赏析“勾股定理”新题型

赏析“勾股定理”新题型河南省南阳市宛城区汉冢中学，邢进文，邮编473123 勾股定理是初中数学的重点内容，在各地中考试卷中都占有一定的分量.随着课程改革的进一步深入，出现了许多构思新、重素质、考能力的创新题型，令人耳目一新；它对培养和考查学生的发散能力和综合能力大有裨益. 1、知识融合型例1、如图1，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是.分析：本题需要用到轴对称知识.根据轴对称知识，作出D点关于AB的对称点D′即可，求最短小值要构造直角三角形.解：如图2，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则此时EC+ED的值最小.由轴对称性质知，ED=ED′,BD′=BD=1,∠D′BE=∠ABC=45°,所以∠CBD′=90°.所以EC+ED=EC+ED′=CD′==.即EC+ED的最小值是.点评：将轴对称与勾股定理相结合，是解决平面上两线段之和最短的重要方法. 2、方案设计型 例2、国家电力总公司为改善农村用电电费过高的状况，在全国农村进行电网改造.友谊乡有四个村庄A、B、C、D，恰好位于一个长方形的四个顶点（如图甲）.这个长方形的长为8km，宽为6km.现计划在四个村庄之间架设线路相通.若想找到一点，使这一点到四个村庄的距离之和最短，从而使架设方案最省钱，那么这一点应在什么位置？并求出这四个村庄的距离之和.分析：为使架设方案最省钱，这一点应是长方形ABCD对角线AC与BD的交点.解：设长方形ABCD对角线AC与BD的交点O（如图乙），在长方形ABCD内任取一点P，P不同于O点，则在△PAC和△PBD中，PA+PC>AC=OA+OC,PB+PD>BD=OB+OD，这就是说明所取的O点到四个村庄的距离之和最小.在Rt△ABC中，由勾股定理可得，所以AC=10km,同理在Rt△ABD中，得BD=10km，从而OA+OB+OC+OD=20km.即这点到四个村庄距离之和为20km.点评：在利用勾股定理进行方案设计时，往往用到三角形两边之和大于第三边的结论.3、推断说理型例3、小红在公园里看到一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到20米的池塘中A处.另一只猴子爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果知道两只猴子所经过的距离相等.小红说她知道这棵树的高，你知道她是怎么知道的吗？试着说明你的理由.分析：解题的关键是抓住隐含条件“两只猴子所经过的距离相等”，以此为突破口使问题得以求解.解：设BD=，由题意知：BC+CA=BD+DA，所以DA=30.在RtΔADC中，，解之得：，，所以这棵树的高度为15米. 点评：本题中解答过程中运用了方程的数学思想，勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长度时，可通过设未知数，建立方程进行求解. 4、规律探究型例4、如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积＝_______.分析：求解这类题目的常见策略是：“从特殊到一般”.即是先通过观察几个特殊的数式中的变数与不变数，得出一般规律，然后再利用其一般规律求解所要解决的问题. 解：由勾股定理、正方形的面积计算公式易求得：，，，，照此规律可知：，观察数1、2、4、8、16易知：，于是可知，因此，. 点评：本题是一道探索勾股数的规律的试题，能考查学生观察、分析、类比、猜想和论证等能力. 5、实践应用型例5、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（≈1.732）分析：先构造出以AC、BC为斜边的直角三角形，然后结合题意分析出这个直角三角形的两直角边长．解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，由题意可得∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，∴∠CBA＝∠BCD，∴BD＝CD．在Rt△ACD中，∠CAB＝30°，∴AC＝2CD．设CD＝DB＝x，∴AC＝