电磁场与电磁波笔记

绪论1．电磁学与电磁场理论电磁学：麦克斯韦方程组的积分形式。它概括了全部已有的宏观电磁现象的实验事实，给出了用积分量描述宏观电磁场的全部规律。电磁场理论：麦克斯韦方程组的微分形式。是在电磁学的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其计算方法的理论，是用数学方法描述空间任意一点、任意时刻电磁现象变化规律的理论。2．在电气工程与电子工程中的地位电路理论和电磁场理论是电气工程与电子工程学科基础课程。电路理论：提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电、机变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、光纤、遥感、遥测、遥控等。其他工程领域：电磁兼容、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮电磁场理论是理解、发展和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。“电磁场理论”是高等学校电气信息类专业的一门技术基础课，其主要任务是：(1)在“大学物理”电磁学的基础上，进一步阐述宏观电磁场的基本规律，、开关设备、互感器等。、天线、雷达、卫星、超导等。并根据电气信息类各专业工程实际的需要，介绍有关电磁技术应用的基本知识；(2)应用场的观点，培养学生对电气信息工程中的电磁现象和电磁过程进行定性分析与判断的初步能力，并进而掌握定量分析的基本技能；(3)通过电磁场理论的逻辑推理，培养学生正确的思维方法和严谨的科学态度。●“电磁场”课程内容是电气信息类专业本科生所应具备知识结构的必要组成部分——电气信息类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特定范围、条件下的体现，因此，分析电磁现象的定性过程和定量方法是电气信息类各专业学生掌握专业知识和技能的基础；●近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点和新兴边缘学科发展的基础；●教学实践证明，本课程不仅将为电气信息类学生专业课的学习提供必须的知识基础，而且将增强学生面向工程实际的适应能力和创造能力，关系到学生基本素质培养的终极目标。第一章矢量分析1．1电磁场物理模型的构成1．源量点电荷：q、单位：C。电荷体密度：、单位：C/m3。电荷面密度：、单位：C/m2。电荷线密度：、单位：C/m。如果已知上述各种电荷的分布规律，则对应的q、、和都应是已知的空间坐标变量的函数。又若已知电荷均匀分布，则意味着这些源量都将是某个已知的常量。电流：i、单位：A。电流密度（面积电流）：J、单位：A/m2。面电流密度：、单位：A/m。2．场量电场强度：E、单位：V/m。磁感应强度（磁通密度）：B、单位：T。3．电磁性能参数电介质：介电常数、单位：F/m。真空中，13610-98.85410-120(F/m)磁介质：磁导率、单位：m。真空中，410-7(H/m)0导电媒质：电导率、单位：S/m4．媒质的构成方程（本构关系）电位移矢量：D、单位：C/m2。磁场强度：H、单位：A/m。DE构成方程（本构关系）：HBJE1．2矢量的代数运算1．矢量运算标量积（点积）：ABABcosAB，ABABABABxxyyzz。ABCABsine矢量积（叉积）：ABceeexyzABAAAxyzBBBxyz(x,y,z)、圆柱坐标系(,,z)和球坐标系(r,,)。2.正交坐标系统：直角坐标系FdlFdxFdyFdzxyz环量积分：通量积分：llFdSFdydzFdxdzFdxdyxyzSS1.3矢量场的散度考察通量“源”在场中各点的分布情况。作包围P点的一相当小的封闭曲面S如图示，则当V→0时，即V收缩为P点时，对于体积V的变化定义通量率的极限值为矢量F在P点的散度，记作图FdSVddVdivFlimlimSVV0V0x2FxFxyzFxyzFFxyz,,,,,,xx2x000x000xx000x0,yz,00x2F,,000xFxyzFxyzFFxyz,,0,,0xx2x00x00xxx0,yz,00穿出这二个面的净通量值为xx2yzyzFxxxyz,,00Fx,y,zFxx2x0000同理，对于另二组侧面进行类同的分析计算。合成可得穿过整个平行六面体的净通量FxyzFFdSFxxxyzyzxyzzyS而V=xyz，在直角坐标系下散度的表达式为FdSFFFzdivFlimV0xxyzySV又记为divFF可见，矢量场的散度是一个标量，它描述了矢量场在给定点的通量密度。若divF=0，则表明该点没有产生通量的“源”（无源）；若divF0，则表明该点有产生通量的“源”，divF>0为正源，divF<0为负源。1.4矢量场的旋度考察环量“源”在场中各点的分布情况。作一图条围定面积为S的法向单位矢量，它与有向曲S的微小的有向曲线，令为len线l构成右螺旋关系，如图所示。记作图直角FdlcurlFlimS0Smaxenl可见，矢量场的旋度是一个矢量，其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向；其大小en表征了每单位面积上矢量场的最大环量。因此，旋度描述了旋涡源的强度。由旋度定义可知，FdlFdlFdlFdlFdlFxFyFxFyx1y2x3y4ll1l2l3l4可得FFxy,xy2Fx1xy00xy,00Fx2FFxy,yxyy200同理xy,00Fxy2,Fx3Fxyxy00xy,00Fx2FFxy,yxyy400xy,00代入环量计算式，有FFFdlxxyyxyl由此根据旋度的定义式，有FdlFFyxcurlFlimlxyxyzS0F与(curlF)y的计算式同理，可得(curl)。合成为一个矢量式，得矢量场的旋度x为FFFFFFxcurlFecurlFecurlFecurlFeexezyzyyzzxxyxxyyzzxyz或写成便于记忆的行列式，即eeezxycurlFFxyzFxFFyz1.5标量场的梯度考察标量场等值面的变化率。设等值面方程为图标量场梯度的图示(x,y,z)=C标量场(x,y,z)在图中P点沿dl方向的变化率，此即方向导数为lxyzcoscoscosxlylzlxyz方向导数值与所选取的方向dl有关。记该dl方向的单位矢量为el，可知eecosecosecoslxyz定义eezzgradexxyy为标量场的梯度，记作gradeyezzexxy其中，可见，标量场的梯度是一个矢量。此时，方向导数可改写成lgradeell1.6场论基础散度定理（高斯定理）：FdSFdVSV斯托克斯定理：FdSFdlSl无散场：无散场是散度恒为零的场，即F0A0由矢量恒等式可以看出，无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即FAF的矢量位。一般称矢量A是矢量场无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即F0由矢量恒等式0可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即ForF一般称标量是矢量场F的标量位。亥姆霍兹定理：若矢量场F(r)在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即FrrAr式中FrdV1r4rrV1FrArdV4rrV可见，对于无界空间，当所论矢量场的散度和旋度均为零时，即()=0与()Arr=0，则矢量场F(r)也随之消失。常用矢量恒等式：(V)=V+V，(A)=A+A(A)=A+A，(AB)=B(A)A(B)V=2V，A=(A)2A(A)=0V=0，第三章恒定电场3．1电流与电流密度电流：单位时间穿过面积S的电荷量。qdqi(t)limt0tdt电流密度矢量：对于空间中不均匀运动电荷流动用电流密度矢量描述，JI正电荷流动方向或电场方向。大小为：JlimA/m2，S法线方其方向为SS0向与电场强度方向一致。电流密度矢量可表为：JvvJJiiiV为电荷运动速度矢量，为电荷密度。在导电媒质中的恒定电流称为传导电流，在非导体区中的电流如真空中的电子或离子运动形成的电流称为运流电流。空间任一截面通过的电流：(,)i(t)JrtdSS面电流和表面电流线密度I•用于描述薄层内电流，表面线电流密度A/m，其中线元JllS垂直于面电荷运动方向。•电流线密度矢量可表为Jv其中为面电荷密度，是电荷运动S速度矢量。v流线电Ivl恒定电场中的基本变量：•恒定电流空间中存在的电场称为恒定电场。主要讨论导电媒质中电荷在电场作用下的运动及有关问题。其中的两个基本变量为电流密度和电场强度。•要在导体中保持恒定电流，必须维持恒定电场。场中带电体的任何部分电荷分布保持恒定。•根据金属电子论及有关试验，在各项同性的导电媒质中，电流密度与电场强度之间的关系为：J(r)E(r)此即欧姆定律的微分形式，其中为电导率，单位：西门子/米。电功率在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度J可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，dt时间内有dq电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为dW=dUdq于是外电源提供的电功率为dPdWdtdqdUdUdIEdlJdSEJdV图dt故电功率体密度pPEJE2J2dVd或写成一般形式p=EJ此即焦耳定律的微分形式。•电源将其他形式的能量（化学能等）转换成电能•电源内部存在一种可将正负电荷分离开来的非库仑力F’，和由其产生的等效电场源负极指向正极。电源电动势E’＝F’/e。E’的方向由电E'dll•等效电场E’维持电极两端电压一定。源两极上的电荷一定，电源正负电在电源以外的库仑电场E由此电源内部，合场强为E＋E’。荷确定。在电3.2导电媒质中恒定电场的基本方程及分界面上的边界条件1．恒定电场由麦克斯韦组的磁场旋度方程，对于导电媒质中的传导电流密度J，有cHJc上式两边取散度，得J0c又由麦克斯韦组的另一旋度方程E0而导电媒质的构成方程为JEc由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。3．不同媒质分界面上的边界条件两种不同导电媒质分界面上的边界条件：类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为(JJ1)=0en2J1n=J2n或(EE1)=02E1t=E2t或en对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律tgtg1122良导体与不良导体分界面上的边界条件：J2当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设en，由折射定律可知，只要90，就有0。22121P这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流2线总是垂直于不良导体(0)。换句话说，这时可以112J1不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看图由良作为等位面。1Jc1+++++++E2t+2UE2nE2Jc1E2tEE22n图导体与理想介质分界面上的边界条件：此时，由于Jc2n=0，必然有Jc1n=0；且E1t=E2t，电场强度的切向分量连续。应指出的是，虽然E1n=Jc1n/=0，但E2n0，其结果将使导体外表面处的1电场强度E，与导体表面不相垂直，如图所示。然而，分量E2t与E2n相比是极2其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E2t分量的影响。即近似为静电场中导体的边界条件。也就是说，当分析载有恒定电流的导体外部电场时，可以应用静电场分析方法。两种有损电介质分界面上的边界条件：如图所示，在两种有损电介质的分界面上，J2应有,,PEE2n2n1121同时，还有J1EE图nn1221联立求解，得分界面上自由电荷面密度为12J2n2112由此可见，只有当两种媒质参数满足条件时，其上表面自由电荷才为2112零，即=0。3．3恒定电场与静电场的比拟1．静电比拟法将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。均匀导电媒质中的恒定电场无源区中均匀介质中的静电场D0J0cE0E-E0E-DEJEc2=02=0qDdSIJdScSS显然，只要两者对应的边界条件相同，则恒定电流场中电位、电场强度E分别与静电场中的电位、电场强度E和电位移矢量D和电流密度Jc的分布将的分布相果场中两种媒质分区均匀，当恒定电场与静电场两者边界条件相似，一致。如且两者对应的电导率与介电常数之间满足如下物理参数相似的条件时：2112则两种场在分界面上的线与对应的线折射情况相同。根据以上相似原理，JDc就可以把一种场的计算和实验结果，推广应用于另一种场。这就是静电比拟法。由静电比拟法，有GC因此，可以利用电容的计算方法计算电导或电阻，反之亦然。即AEdSPBJdScJ,U0GIEdlSEdlSUllDdSEdSCqSSEdl图UEdlll例1：内外导体半径分别为a和b的同轴电缆，如图所示导体间外施电压U。试求其因绝缘介质不完善而引起的电缆内的泄漏电流密度及其单位长绝缘电0阻。[解]：（1）解法一：恒定电场分析法量，作一半径为的同轴单位圆电场强度E和泄漏电流密度J均只有径c向分柱面，且令单位长泄漏电流为I，则I2I2Jc，E内外导体间电压为IlnbbUUEd2aAB0a由此可知泄漏电流密度为UabJbe0clna电缆的单位长绝缘电阻为RUI0lnba12（2）解法二：静电比拟法在同轴电缆分析中，已求得电场强度为UEbeab0ρlna故泄漏电流密度JEUbe0lnabρca同理，单位长电导可以由单位长度电容求得，即电缆的单位长绝缘电阻为R111lnba2GC2．接地电阻接地技术是保障人身和设备的一项电气安全措施。计算接地体的接地电阻是恒定电场计算的一项重要工作。下面计算图示埋于大地的半球形接地体的接地电2ii土壤aa土壤土壤(a)电流阻。由镜象法得：线1u1RGiia2ri12adr23．跨步电压电力系统接地体一旦有电流通过，由于接地电阻的存在，在地面上存在电位分布。此时，人E时，将威胁人的生命。对于如图所示的半球形接地器，由镜象法，地面上任意点r22体跨步的两足之间的电压称为跨步电压。当跨步电压超过允许值IrP的电位为IIrEdrdr2r2r2rP如图绘出了地面电位分布。设人的跨步距离为b，在距半球中心距离r点的跨步电压为I2rI112rbr2r2IbrBUddrI2aElABrbA设U为人体安全的临界跨步电压（通0常小于5070V），可以确定危险区半Ioa径r为0PABbrIb2UJrr00图3.4电导与电阻的计算仿照静电场的处理，引入标量电位函数(r)作为辅助场量，即令E=-，可得电位满足拉普拉斯方程，即2=0例1：设一扇形导电片，如图所示，给定U。试求导电片两端面电位差为内电流场分0布及其两端面间的电阻。[解]：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位，其边值问题为：20,D1,,z22200图扇U0积分，得=C+C12由边界条件，得CU，C0012U故导电片内的电位0电流密度分布为UU00JEee对于图示厚度为t的导电片两端面的电阻为RU0UU00U0btlnaIdJSbetdeSa例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数率分别为，和，，厚度分别为d11221和电导和d，外施恒定电压U，忽略边缘效应。试求：,dd201112(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体U0,22图非理想介质的平板电容器中的恒定电流场积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。[解]：(1)忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件EE1122又有电压关系EdEdU11220联立求解两式，得UUE120，E10dddd212211221(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为w1E2，w1E2e1211e2222相应的单位体积中的功率损耗分别为pE2222pE2，111(3)分界面上的自由电荷面密度为2112U12J21dd12012122第四章恒定磁场4.1磁感应强度•在运动电荷的周围，除了电场，还存在一种称为磁场的物质。描述磁场特性的基本物理量：磁感应强度。磁场的表现：对于引入场中的运动电荷有作用。如电荷q以速度运动，磁场对其对作用力为v力的fq(vB)对运动电荷的作用力又称洛仑兹力。洛仑兹力不做功。通有电流I的导dl磁场线元在磁场中所受到的力dfdNqvBnSdlqvBIdlB流有力相作用。而磁场是由电流产生的。下面用磁感应强度的定义磁场对电和从实验得的出磁场力定律确定电流产生的磁感应强度。安培力定律说明：两个电流元Idl段和Idl之间的力正比Idl和Idl1,反比于他们之间距离。1221122于真空中两个线电流回路。回路1是引起场的源回路，回路2是试验回路。可测得试验回路所受到的力IdlIdle4()rF2102211r2ll12其中0是真空中的磁导率，国际单位制中，其值为410－7亨利/米（H/m）.dl段受到dl段的作用力df21IdlIdler)IdldB4(02211r21222源回路上dl在离其r处引起的dBdB1)(Idler011r24整个源回路l引起的磁感应强度1Idle对于不同形式的电流源，有：()BdBr,毕奥－沙伐尔－拉普拉斯定律011r420JreRdVlJ：1cB(r)4R2体电流cVSKreRdSB(r)4R2面电流：K0IdleB(r)4R2线电流I：0Rl对照静电场中电荷作体分布时电场强度的表达式rd14(')'Er()RR3(')'0rdS14Er()RR30S由毕奥—沙伐定律计算磁感应强度zz2P221(dzdzIdzLI1e1RPRz121IP(,3o2P3(a)(b)图有限应该注意，由毕奥—沙伐定律计算磁感应强度时，积分均为矢量积分。而对于具有对称性场分布特征的问题，应用安培环路定律更加简单。例1：计算真空中载流I的有限长直导线所引起的磁感应强度。计算图(a)所示场点P处的B；然后，点P、P和P处的B的计算。[解]：首先，推广至图(b)所示任意场123(1)场点P处的磁感应强度采用圆柱坐标系，取元电流Idz，在点P处产生的dB为sinze4Idzd，I4IddzzeRdBee00R02z24R2z2232从而44zL044IdzIIIsine0LBeee000z2322z2x200(2)场点P、P和P处的磁感应强度123基于场点P处B的解答，不难理解图(b)中任意场点、和P处的B分PP123别为4I0IeBsinsin()e2sinsin04112P1114Ie02Bsinsin1P224I0Ie0sinsin2Bsin()sin()e43211P33(3)推论：对于P点，若L→∞，则B为140IIBsinsinee0222l这正是应用安培环路定律的计算结果。Io例2：计算真空中半径为a，载流为I的无限长直圆柱导体内部和外部的磁场。00(a)[解]：应用安培环路定律，B得(1)导体内部(<a)20a2Bdl2BIl故有oaBIe(a)02a(b)2(2)导体外部(>a)图Bdl2BI0lIB2e(a)故有z0Idz圆柱导体内、外B值随坐标的变化曲线dzL示于图(b)。zRyoABdALP(x,x图长直4.2磁通连续性定理安培环路定律•穿过任意面积S的B通量称为磁通。BdSS由于没有始端和终端，没有供线发出或中止的源或漏，对于任意闭合面BBBdS0此即磁通连续性原理。S真空磁场中的安培环路定律真空中无限长直导线中通以电流I，由其引起离轴线r远处的磁感应强度•IB0r2•场中取一条半径为r的磁感应线作积分回路，IdlIBdl00dlI0rr22lll如果取任一包围电流的回路，dlcosrdBdlIIIrd2dIrcosdl000rl2220ll0如积分回路没与电流交链，Bdl＝0l如积分路径l所交链的电流不止一个，Bdl＝（I1I2I3)0l真空的磁场中，沿任意回路取的线积分，等于真空的磁导率乘该回路所限定面积上穿过的电流的代数和Bdl＝。nIk0k1l电流方向与积分回路绕行方向成右手螺旋关系时，电流取正号，否则取负号。在一些对称的情况下，可用上式简便计算。B例一无限长同轴电缆截面如图。芯线通有均匀分布的电流I，外皮通有量值相同，方向相反对电流，试求各部分磁感应强度。解：本题是平行平面场，B线是中心位于芯线轴上的同心圆。（1）芯线内，r<R1，电流密度J=I/R12,作一半径为r的圆作为积分回路，用柱坐标，穿过圆面积的电流I’为IRr2r2I'rdrdIR221001r22IBdlBrdR02l01r2Br2IR021IrB0R22(2)绝缘层中R1<r<R2,取一半径为r的圆作积分回路，穿过圆面积的电流为I12I0Brd0BrI20IB0r2(3)外导体R2<r<R3,取一半径为r的圆作积分回路，穿过圆面积的电流为I’。rR2R2r22I'III32R2R2RR223232IR2r2B03rR2R22（4）电缆外r>R3,320B4.3物质的磁化磁化强度和磁场强度4.3.1物质的磁化，磁化强度与电场与电介质相互作用，使电介质极化，产生附加电场一样，磁场会对放状态之中。磁化介质也会产生附加B'入其中的磁介质发生作用，使介质处在磁化的磁场。磁场中任一点的磁场强度BBB'0物质的原子或分子中的任一电子环绕原子核的运动和自旋都能产生磁效应。这种运动的束缚电荷形成环形电流，称为原子电流（或安培电流），它们不产生电荷迁移，但能产生磁感应强度。原子电流是一很小的闭合电流。可用磁偶极子的概念面积为dS的载流回路，的正方向与回路电流的正方向成右手螺旋关系。dS场中任一点到回路中心的距离比回路的尺度大得多。外场B在磁偶极子中看成是均匀的。pIdS2）定义磁偶极矩：m单位制中单位（A.m真空中磁偶极子在离它r远处产生的磁感应强度4pB0esinre'm[2cos]r3在外场下磁偶极子所受到的转矩BTpBm磁偶极子的转动方向总是力图使它自己的磁场与外磁场方向一致，即力图增pm强外磁场。和同向时是稳定位置，反向时是不稳定的。B描述磁化程度的宏观量：磁化强度单位体积中的磁偶极矩。plimMmiVV0未磁化时，是随机分布的。为零。ppmimip在外磁场作用下，原子电流受到向外磁场方向的转矩，不为零。mi磁化后物质中存在磁化引起的体电流密度和面电流密度。MJmMnJms•对比静电场中极化的有关公式lim,pqdpP0PndQ'dSP'PP有导磁媒质存在时的磁感应强度要考虑到磁化电流的影响。r称为媒质的磁导率，单位是亨/米(H/m)，为相对磁导率。根据媒质的磁化性能，可分为以下三种类型：(1)抗磁性媒质：当不存在外磁场时，这类媒质的原子中的合成磁矩为零。在外磁场作用下媒质中合成磁场减弱，如银、铜、铋、锌、铅和汞等属抗磁性媒质。(2)顺磁性媒质：当不存在外磁场时，这类媒质的原子中合成磁矩并不为零，仅因热运动之故，其宏观的合成磁矩为零。在外磁场作用下媒质中合成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂和钯等属顺磁性媒质。(3)铁磁性与亚铁磁性媒质：这类媒质在外磁场作用下会发生显著的磁化现产生显著的磁性，如铁、镍、钴等属这类铁磁性媒质(>>r象。在外磁场作用下)，这种铁磁性媒质的磁性能还存在非线性、磁滞与剩磁现象。另一类称为亚铁1磁性媒质，如铁氧体等，其磁化现象稍逊于铁磁媒质，但剩磁小，且电导率很低。值得指出，铁磁媒质因其高磁导率的特性，在电磁装置中得到了极其广泛的应用，以满足工程上高磁场能量密度和高磁场强度的应用需求。同样，铁氧体因其电导率很低，高频电磁波可以进入其中，且具有如高频下涡流损耗小等一可些贵的特性，从而在高频和微波器件中获得广泛的能也有均匀与非均匀，线性与非线性，各向同性点。对于均匀媒质J=M=(H)=H=0应用。媒质磁化性与各向异性等特mmm可见，在均匀媒质中束缚电流密度为零。4.3.2一般形式的安培环路定律在有导磁媒质的磁场中，任意取一闭合回路l，磁感应强度沿l的积分Bdl(II)0ml其中I是自由电流，Im是磁化后引起的电流。BdlIMdS00lSMdSMdlMdlSlBdlI00HdlIllBMH0/BMdlI(/)l0称为磁场强度。lH其中I是穿过回路l所限定面积的自由电流（不包括磁化电流）的代数和。电流正负号选取同真空中安培环路定律。对比静电场中介质极化情况，qq'DdSqEdSDEP0SS0•对各项同性的线性媒质MHHHm(1H)m()BHMr0式中：是媒质磁导率，单位亨/米（H/m)，00＝/为相对磁导率。0r在无限大均匀各项同性导磁媒质中，如果电流分布一定，磁场中各点的磁感B应强度的方向与真空时相应的方向一致，但量值是真空时的r倍。0换成r即可得到导磁媒质中只需将真空时的相应表达式中的B此时BH以及的表达式。且有IBdlkl4.4恒定磁场的基本方程分界面上的边界条件1．恒定磁场的基本方程由麦克斯韦方程组，描述恒定磁场的基本方程为HJB0cBH媒质的构成方程为2．恒定磁场的有旋性在自由空间中，由基本方程可以得出，在恒定磁场问题磁感应强度矢量B与传导电流密度J之间的关系为cBJ0c上式表明，源于电流的磁场具有旋涡场的特性，表明了磁力线与电流源之间相互交链的基本特征。利用斯托克斯I3定理，得安培环路定律：lI4Bdl00nJdSIkI1cSk1lS式中，电流I正负，取决于电流kI0方向与积分回路绕行方向是否2符合右手定则。当方向相符时为图环量正；反之取负值。如图，有：Bdl(III)3012l3．恒定磁场的无散性基本方程还表明了恒定磁场的磁感应强度的散度处处为零，具有无散(无源)性。磁力线是无头无尾的闭合曲线，即磁通连续性原理。4．边界条件媒质分界面上的边界条件：对应于B=0，有或en(B2-B1)=0B1n=B2n表明在两种媒质分界面上的磁感应强度的法向分量是连续的。对于旋度方程H=Jc，取图示跨越分界面的矩形回路l。设分界面上存在面电流K=Ke(该面电流密度的单位矢量es=enet，且与矩形回路l符合右手定则)，s由安培环路定律，得HdlHlHlKl12t11t1lH2t-H1t=K或en(H-H)=K21通常分界面上不存在宏观的自由面电流分布，即K=0，则有HH或en(H-H)=0=1t2t21此时，当两种媒质线性且各向同性，恒定磁场的折射规律为tgtg1122铁磁媒质的边界条件：设>>，由恒定磁场折射定律，必有0，即122B1n=B2n；HH2t0=1t这表明在铁磁媒质与空气分界面的空气侧，磁力线几乎垂直于铁磁表面。4.5标量磁位标量磁位的引入：在无源区，中H=0。这表明在无源区磁中场是无旋的，可以仿照静电场那样引入一个标量磁位函数，即mHm式中，标量磁位的单位是安培(A)。若选定Q点为标量磁位参考点，即=0，mQ则任意点P的标量磁位为QHdlmPP需要特别注意的是标量磁位的使用仅限于无电流分布的区域。此外，标m量磁位与标量电位不同，它不具有任何物理意义。与矢量磁位一样，它纯m粹是为了计算方便而引入的一个辅助标量函数。磁压的概念：标量磁位的等值面（线）称为等磁位面（线），等磁位面（线）处处与B线正交。也可以用等磁位面（线）的分布描绘磁场的分布。类比于静电场的电压定义，空间M点和N点之间的磁压定义为NUHdldmNmMNmmMmNMmM可见，两点的磁压即为两点的标量磁位之差。应该指出，当磁场中存在电流分布时，两点间的磁压不仅与该两点的位置有关，而且还与积分路径相关。如图所示，如取一与电流I相互交链的闭合路径PnQmP，由安培环路定律，有HdlIMnMnNmM将上式写为HdlHdlImrIMnNMmN如取积分回路交链电流k，次则HdlHdlkIN图MrNMmN显然，M、N两点间磁压与所取积分路径关。这说明在存在电流的区域，即使在中选定了标量磁位的参考点，其标量磁可以是多值函数。S相磁场+m_m位仍l为解决在电流区域中应用标量磁位值性问题，一般采用磁屏障的方法。如的多I图所图示，规定积分路径l不许穿越载流回路所限定的某一曲面S(磁屏障)，这样就保证了两点之间磁压与积分路径无关。标量磁位的泛定方程：将标量磁位和媒质的构成方程代入B=0，得()00m如果媒质均匀，得20m位满足拉普拉斯方程。m可见，标量磁4．6矢量磁位由亥姆霍兹定理，磁感应强度B(r)应为B(r)(r)A(r)式中1BrdV0(r)4BrrrV1rrJJrcrArdVdVcdV00444RVVV式中A称为矢量磁位。在SI单位制中，矢量磁位的单位是韦伯/米(Wb/m)。需要说明的是矢量磁位A不是一个物理量，不能被测量，仅是一个为简化计算引入的数学上的辅助矢量函数。对于不同形式的电流源，有：JrA(r)4RdV体电流J：0ccV0dS'KrA(r)4R面电流K：线电流I：S'Idl'A(r)4R0l'上段讨论表明，自由空间中任意点的磁感应强度等于该点矢量函数A的旋度。若已知J(r)，可以先计算矢量磁位A，然后再通过计算A旋度计算磁感应c强度B。即JrcB(r)A4RdV0V由矢量恒等式，得Jr11JrJreJrJre()()RR2''cRRRRR2cccc将上式代入B，得JreRdVB(r)4R20cV这正是毕奥—沙伐定律。由该定律可以直接计算电流源在自由空间的磁感应强度B。自由空间中的磁场计算思路一：利用毕奥—沙伐定律直接计算电流源在自由空间的磁感应强度。思路二：先求矢量磁位，再利用B=A，求磁感应强度。此外，在无电流分布的恒定磁场区域中，由于H=0，也可以引入一个类似于静电场标量电位函数的标量磁位m作为辅助函数，以简化恒定磁场的计算。由矢量磁位计算磁感应强度由于元电流矢量产生相同方向的元矢量磁位A，这使得在一些问题中A的计算比B的计算更加简单。例1：计算空气中长度为2L的长直载流导线在空间P点的矢量磁位和磁感应强度。[解]：取圆柱坐标系，由于电流沿z轴方向，故矢量磁位只有z方向分量，即I0zlnL2dzdzIILLAAezzeeLlne00224RL42z2zzL当L>>时，可表示为2I2LlneA0z从而得2IABAeez0与例1结果相符。讨论：从上例可以看出，尽管B的结果与例1相同，在我们给出的标量电位和矢量磁位的计算公式中，均假定电荷和电流分布在有限区域，此时，它们的参考点选择在无限远处。但是，例2不满足这但当L时A不存在。其原因在于，个条件，电流延伸到了无限远，这是，它们的参考点应选择在有限区域内的任意一点。仍以例2为例讨论如下，此时线电流的矢量磁位公式修改为IdlA(r)4R'C0l'式中C为常矢量，取决于矢量磁位参考点的选择。在有限区域内任取一点为磁位参考点，设选与线电流I相距的点为矢量Q0磁位参考点，应有2I2LAQlneC000zI2LlneC2故有0z0P点的矢量磁位为222I2LI2LIAlnelnelne00000zzz相应的磁感应强度为2IABAeez0与上例结果相符。例2：图示无限长直平行输电线，半径为间距大于a、线离为2b且远a。试计算的矢量磁位和穿过输电线间z单位长的磁通量。II[解]：本例为平行平面磁场，故只需计算xoy平面中任一场点PAo(0,-b(0,b,y01Q1022处的矢量磁位即可。由例1且设矢P量磁位参考点位Q，则P点的矢量图磁位为AII0ln010ln02Ae22z12II0ln0ln01e222z102间单位长的磁通量，将矢量磁位参考点选在原点上，则=01为计算穿过输电线02，得Ix2yb2lne2IAln2e004x2yb2zz1穿过输电线间单位长的磁通量为ΦBdSAdSAdlSSl2I(bab)I(bab)I(2baI2baln(bab)22ln(bab)22ln)20ln00044(a)a2另外，也可以应用安培环路定律计算，即()2by2by()2by2by()()IIIIbaΦBS()edS2()dyd0000xSS02II(by)I2ba[ln(by)ln(by)]ln|0lnba0ba002(by)0a与由矢量磁位直接计算结果相同。由本例可以看出：穿过任意曲面S的磁通量也可以直接利用矢量磁位A在该曲面S的曲线l上的环量来计算，曲面S的法线l的绕向满足右手方向与曲线螺旋关系，即ΦBdSAdlSl例3：求图示半径为（磁耦极子）在远处的矢量磁位和磁感a的载流小圆环应强度。[解]：采用图示球坐标系。定义mISa2Iez见A仅有方向分量且与无关，为简化计算，我们将场点选在=0的平面。如图所示取两个电为磁耦极子的磁矩。可流元，得adacosdII0cos0Ar2(,)4R2R00式中11R[(asin)2(rsinacos)2(rcos)2]2(r2a22arsincos)2由于R>>a，有1112a11a1(sincos)2(sincos)rrRrr所以2d(1arsincos)aI0Iacos(1arsincos)cos(,)Ar0dr2r00a2IsinSIsinmerr0004r4r4222(sinA)e1rr(rA)e1BArsinra2Ia2I2m(2cosesine)4r3rcosesine0004r4r3r3矢量磁位的泛定方程基于矢量磁位、麦克斯韦方程和媒质的构成方程，得A的引入AJ0c由矢量恒等式A(A)2A，有(A)2AJ0c由亥姆霍兹定理可知，仅由B=A定义矢量磁位A并不是唯一的，还必须A。为简化分析，A0同时规定A的散度，才能唯一地确定令上式称为库伦规范。这样，有如下矢量泊松方程2AJ0c在无源区中，，则上式成为矢量拉普拉斯方程=0Jc2A0在直角坐标系中，矢量形式的泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为相应的三个坐标分量的方程。但在其它正交曲线坐标系下，矢量的分量一般是相互耦合的。A=BA=0，不难推出如下边界条件矢量磁位表达的边界条件：由于和A=A12e(1A1A)K1n212标量磁位表达的边界条件：类似于静电场标量电位的边界条件的推导，标量磁位媒质分界面上的边界条件为=m1m2m1nm2n12而对应于铁磁媒质与空气分界面，由于铁磁媒质表面为等磁位面，其边界条件为==Cm1m2m1nm2n12磁场的计算例1：在图示含气隙的环形铁芯上紧密绕制N匝线圈，环形铁芯的磁导率为>>，圆环的平均半径为R，线圈半径为a<<R，气隙宽度为d<<R。当线圈载0流为I时，试求铁芯及气隙中的磁感应强度和磁场强度。[解]：设忽略漏磁通，铁芯中B和H的方向沿环形的圆周方向，由于R>>a，铁芯内磁场分布均（此时仅法向分量），匀。由于气隙宽度d<<R，由边界条件有H=H0又应用安培环路定律，得Hd+H(2R-d)=NI解得，铁芯中的磁场强度为NId2RdHr气隙中的磁场强度为NIrd2RdHH0r铁芯和气隙处的磁感应强度为d2RdNIBBr可见在铁芯中，因>>，H=-0。故0图m工程分析中往往将铁磁媒质近似看作一等磁位体，而磁压集中施加在铁芯的气隙处。例2：半径为a的长直圆柱导体内外的磁场。z轴为圆柱导体通有电流密度J。试写出矢量磁位的边值问题并求导体解：选圆柱坐标系，轴线。矢量磁位仅有z方向分量，其边值问题为1ddAd1aa)J,d(01ddA2)0,d(d1dA1dA,2AA0,a1dd0120A有限值，=01解得0J2ClnCA1412AC2lnC34由边界条件，上述四个待定系数为00Ja24Ja22CJa2lnaC0,CC3,,02124JAaa2),0(a241Ja22aA2ln,0由B=A得JBaa无限长载流导线的镜像法。,021Ja202B,2例3：推导图示无限大平面媒质中(a)(b)(c)上半图(a)所示将线电流I放置在媒质中，在媒质分界面上的束缚电流1解：按图分别由图（b）和图（c）的镜像电流I和I表示。由边界条件，得’’’2a2aI''cosIIcos1'cos122aI2aI'I''sinsinsin2a2a解得2I2I，I1I1221例4：设一根载流为I的无限长直导线平行放置图示在半无限大铁磁媒质μ(→∞)上方，导线与铁磁媒质平面间的距离为h。试求在空气和铁磁媒质中的磁场。→∞。由镜2[解]：本例中空气为媒质=，铁磁媒质象法知：10在上半空间，磁场可由均匀媒质中的线电流I和I=I计算如下。在上半空0间任一场强度为点P处的磁II2r2H2ree211rx2(yh)2式中，1rx2(yh)22在边界上场强度为(y=0)，任一点P处的磁I(x2h2)Ix图Hcose(x2h2)ey1/2y线电上述结果再次表明磁力线垂直于铁磁媒质的表面。在下半空间，磁场可由I≈0计算。显然，因I≈0，故铁磁媒质中磁场强能略而不计，其值是度H≈0。但是，磁通连续，所以铁磁媒质中B绝不可I22r222rI2reIe00BHe23033综合以上解答，可以定性地描绘本例的场图如图示。4.8电感与电容、电阻参数类似，电感是反映线圈磁场能量的集总参数，必须通过磁场的分析来计算。1．自感在线性媒质中，线圈的自感定义为自感磁链与其激磁电流I之比，即LI(H)取决于线圈几何形状、尺寸以及媒质磁导率。当载流导体截面较大时，通常又将链分为内磁链和外磁链两i自感磁o部分之和。如图所示，闭合管a的磁通图与载流导体电流I完全交链，构成外磁i链的一部分；而闭合管b则仅与载流导体的部分电流I交链，构成内磁通。o对于这种部分交链的情况，其匝数以载流I为基数，以I应计为分数，其匝比为I/I。于是，内磁链为IdIiS此时，自感L为内自感L与外自感L之和，即ioLioioLLiIIIIo例1：计算图示同轴电缆的单位长自感（设其外壳厚度可予忽略）。[解]：为计算自感，设电缆中电流为I。图同轴链o(1)外磁2Ibln0Ib0d2aoa(2)内磁链i内导体中磁感应强度为BI2I002a2ai22此时，匝比为2I'1IIIa22a222Ia2a2I2a40d03ddBda2ii于是，内磁链2a8Id34Ia00i0最后，得同轴电缆的单位长自感为L241bln0ioLLIaio值得注意，内自感Li仅与圆导体的长度有关，而与半径无关。2．互感在线性媒质中，线圈k与线圈h的互感定义为线圈k上交链的互磁连与kh线圈h的电流I之比，即hMkh(H)khhI同理，线圈k对线圈h的互感定义为Mhk(H)hkkI我们将证明Mkh=Mhk两个线圈的互感取决于他们的形状、尺寸、相互位置和媒质的磁导率。例2：计算图示两对输电线间的单位长互感。图[解]：设导线之间的距离D、D、D和D均远大于导线半径。设在ACADBCBD导线AB(回路1)通有电流I，在导线CD（回路2）交链的互磁通穿过面积CD’和面积C’D，即20IDIdDBdSADdBC'02MASDDACBDID(lnADlnDDBC')IDD(lnADlnDBC)DACBD002D2ACBD单位长互感为MBCBDDDADlnM0I2DDAC3.电感计算的一般公式dll自感：设电流集中在回路的轴线上。r利用矢量磁位A计算外磁链。回路的内周界l为积分路径，外磁链为ldl4Idldl图Adl0rolll则，外自感为4dldl0Lorll当线圈由N匝细导线密绕组成时，则单匝回路上的磁通增大N倍，而该磁通又与N匝回路相交链，故外自感为IoN0dldlN2oLoI4rll可见，此时外自感L与N2正比，为单匝回路外自感N的2倍。o对于内自感，一般均采用近似计算法不。论回路形状如何其，内自感计算可等同于无限长直导线的情况，回路的内自感为线圈l的乘长以度单位长内自感，即Ll08i一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为L=L+L≈Lolio1互感：图示两个回路，设回路2中通电流I，在回路1的轴线上任一点处产生的矢2dl1P量磁位为rI4rdllA2022Pdl2l2在回路1上交链的互磁链为I4dldlI12Adl21022r1P图l1l1l2于是，回路2对回路1的互感为dldlM1212210I4r2l1l2同理可得可见dd2llM2121410Ir1l2l1M=M1221若回路1和回路2分别由N和N匝细导线密绕而成，则互感为12NN0dldl1MM2124r1221l1l2上述计算回路电感的一般公式被称为诺以曼公式。4.9磁场能量与力1．载流回路系统中的磁场能量单个载流回路的磁场能量：设回路电流i从零缓慢增长到终值I，回路磁通链随之由零值缓慢增长到终值，并在载流回路产生感应电压u，在dt内电源作功为dW=uidt，且全部转换为磁场能量储存在磁场中，即dWm=dW=uidt=id=iLdi在线性媒质中，单个载流回路的磁场能量为WdWiLdi21LI221ΨIImm0由上式，若已知单个载流回路的电流及其磁场能量，则可方便地计算该回路的自感为L2WmI2n个载流回路的磁场能量：令各个回路电流均按比例系数为m(0≤m≤1)由零值缓慢增长到终值，在线性媒质中，在某一时刻，各回路电流i(t)m(t)Ik，=k磁链k(t)=m(t)k。在dt内电源在n个载流回路中作功为kknnndWdWitdψtmIdmΨmIΨdmkkkkmk1k1k1该n个载流回路的磁场能量为121nnWdWIΨmdmIΨkkkkmmk1k10在线性媒质中，以k号载流回路为例，其磁链可表示为自感磁链和互感k磁链之和，即LIMIMIMILIMInkKk11k22knnkkkhhkLkMkh1hk代入磁场能量公式，得n个载流回路的磁场能量为W1LI21LI21LI2MIIMIIMII(n1)nn1n21222nn112212121313m1MII1ITLInnnLI2kk22khkhk1k1h1hk式中，I为各载流回路电流列向量L，为载流回路电感矩阵。2．磁场能量密度设各载流回路均单匝回路，且设载流回路为体电流分布，则元电流Idl=JdV。kk注意到求和式化为体积分，则有112AJdVnW2IdAlkkmk1lkV将J=H代入上式，并利用矢量恒等式(HA)=A(H)-H(A)及散度定理，得12112dVHAWmA(H)dVdVHA2VVV121HAdSHBdV2SV11设场域无界，即S为无限大球面，因H∝，A∝，而S∝r，当r→∞时第一2rr2项积分应等于零。因而，有1WHBdVm2V上式表明，磁场能量分布于整个磁场空间中。磁场能量的体密度为w21HBm对于各向同性线性媒质，有1B22wH2m2例1：设圆柱导体的半径为a，计算其单位长度的内电感。I[解]：设圆柱导体电流为，由安培环路定理，得圆柱导体中的磁场强度为IH2a2i圆柱导体内单位长度的磁场能量为2a11II2a22dd000WmHdV222iV因此，单位长度的内电感为8L2WI2m0显然，通过磁场能量计算电感参数是十分方便的。磁场力计算的虚位移法在电磁学中，我们学过两种磁场力的计算方法，即运动电荷受到的磁场力dF=dqvB(又称为洛仑兹力)和元电流Idl受到的磁场力dF=IdlB（又称为安培力）。此外，我们也可以借助磁场能量来计算磁场力。对于恒定磁场，能量平衡方程为dW=dg+dWFgmd表示电源提供的能量，W为广义坐标变化dg而引起的磁场kgm式中，dW=∑Idk能量增量，Fdg为在dg方向上，磁场力作的功。常电流系统：设定载流回路的电流保持不变，Ik=常量，有nd(I)kk1212Id1dWndWgIk常量k12kkmk1这表明电源提供的能量一半作为磁场能量的增量，另一半作为克服磁场力的作功，即FdgdWmIk常量g由此，得FdWWgmmdggIIk常量常量k常磁链系统：设定载流回路的磁链保持不变，常量，有=kFdgdWmk常量g上式表明，磁场力作功所需能量取自于系统磁场能量的减少。得FdWWggmmdg常量k常量k尽管上述计算方式不同，但其值相同，即FWWmmggk常量k常量例1：计算无限长平行载流导体的单位长受到的磁场力。[解]：设导体电流为I，导体半径为节例题知，a，导体轴心距位D。由上其单位长电感为1lnDL4a0载流导体的单位长磁场能量为W1LI22mD，则载流由虚位移法，取广义坐标为导体单位长受到的磁场力为I20W1LF1mI22D2DDIC磁场力（广义力）的正方向为广义坐标D增加的可见两导线在沿线间距D方向，F的作扩展的方向上分别受到磁场力用，即两载流导线相斥。1例2：求图示电磁铁对衔铁的吸力。设铁心截面积为S，空气隙长度为l，并忽略空气隙处边缘效应，认为气隙中磁场均匀分布。[解]：应用虚位移法。由于铁磁材料的相对磁导率远大于气隙，故该电磁铁系统的磁场能量可近似认为存储在两气隙内，即2B2BWm2Sl2SlSl2000电磁力为图电磁铁的起重力FWlB22SmSC00式中，负号表示磁场力的方向与气隙增加的方向相反，也就是说，磁场力是电磁铁作用于衔铁的吸力。第五章边值问题静电场和恒定电场的分析归结为求解相应的泊松方程或拉普拉斯方程。给定边值的泊松方程和拉普拉斯方程有唯一解。三类给定边值：f(s)nf(s)nf(s)f(s)当媒质不均匀时，作为定解条件还需加入辅助边界条件12,1n2n1212如果场域扩展为无界区域，还需提出无限远处的边界条件。微分方程与边界条件一起构成边值问题。5．1分离变量法基本思路：当待求电位函数是二个或三个坐标变量的函数时，分离变量法是直接求解偏微题，其步骤是：首先，结合场域边界形