平面向量与复数提升卷(理)

单元检测五 平面向量与复数(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷 (选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间 100分钟，满分 130分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足iz＝3＋4i，则|z|等于()A．1B．2C.5D．5答案D解析3＋4i＝4－3i，因为z＝i＝－(3＋4i)i所以||＝42＋－32＝5.z2．若z＝(1＋i)2z1)12A．1＋iB．－1＋iC．1－iD．－1－i答案B解析∵z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，z12i2i1＋i－2＋2i∴＝＝＝＝－1＋i.z21－i1－i1＋i23．设平面向量＝(－1,2)，＝(2，)，若∥，则|＋|等于()mnbmnmn5B.10C.2D．35答案A解析由m∥n，m＝(－1,2)，n＝(2，b)，得b＝－4，故n＝(2，－4)，所以＋＝(1，－2)，故|＋|＝5，故选A.mnmn→→→→→4.如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，点A，B，C在一条直线上，且AC＝－4CB，则()1A．c＝21a＋23bB．c＝23a－21b14C．c＝－a＋2bD．c＝－3a＋3b答案D→→→1→→1→→4→1→41解析c＝OB＋BC＝OB＋3AB＝OB＋3(OB－OA)＝3OB－3OA＝3b－3a.故选D.5．设向量a＝(x,1)，b＝(1，－3)，且a⊥b，则向量a－3b与b的夹角为()ππ2π5πA.6B.3C.3D.6答案D解析因为a⊥b，所以x－3＝0，解得x＝3，所以a＝(3，1)，－3b＝(0,4)，a则cos〈a－3b，b〉＝a－3b·b－4335π＝＝－，所以向量a－3b与b的夹角为，|－3|·||4×226abb故选D.→→→A，B，C三点共线(O为该直6．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a2019OC，且线外一点)，则S2019等于()2019A．2019B．2020C. 2 D．1010答案C解析→→→＝1，所以S＝2019(a＋a)＝201912019120192019120192，故选C.7．设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由·＝|a|||，得cos〈，〉＝1，所以a∥；反之，∥不能推得cos〈a，〉abbabbabb＝1，所以“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件，故选B.1→→→→8.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝3，DC＝2BD，则AD·BC的值为()A．2B．－2C．3D．－32答案B解析→·→＝(→＋→·→→2→→→2→→→＝2→1→→)＝AC＋CB·＝AC＋AB－ACAB＋AC·(－ADBCACCDBC3BC3·BC33AC2→21→→1→2AB)＝－|AB|＋AB·AC＋|AC|333＝－6＋1＋3＝－2，故选B.9．已知a＝(2，cosx)，b＝(sinx，－1)，当x＝θ时，函数f(x)＝a·b取得最大值，则πsin2θ＋4等于()722272A.10B.10C．－10D．－10答案D解析f(x)＝·＝2sinx－cosx＝5sin(x－φ)，其中sinφ＝1，cosφ＝2，θ－φab55＝2kπ＋π，k∈Z，解得θ＝2kπ＋π＋φ，k∈Z，所以sinθ＝cosφ＝222，cosθ＝－sinφ514232θ＋π＝－5，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－5，cos2θ＝1－2sinθ＝－5，所以sin4＝272(sin2θ＋cos2θ)＝－10，故选D.210.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，→→→→BE·CE＝2，BF·CF＝－1，则→·→等于()BACAA．5B．6C．7D．8答案C解析→→→2→2→2→2→→→2→2→2→2BE·CE＝ED－BD＝4FD－BD＝2，BF·CF＝FD－BD＝－1，所以FD＝1，BD＝2，因→→→2→2→2→2此BA·CA＝AD－BD＝9FD－BD＝7，故选C.11．(2018·西宁检测)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于()A．6B．－8或83C．－8D．8答案D解析cosθ＝a·b＝－6＝－3，且θ∈[0，π]，则sinθ＝4，则|a×|＝|a|·||sinθ|a||b|1055bb410×5＝8，故选D.→→M的直线分别交射线AB，AC于不同的两点→→12．在△ABC中，CM＝2MB，过点P，Q，若AP＝mAB，→→)AQ＝nAC，则mn＋m的最小值为(A．63B．23C．6D．2答案D→2→1→解析由已知易得，AM＝3AB＋3AC，2→1→AM＝AP＋AQ.3m3n又M，P，Q三点共线，1＋＝1，3m3n2n∴m＝3n－1，易知3n－1>0.2nmn＋m＝m(n＋1)＝3n－1·(n＋1)24＝93n－1＋3n－1＋5≥2，当且仅当m＝n＝1时取等号．∴mn＋m的最小值为 2.第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若复数(a＋i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是________．答案－1解析因为复数(＋i)2＝(2－1)＋2i，aaa所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a)．又因为该点在y轴负半轴上，所以有a2－1＝0，解得a＝－1.2a<0，14．(2018·石家庄检测)已知若对任意一个单位向量e，满足(a＋b)·e≤2成立，则a·b4的最大值是________．答案 1解析 (a＋b)·e＝|a＋b|·|e|cos〈a＋b，e〉≤|a＋b|≤2，当且仅当a＋b，e同向共线时取等号，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2≤4，a·b＝x1x2＋y1y2≤x＋x2＋y22y2≤×4＝1，当且仅当x＝x，y＝y时取等号，故a·b111444的最大值是1.15．欧拉在1748年给出了著名公式iθθ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式e＝cosθ＋isin之一，其中，底数e＝2.71828，根据欧拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ，任何一个复数z＝r(cosθ＋isinθ)，都可以表示成z＝reiθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，ππz1iiz＝________象限．若复数z1＝2e3，z2＝e2，则复数在复平面内对应的点在第z2答案四iπcosππ解析因为z1＝2e3＝23＋isin33i，ziπππ＝1＋＝e2＝cos＋isin＝i，222所以z＝z＝1＋3i＝1＋3i－i＝3－i.1z2ii－i复数z在复平面内对应的点为Z(3，－1)，点Z在第四象限．→→→S，12S1＝______.SS2答案16解析设E为AB的中点，连接OE，延长OC到D，使OD＝4OC，因为点O为△ABC内一点，且满足→＋→＋4→＝0，所以→＋→＋→＝0，则点O是△的重心，则，，，D共线，OAOBOCOAOBODABDEOC∶＝2∶1，所以∶＝1∶2，则∶＝3∶2，则1＝1△BCE＝1△ABC，所以S＝1.ODOEOCOECEOES3S6S1S26三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)在平面内一点→→→A为直角，试求实数t的D满足OD＝AB－tOC，若△ACD为直角三角形，且值．解→→，(1)由题意得AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)5→→→→，故AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)所以|→＋→|＝210，|→－→|＝42，ABACABAC故所求对角线的长分别为210，42.(2)由题设知→＝→－→＝(3＋2t,5＋)，ODABtOCt故D(3＋2t,5＋t)，→则AD＝(2t＋4，t＋7)．由△ACD为直角三角形，且→ →得AD·AC＝0，

πA＝2，即(2t＋4，t＋7)·(－1,1)＝0，解得t＝3.所以满足题意的实数 t的值为3.18．(12分)已知a＝(3，－2)，b＝(2,1)，O为坐标原点．(1)若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，求实数m的取值范围；(2)→→设OA＝a，OB＝b，求△OAB的面积．解(1)∵a＝(3，－2)，b＝(2,1)，ma＋b＝(3m＋2，－2m＋1)，a－2b＝(－1，－4)，令(ma＋b)·(a－2b)<0，6即－3m－2＋8m－4<0，解得m<5，11∵当m＝－2时，ma＋b＝－2a＋b，a－2b与ma＋b方向相反，夹角为平角，不合题意．1∴m≠－2，∴若ma＋b与a－2b的夹角为钝角，m的取值范围为－∞，－1∪－1，6225.(2)设∠AOB＝θ，△OAB面积为S，1则S＝2|a|·|b|sinθ，22a·b2∵sinθ＝1－cosθ＝1－|a|·|b|，∴4S2＝|a|2|b|2·sin2θ222＝|a||b|－(a·b)＝65－16＝49.67∴S＝2.→ →19．(13分)如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点 (不包含端点)，且满足AP＝λPB.1→→→(1)若λ＝2，用向量OA，OB表示OP；(2)→→→→若|OA|＝4，|OB|＝3，且∠AOB＝60°，求OP·AB取值范围．1→→→1→→解(1)∵AP＝2PB，∴OP－OA＝2(OB－OP)，∴3→＝→＋1→，即→＝2→＋1→.2OPOA2OBOP3OA3OB→→→→→→，(2)∵OA·OB＝|OA|·|OB|·cos60°＝6，AP＝λPB(λ>0)∴→－→＝λ(→－→)，(1＋λ)→＝→＋λ→，OPOAOBOPOPOAOB∴→＝1→＋λ→.OP1＋λOA1＋λOB→→→∵AB＝OB－OA，→→1→＋λ→→→∴OP·AB＝1＋λOA1＋λOB·(OB－OA)1→2λ→21λ→→＝－1＋λOA＋1＋λOB＋1＋λ－1＋λOA·OB－16＋9λ＋6－6λ3λ－1013＝1＋λ＝1＋λ＝3－1＋λ.13∵λ>0，∴3－1＋λ∈(－10,3)．→→．∴OP·AB的取值范围是(－10,3)20．(13分)已知向量m＝3sinx，1，n＝cosx，cos2x444