三角形全等的证明专题

三角形全等的证明专题

三角形全等是证明险段相等I角相等I最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、

线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.那么我们应该怎样应

用三角形全等的判别方法呢？

(1)条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题

来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分.只要同学们认真观察图瓶，结合已知条件分析寻找

两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.A

例1已知：如图1,CE_LAB于点E,BD_LAC于点D,

BD、CE交于点O,且A0平分NBAC.E/\D

那么图中全等的三角形有一对.

(2)条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，A

需要补充使三角形全等的条件.解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步

分析，探索结论成立的条件，从而得出答案.^7

例2如图2,已知AB=AD,Z1=Z2,要使aABC丝ZkADE,

还需添加的条件是(只需填一个).\

(3)条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法A

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加A

辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用/\

全等三角形的判别方法证明两个三角形全等./\

例3已知：如图3,AB=AC,Z1=Z2./\

求证：A0平分NBAC./\

分析：要证A0平分/BAC,即证/BAO=/BCO,

要证NBAO=NBCO,只需证/BAO和NBCO所在的两

个三角形全等.而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可.

(4)条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等,

•般需要作辅助线来构造全等三角形.

例4已知：如图4,在RtaABC中，ZACB=90°,

AC=BC,D为BC的中点，CE_LAD于E,交AB于F,连接DF.

求证：ZADC=ZBDF.

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线倍的方法,

构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对金等三角形;

③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形.

(5)会在实际问题中用全等三角形的判别方法

新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力.在近年中

考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视.

例5要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件

限制，无法直接度量A,B两点间的距离.请你用学过的数

学知识按以下要求设计一测量方案.

(1)画出测量图案.

(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示).图5

(3)计算A、B的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示).

分析：可把此题转化为证两个三角形全等.第(1)题，测量图案如图5所示.第(2)题，测量步骤：先在陆地

上找到一点O,在AO的延长线上取一点C,并测得OC=OA,在BO的延长线上取一点D,并测得OD=OB,这

时测得CD的长为a,则AB的长就是a.第⑶题易证aAOB丝△COD,所以AB=CD,测得CD的长即可得

AB的长.

解：⑴如图6示.

(2)在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O,在A0的延长线上取一点C,并测得OC=OA,在B0的

延长线上取一点D,并测

得OD=OB,这时测出CD的长为“，则AB的长就是".

(3)理由：由测法可得OC=OA,OD=OB.

XZCOD=ZAOB,.•.△COD^AAOB.

•••CD—AB—u.

(注意书写格式和书写过程，一定要严谨！)

图6

评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了

学生用数学的意识.

练习

A

1.已知：如图，D是AABC的边AB上一点，AB/7FC,

求证：AE=CE.

2.如图，在aABC中，点E在BC上，点D在AE上，已知NABD=/ACD,ZBDE=ZCDEA

求证：BD=CD.

3.用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在/AOB的两边上取6P=0Q,

再取PM=QN,连接PN、QM,得交点C,则射线OC

平分NAOB.你能说明道理吗？

4.如图，AABC中，AB=AC,过点A作GE〃BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的

延长线分别交GE于点E、G.试在图10中找出3对全等三角形，牛对其中一对全等三角形给出不明.

5.已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD.请你添加一个条件，使图中存在全等三角形A并给予证

明.所添条件为_________,你得到的一对全等三角形是△_____g“/\

7.如图，在4ABD和4ACD中，AB=AC,ZB=ZC.求证：

8.如图14,直线AD与BC相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证：CO=DO.

CD

A.

9.已知△ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线.上的点且BE=CF,EF交BC于GA求证：EG=GF.

A

10.已知：如图16,AB=AE,BC=ED,点F是CD的中点，AF1CD.求证：ZB=ZE.不

11.如图17,某同学把•把三角形的玻璃打碎成了三块，

现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么

最省事的办法是（）.

（A）带①和②去（B）带①去（C）带②去（D）带③去

12.有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分

,你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全

一样的模具，并说明其中的道理.

初中数学定理公式汇编

一、数与代数

1.数与式

（1）实数

实数的性质：

①实数a的相反数是一a,实数a的倒数是[（a¥0）；

a

②实数a的绝对值：

<7（<7>0）

同=<0（<7=0）

-a（a<0）

③正数大于0,负数小于0,两个负实数，绝对值大的反而小。

二次根式：

①积与商的方根的运算性质：

y[ab-4a-y/b（a20,b20）；

②二次根式的性质：

-a(a<0)

（2）整式与分式

①同底数塞的乘法法则：同底数塞相乘，底数不变，指数相加，即（m、n为正整数）；

②同底数寤的除法法则：同底数幕相除，底数不变，指数相减，即（aWO,m、n为正整数,

③塞的乘方法则：黑的乘方，底数不变，指数相乘，即（”6）"（n为正整数）;

④零指数：“°=1（a/0）；

⑤负整数指数：。一"=4（a/0,n为正整数）；

⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即（“+6）（。-6）=。2一62；

⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，即

（a±b）2=a2±2ah+b2；

分式

①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即

aaxmaa+m_,口力称十小.八、皿>

—=-----;—=------，其中m是不等于零的代数式；

bbxmbb+m

②分式的乘法法则：--

③分式的除法法则：—（c^O）；

bdb

④分式的乘方法则：（0）”=2（n为正整数）;

⑤同分母分式加减法则：:

CCC

…口八e八=、n、上…a,dah±cd

⑥异分母分式加减法则：一±丁=-------；

cbbe

2.方程与不等式

①一元二次方程办2+乐+。=0。¥0）的求根公式：x=j+"b2-4acg_20）

2（7

②一元二次方程根的判别式：△=/-4双叫做一元二次方程。/+6x+c=0（a#0）的根的判别式:

△〉00方程有两个不相等的实数根；

△=0。方程有两个相等的实数根：

△<0。方程没有实数根；

）b

③一元二次方程根与系数的关系：设为、/是方程妆+6x+c=0（a¥0）的两个根，那么百+々=一一，

不等式的基本性质：

①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；

②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；

3.函数

一次函数的图象：函数y=kx+b（k、b是常数，kWO）的图象是过点（0,b）且与直线丫=1«平行的一条直线;

一次函数的性质：设丫=1«+13（kWO）,则当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0,y随x的增大而减小；

正比例函数的图象：函数歹="的图象是过原点及点（1,k）的一条直线。

正比例函数的性质：设^="（左#0）,贝IJ：

①当k>0时，y随x的增大而增大；

②当k<0时，y随x的增大而减小；

反比例函数的图象：函数y=4（k#0）是双曲线；

X

反比例函数性质：设y=&（k70）,如果k>0,则当x>0时或x<0时，y分别随x的增大而减小；如果k〈0,

x

则当x>0时或x<0时，y分别随x的增大而增大；

二次函数的图象：函数歹=改2+&+,（4*0）的图象是对称轴平行于丫轴的抛物线；

①开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，当a〈0时，抛物线开口向下；

②对称轴：直线x=—2；

2a

b4cic—b?

③顶点坐标（--/）；

2a4a

④增减性：当a>0时，如果2,则y随x的增大而减小，如果x>-2,则y随x的增大而增大；当a<0

2a2a

时，如果xW—2,则y随X的增大而增大，如果X>—2,则y随X的增大而减小；

2a2a

二、空间与图形

1.图形的认识

⑴角

角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。

（2）相交线与平行线

同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等；

对顶角的性质：对顶角相等

垂线的性质：

①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；

线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；

线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段

的垂直平分线；

平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；

平行线的判定：

①同位角相等，两直线平行；

②内错角相等，两直线平行；

③同旁内角互补，两直线平行；

平行线的特征：

①两直线平行，同位角相等；

②两直线平行，内错角相等；

③两直线平行，同旁内角互补；

平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。

（3）三角形

三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180"；

三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；

三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一-个和它不相邻的内角；

三角形的三条角平分线交于一点（内心）；

三角形的三边的垂直平分线交于--点（外心）；

三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；

全等三角形的判定：

①边角边公理（SAS）

②角边角公理（ASA）

③角角边定理（AAS）

④边边边公理（SSS）

⑤斜边、直角边公理（HL）

等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合-）

等腰三角形的判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形；

直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；

④直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形的判定：

①有两个角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

（4）四边形

多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（〃-2）180°（n23,n是正整数）；

平行四边形的性质：

①平行四边形的对边相等；

②平行四边形的对角相等；

③平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形的判定：

①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形：

③对角线互相平分的四边形是平行四边形；

④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）

①矩形的四个角都是直角；

②矩形的对角线相等；

矩形的判定：

①有三个角是直角的四边形是矩形；

②对角线相等的平行四边形是矩形；

菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外

①菱形的四边相等；

②菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分•组对角；

菱形的判定：

四边相等的四边形是菱形；

正方形的特征：

①正方形的四边相等；

②正方形的四个角都是直角；

③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；

正方形的判定：

①有一个角是直角的菱形是正方形；

②有一组邻边相等的矩形是正方形。

等腰梯形的特征：

①等腰梯形同一底边上的两个内角相等

②等腰梯形的两条对.角线相等。

等腰梯形的判定：

①同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；

②两条对角线相等的梯形是等腰梯形。

平面图形的镶嵌：

任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面；

⑸圆

点与圆的位置关系（设圆的半径为r,点P到圆心。的距离为d）：

①点P在圆上，则d=r,反之也成立；

②点P在圆内，则d<r,反之也成立；

③点P在圆外，则d>r,反之也成立；

圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可以得到另外两

组也相等；

圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆；

垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；

平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等；

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦

心距相等；

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其

余各组量分别相等；

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半：

圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来，90°的圆周角所对的弦是直径；

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；

弧长计算公式：/=四（R为圆的半径，n是弧所对的圆心角的度数，/为弧长）

180

n、I

扇形面积：S扇形=而加?2或S扇形=]/R（R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数，/为扇形的弧长）

弓形面积S弓形=S扇形土SA

（6）尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）

作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角：作已知角的平分线：作线段的垂直平分线；过一点作已知直线

的垂线；

（7）视图与投影

画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）：

基本儿何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型；

2.图形与变换

图形的轴对称

轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；

等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；

图形的平移

图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等；

图形的旋转

图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所

成的角彼此相等；

平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；

图形的相似

比例的基本性质：如果乌=£,则加/=从，如果=则@=£伯力0,〃力0）

hdbd

相似三角形的设别方法：①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例

相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周长之比等于

相似比：④相似三角形的面积比等于相似比的平方；

相似多边形的性质：

①相似多边形的对应角相等；②相似多边形的对应边成比例；

③相似多边形的面积之比等于相似比的平方：

图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形;

RtAABC.ZC=90,SinA=N'的对边，ccsA=乙’的纵边，tanA=/<的对边，

斜边斜边NZ的邻边

CctA=N”的邻边

//的对边

特殊角的三角函数值：

30"45’60°

j_V2V3

Sina

22~T

V3

CosQ近

~T22

tana1百

T

V3

Cota1

WT

三、概率与统计

1.统计

数据收集方法、数据的表示方法（统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图）

（1）总体与样本

所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的•个样

本，样本中个体数目叫做样本的容量。

数据的分析与决策（借助所学的统计知识，对所收集到的数据进行整理、分析，在分析的结果上再作判断和决策）

（2）众数与中位数

众数：一组数据中，出现次数最多的数据；

中位数：将一组数据按从大到小依次排列，处在最中间位置的数据。

（3）频率分布直方图

频率=型,,各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1,频率分布直方图中各个小长方形的面积为

总数

各组频率.

（4）平均数的两个公式

①n个数不、x2……，的平均数为：+……+4；

n

②如果在n个数中，项出现/次、々出现九次……，S出现九次，并且工+人……+fk=n,则

x/+X?/+……ffk

n

（5）极差、方差与标准差计算公式：

①极差：

用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差

=最大值-最小值；

②方差：

数据为、x2...,X“的方差为$2,

③标准差:

数据修、x2……,X,,的标准差S,

•组数据的方差越大，这组数据的波动越大。

2.概率

①如果用P表示一个事件发生的概率，则OWP（A）W1；

P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；

②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。

③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

3.统计的初步知识、概率在社会生活中有着广泛的应用，能用所学的这些知识解决实际问题。

说明：凡上述整理的内容与义务教育《数学课程标准》不一致处，以义务教育《数学课程标准》和《苏州市2005

年初中毕业生学业评价说明（数学学科）》为准。

中学数学常用的解题方法

数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进

■•步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。

下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。

1,配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幕的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形

的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方

面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、

一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公

因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是

在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R,a#））根的判别，△=b2-4ac,不仅用来判定根的性质，而且作为一种

解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求

根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关

于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方

法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是-个图形、-个方程（组卜

一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方

法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

7、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导

致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）

与穷举反证法（结论的反面不只一种）。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存

在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有•个/一个

也没有；至少有n个/至多有（n—1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无木之木。

推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；

自相矛盾。

8、面积法

平面儿何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证

明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何

中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，

通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解儿何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可

以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

9、儿何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任

一元素到同一集合的元素的一个一一映射、中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有些看来很难甚至于无法下

手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图

形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形木质的认识。

几何变换包括：（1）平移：（2）旋转；（3）对称。

10.客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可

以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。

填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于

考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技

巧。下面通过实例介绍常用方法。

（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答

案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，

找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。

（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元

素法。

（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算，把不正确的结论排除，余

下的结论再经筛选，从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

(5)图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性质、特点来判断，作出正确的选择称为图解法。图解法是解选

择题常用方法之一。

(6)分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽的分析、归纳和判断，从而选出正确的结果，称为分析法。

初三代数总复习

填空题:

1.一种细菌的半径约为0.000045米，用科学记数法表示为米.

2.-8的立方根是,2的平方根是；

3.如果心+2|+标=0,那么b的大小关系为“b(填或“<”)；

4.计算：(VJ+1)(VJ-1)=o

5.计算：VF+78-V18=0

6.在实数范围内分解因式：ab2-2a=.

8.不等式组rL-2,<八1的解集是o

9.方程?_=2—的解是______________.

x-3x-2

22334455

10.观察下列等式，Yx2=Y+2,5x3=5+3,Qx4=w+4,7x5=-+5

JLJL乙乙JJr

设〃表示正整数，用关于〃的等式表示这个规律为;

11.在函数N=—中，自变量X的取值范围是________O

x-2

12.如果反比例函数的图象经过点（1,-2）,那么这个反比例函数的解析式为o

13.函数y=-5x+2与x轴的交点是，与夕轴的交点是，与两坐标

轴围成的三角形面积是；

14.某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费y（元）与通话时间x（分钟）

之间的关系式是,某居民某月的电话费是38.7元，则通话时间是

分钟，若通话时间62分钟，则电话费为元；

15.函数丁=-』的图像，在每一个象限内，y随x的增大而；

X

16.把函数歹=2/的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的二次函数解析式

是；

17.把二次函数y=x2-4x+8化成丁=（x+〃y+〃的形式是,顶点坐标

是，对称轴是;

18.1,2,3,x的平均数是3,则3,6,x的平均数是；

19.2004年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：3135313430

3231这组数据的中位数是；

20.为了调查某校初中三年级240名学生的身高情况，从中抽测了40名学生的身高，在这个问题

中总体是,个体是,样本是;

21.点P（-l,2）关于x轴的对称点的坐标是,关于夕轴的对称点的坐标

是，关于原点的对称点的坐标是；

22.若点2。-加,2+加）在第一象限，则机的取值范围是；

23.已知0<x<l,化简W+的结果是；

24.方程，一2x—2=0的根是x=l土百，则/一2%—2可分解为；

25.方程/-2=0的解是x=；

26.方程，一米-3=0的一根是3,则它的另一根是,k=；

27.已知x=-2时，分式--无意义，x=4时此分式值为0,则。+6=；

x+a

28.若方程组卜^+制=’的解是卜=-2,则。=_______,b=_______；

ax-by-13[y=-1

29.10张卡片分别写有0至9十个数字，将它们放入纸箱后，任意摸出一张，则P（摸到数字

2）=,P（摸到奇数）=；

30.甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次他们的平均成绩均为7环10次射击成

绩的方差分别是：S；,=3,S1=1.2.成绩较为稳定的是.（填“甲”或"乙”）

11,（-X--------

二、选择题：

31、在实数“，2,3.14,-V2,tan45°中，有理数的个数是（）

A、2个B、3个C、4个D、5个

32、下列二次根式中与C是同类二次根式的是（）

A、V18B、V03C>V30D、V300

33、在下列函数中，正比例函数是（）

1,

Ay=2xBy=—Cy=x~Dy=-x-4

2x

34、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了

几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速前进，结果准时到校，在课堂上，李老师

请学生画出：自行车行进路程S（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出

的示意图如下，你认为正确的是（）

k

35、正比例函数丁=日和反比例函数y=£（左〉0）在同一坐标系内的图象为

()

36、二次函数y=/+办+6中，若a+b=0,则它的图象必经过点()

A(-1,-1)B(1,-1)C(1,1)D(-1,1)

2x+3>0

37、不等式组《的整数解的个数是)

—3x+520

A1B2C3D4

38、在同一坐标系中，作出函数^=自2和y=H-2/N0）的图象，只可能是（）

39、若关于(）

A-4

40、某中学为了了解初中三年级数学的学习情况，在全校学生中

抽取了50名学生进行测试（成绩均为整数，满分为100分）,将50名

学生的数学成绩进行整理，分成5组画出的频率分布直方图如图

所示，已知从左至右4个小组的频率分别是0.06,0.08,0.20,0.28,那

么这次测试学生成绩为优秀的有（分数大于或等于80分为优秀）。

,9$8S的379s89$99d

（）

A30人B31人C33人D34人

41、某学校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多

买了20瓶，求原价每瓶多少元？若设原价每瓶x元，则可列出方程为（）

420420420420

A=20B=20

Xx-0.5x—0.5X

420420420420_

C=0.5D=0.5

Xx-20x-20X

42、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1）,把余下的部分拼成一

个矩形（如图2）,根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

(A)(a+b)2=a2+lab+b2

(B)(a-b)2=a2-2ab+b2

(C)a2-b2=(a+b)(a-b)

(D)(a+2b)(a-b)=a2+ab-lb2

三、解答题:

43、计算：|-2|-(-V2)°+^

(}-1—a

44'计■算：/+勿+J4+1

4x+5<3(x+2)

45、解不等式组x-1j

〔~5~<3

46、抛物线的对称轴是x=2,且过（4,一4）、（-1,2）,求此抛物线的解析式;

47、为了保护学生的视力，课桌椅的高度是按一定的关系配套设计的。研究表明：假设课桌的高度

为ycm,椅子的高度（不含靠背）为xcm,则y应是x的一次函数，右边的表中给出两套符合条件

的桌椅的高度：

第一套第二套

椅子高度X(cm)40.037.0

桌子高度N(cm)75.070.2

(1)请确定歹与X的函数关系式;

(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由。

48、有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16m,跨度为40m,现把它的示意图放在平面直角坐标

系中如图(4),求抛物线的解析式

49、某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共480台.改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机

器共554台，其中甲种机器产量要比第一季度增产10%,乙种机器产量要比第一季度增产

20%.该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？

50、为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划。如果实际每天比计划多用2度电，那

么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不

超过2200度电。若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？

51、某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月

的销售量如下：

每人销售件数1800510250210150120

人数113552

（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；

（2）假设销售部负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如果不

合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由；

52、小刚为书房买灯，现有两种灯可供选择，其中一种是9瓦（0.009千瓦）的节能灯，售价49

元/盏；另一种是40瓦（0.04千瓦）的白炽灯，售价18元/盏。假设两种灯的照明亮度一样，使用

寿命都可以达到2800小时，并已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。

（1）设照明时间是x小时，设一盏节能灯的费用必和一盏白炽灯的费用力，求出必,必与x之间的

函数关系式（注：费用=灯的售价+电费）

（2）小刚想在这两种灯中选一盏。

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？

②照明时间是在什么范围内，选用白炽灯的费用最低?

③照明时间是在什么范围内，选用节能灯的费用最低?

(3)小刚想在这两种灯中选购两盏。

假定照明时间是3000小时，使用寿命就是2800小时。请你帮他设计一种费用最低的选灯方案，并

说明理由。

答案：

一、填空题

1)、4.5X1052)、-2,±V23)、<4)、25)、0

6)、a(b-V2)(b+V2)7)、18)、-1(x(39)、x=5

10)、Wx(〃+1)=四+5+1)(〃为正整数)

nn

11)、xw212)、y=13)、(-,0),(0,2)>-14)、y=0.15x+24,(X>0)、98,

x55

3.33

15)、增大16)、y=2(x-3)2-217)、y=(x-2)2+418)、519)、31

20)、某校初中三年级240名学生的身高，一名学生的身高，某校初中三年级40名

学生的身高

21)、(-1,-2)(1,2)(1,-2)22)、-2〈加〈123)、124)、(x-l-V3)(x-l+V3)

25)、±V226)、-1,227)、628)、-5,329)、—,-30、乙

102

二、选择题

31、B32、D33、A34、C35、B36、C37、C38、B39、B

40、C4kB42、C

三、解答题

17AAA

43)、444)、-45)、46)、=

a255

47)、⑴y=1.6x+ll(2)当高为4.20cm时，y=42X1.6+11=78.2它们是配套的

48)、依题意得：A(20,16)B(0,40)设丁=左。-20)2+16/.40=^(0-20)2+16

k=0.06歹=0.06(0-20f+16

49)、解：设第一季度生产甲机器x台，乙机器y台

«x+y=480解得.[x=220

10%x+20%y=554-480'[y=260

答：甲机器220台，乙机器260台。

50、解：设每天用电量为x度。

110(x+2))2530

H0(x-2)<2200

解得：21〈x422

51、(1)平均数：340中位数：210众数：210,150

(2)不合理；因为销售额等达到320件的人只有2人，还有13人不能达到。可以

把销售额定为210件。因为中位数为210,众数为210,说明有大多数的人可以达到。

52、1)yt-49+0.0045%,y2-18+0.02x

2)①由乂=%,解得x=2000;②由%>为,解得x<2000;③由M<为，解得x>2000;

3)如果选用两盏节能灯，则费用是111.5元；如果选用两盏白炽灯，则费用是96元;

如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由(2)可知，当照明时间大于2000小时时，

用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用完2800小时时，费用最低，费用是83.6元。

因此，因选一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时费用最低。

2002年全国初中数学联合竞赛试卷

(2002年4月21日8：30—10：30)

一、选择题(本题4