.05=59.2,

1,月薪X~N(〃,196),/=196,f=14,

.•.〃-2b=59.2—28=31.2,

2018届大学本科毕业生李某的月薪为3500元=35百元＞〃-2b=31.2百元，故李阳不属

于“就业不理想”的学生；

②由①知〃=59.2百元=5920元，故李阳的工资为3500元，低于〃，可获赠两次随机话

费，所获得的话费Z的取值分别为120,180,240,300,360,

P(Z=120)=1xl=l,P(Z=180)=C；xgx；=；

P(Z=240)」xLc；xf=』,

3322618

11

P(Z=300)=C；X—X—

369

P(Z=360)=-xi1

6636

故Z的分布列为:

Z120180240300360

j_j_51

P

4318936

则李阳预期获得的话费为Ey=120x!+180x1+240x2+300x』+360x」-=200

4318936

（元）.

【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算

等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

21.已知函数/(x)=

x-2mx+\

(1)若加6(-1,1),求函数“X)的单调区间；

⑵若机,则当xe[0,2m+l]时，函数y=/(%)的图象是否总在不等式N“所

表示的平面区域内，请写出判断过程.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；

(2)将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果

是否成立.

【详解】(1)解：•根.,.△=4〃?2一4<0，=2mr+l>0恒成立，

•••函数定义域为R,

v2

,e(X?—2mx+1)-e'(2x-2rn)e^x-(2m+2)x+2m+1]

/(%)=-

(J-2771X+1)

e”(x—l)(x-2m-I)

_27nx+1)

①当机=0时，即2机+1=1,此时尸(x)…0,Ax)在R上单调递增,

②当0<m<1时，即1<2m+1<3,

XG(—8,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

%€(1,2m+1)时，f'(x)<0,/(无)单调递减，

xe(2〃z+l,+8)时，f'(x)>0,/(x)单调递增；

③-1<m<0时，即—1<2加+1<1时，

xe(T»,2/〃+l),f'(x)>0,f(x)单调递增，

xw(2m+l,I)时，/'(x)<0,/(x)单调递减,

XG（l,+o>）,r（x）>0,f（x）单调递增，

综上所述，①机=0时，Ax）在R上递增，

②0<〃?<1时，②x）在（-8,1）和（2m+l,+oo）上递增,在。,2加+1）上递减;

③一1（加<0时，f（x）在（—8,2m+1）和（1,+8）上递增，在（2m+1,1）上递减.

（2）当时，由（1）知/（X）在［0,1］递增，在递减，

令g（x）=x,则g（x）在R上为增函数，

函数y=/（X）的图象总在不等式y>X所表示的平面区域内，等价于函数/（X）图象总在

g（x）图象的上方，

①当XG［0,l］时，八初血=/（0）=1,g（x）1rax=g（x）=l,

所以函数/（X）图象在g（X）图象上方；

②当xw［l,2m+1］时，函数/（X）单调递减,

2川+1

所以/（X）最小值为f（2m+1）=------,g（x）最大值为g（2m+l）=2/??+l,

2m4-2

所以下面判断了（2m+1）与2m+1的大小，

2m+1

即判断-——与2m+1的大小,

2m+2

因为〃,所以即判断e2"阳与（2根+1）（2〃?+2）的大小，

人21］J3-

令%=2〃z+l,Vmel0,-,.：.xe\t-,

即判断e、与M光+1）大小，作差比较如下：

令〃（©=©'—1*+1）,,则储（%）=/一2%—1,

令h{x}=/(x),则/z'(x)=e*—2,

因为,所以"（x）＞0恒成立，〃'（x）在上单调递增;

又因为〃'(l)=e—3<0,jl=e2-4>0,

所以存在与中1，使得“'（$）=*—2$一1=0,

所以“（X）在（1,为）上单调递减，在1不，3上单调递增，

所以〃（x）..〃（X。）=e"一片一毛）=2玉j+1一片—玉j=—xj+/+1,

因为二次函数ua）=—f+x+i的图象开口向下，其对称轴为％=；,

所以V（x）=-%2+X+I在（l,"!上单调递减..

（3-1（3、931

因为入（）6（1，2时，v（%o）＞v-=-4+2+1=4,

所以“（工）..“（入0）=丫（玉））＞（）,即e'＞（l+x）x,也即/（2m+1）＞2机+1,

所以函数/（尤）的图象总在直线＞=x上方，

所以函数y=/（x）的图象总在不等式）'＞x所表示的平面区域内

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与

解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求

参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想

的应用.

x=1+cosa

22.在直角坐标系x0y中，圆。的参数方程为＜（a为参数），以。为极点,

y=sinc

走sin6+cos，］=l.

x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为夕(3)

（1）求C的极坐标方程和直线/的直角坐标方程;

⑵射线e=q吟与圆C的交点为0,M,与直线/的交点为N,求

的取值范围.

【答案】（1）圆。的极坐标方程为。=2cos8.直线/的直角坐标方程为x+，3）,_i=o.

3

（2）[1,3]

【解析】

【分析】

（1）首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得，的极坐标方程，展开三角函数式

可得1的普通方程；