明明的探究之旅张建敏

明明的探究之旅——“开放探究”山河南张建敏山峰概况“开放探究”之山，峰峦叠嶂，关卡重重，攀峰过关风光无限，既包括条件开放探究型，结论开放探究型，还包括解（证）法开放探究型.每种探究型问题均由2022年中考真题构成.题型上有选择题、填空题,也有解答题和证明题.每个题涉及的知识点一般都在两个以上,具有较强的综合性,有的就是中考压轴题.这就要求攀峰过关者数学基础知识扎实,探究思维灵活,既具有一定的深度,又具有一定的广度.登此峰过此关是智者的首选,是打算在中考数学考试中夺冠者的必由之路.经过前几次攀登知识山峰历炼的明明,一边揣摩山峰自然概况,一边为登峰过关做着充分的准备.智勇闯关明明对照探索宝典,针对道道关卡探究题型的特点,制定了详实周密的登峰过关计划，信心十足的开始了他的又一次冒险之旅！类型1.条件开放探究型(1)险峰介绍:这类问题主要考查攀峰过关者依据问题结论,探究可以推得结论的尽可能多的条件的能力.通常只给出问题的结论，让其分析探索结论成立应具备的条件，而满足结论的条件均不唯一.(2)通关攻略:解答条件开放探究型问题，需要善于从问题的结论出发,逆向追索,多途寻因，补充或推导条件.(3)冒险实录例1.(天津)如图1，已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是____.思路点拨:因为AC=FE,BC=DE,如果根据“边边边”，判定△ABC≌△FDE，则需要添加的条件是：AB=FD,或者AD=FB;如果根据“边角边”，判定△ABC≌△FDE，则需要添加的条件是：∠C=∠E.因此，需添加的条件是：AB=FD,或者AD=FB，或者∠C=∠E.例2.(连云港)若关于x的方程x2-mx+3=0有实数根，则m的值可以为____(任意给出一个条件即可).思路点拨:由根与系数的关系值(-m)2-4×1×3≥0，即m2≥12时已知方程有实数根，也就是说当m≤-2或者m≥2时，已知方程有实数根.因此,m的值可以为小于或等于-2或者大于或等于2的任意数,例如,-2,或者2,或者-4，或者5等等.例3.(甘肃)如图2，∠BAC=∠ABD.(1)要使OC=OD,可以添加的条件为:____或____(写出两个符合题意的条件即可).(2)请选择(1)中你所添加的一个条件,证明OC=OD.思路点拨:(1)答案不唯一.如∠C=∠D,或者∠ABC=∠BAD,或者∠OAD=∠OBC,或者AC=BD.(2)答案不惟一.如选AC=BD证明OC=OD.证明:∵∠BAC=∠ABD,∴OA=OB.又AC=BD,∴AC-OA=BD-OB,或者AO+OC=BO+OD.∴OC=OD.类型2.结论开放探究型(1)险峰介绍:这类问题主要考查攀峰过关者依据已知条件,探索结论的能力.这种问题一般只给出问题的条件,求解者从已知条件出发,可以推出多个结论,根据题目的要求写出确定的解.(2)通关攻略:解答结论开放探究型问题，需要善于从已知的条件出发,顺向思考,执因索果,根据具体要求写出结论.(3)冒险实录例4.(陕西)如图3，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°.若点m是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件要求的点m有（）图3个个个个图3思路点拨：符合条件的点M有4个：（1）以弦AB为底边，点M在优弧eq\o(APB,\S\UP5(︵))上，是腰MA与MB的交点，顶角∠AMB=∠APB=50°；（2）以弦AB为底边，点M在劣弧EQ\O(AB,\S\UP5(︵))上，是腰MA与MB的交点，顶角∠AMB=130°；(3)以弦AB为一腰，点m是腰AM与底BM的交点，底角∠AMB=∠ABM=50°；（4）以弦BA为一腰，点m是另一腰BM与底AM的交点，底角∠BAM=∠BMA=50°.因此，答案为：D.例5.(日照)一次函数y=x+4的图像分别交x轴、y轴与A、B两点，在x轴上取一点C，使三角形ABC是等腰三角形，则这样的点C最多有____个.思路点拨:为便于说明,不妨画图4说明如下:因为，A点为（-3,0），B点为（0,4），由勾股定理易知AB=5.于是可知，符合要求的点有4个：（1）如图，若以AB、AC为腰则在x轴上可取的点有两个：C1（-8,0），C2（2,0）；（2）如图，若以BA、BC为腰则在x轴上可取的点为C3（3,0）；（3）如图，若以AC、BC为腰，C点为AB的垂直平分线与x轴的交点，由勾股定理易得其横坐标为，则其坐标应为C4（,0）.例6.(重庆潼南)三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是____.思路点拨：解已知方程易得x1=4,x2=2.因为每条边的长都是已知方程的根，所以，三角形的周长为2+2+2=6，或者4+4+4=12，或者4+4+2=10.因此，答案为：6或者10或者12.例7.(玉溪)如图5，是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面坐标系中的图像，根据图形判断：①c>0;②a+b+c<0;③2a-b<0;④b2+8a>4ac中正确的是（填写序号）____.思路点拨：由图中的抛物线和y轴负半轴相交知c<0,故①错误.当x=1时，y<0，即a+b+c<0,故②正确.由图中抛物线的开口向上知a>0,所以，2a>o;由图中抛物线的位置知,->0,所以b<0,所以2a-b>0,故③错误.因为图中抛物线与x轴有两个交点，所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的根，于是知b2-4ac>0,所以，b2>4ac,因为8a>0,因此，b2+8a>4ac，故④正确.因此，可填的序号为：②和④.例8.已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（）或-2或-1(K>0(K>0)(K<0)由题意知k<0时,围成的四边形为ABCD；k>0时围成的四边形为A1B1CD.易知kx-3=3①,kx-3=-1②.由①式可知A点坐标为A（，3），A1（-，3）；由②式可知B点的坐标为B（，-1），B1（-，-1）.因此,当k<0时，S四边形ABCD=(BC+AD)×DC=12.即[1+(-)+1+(-)]×[3-(-1)]=12，解得k=-2.当k>0时，S四边形A1B1CD=(BC+AD)×DC=12.即[（-1）+（-1)]×[3-(-1)]=12，解得k=1.故k=1或者k=-2.因此，答案为A.例9.（福州）郑老师想为希望小学四年级（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元.用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后.余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品.共有哪几种购买书包和词典的方案?思路点拨:(1)设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为（x-8）元.由题意可得方程3x+2（x-8）=124，解得x=28.所以，x-8=20.因此,每个书包的价格为28元,每本词典的价格为20元.(2)设购买书包y个，则购买词典（40-y）本．由题意可得不等式组解得10≤y≤.因为，y取整数，所以y的值为10或11或12.所以，由以下三种购买方案：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本.类型3.解（证）法开放探究型(1)险峰介绍:这类问题主要考查攀峰过关者依据已知条件,探索解（证）题方法不惟一或解（证）题路径不明确的问题.(2)通关攻略:解(证)这类问题，需要善于从已知条件出发,执因索果,发散思维,优化解(证)题方案和过程.(3)冒险实录①②例10.（丽水）解方程组 ①②思路点拨：分别用加减消元法和代入消元法求解.解法一：①+②，得5x=10，∴x=2.把x=2代入①，得4-y=3.∴y=1.∴原方程的解是解法二：由①，得y=2x-3.③把③代入②，得3x+2y-3=7.∴x=2.把x=2代入③，得y=1.∴原方程的解是例11．（宁德）据宁德网报道：第三届海峡两岸茶业博览会在宁德市的成功举办，提升了闽东茶叶的国内外知名度和市场竞争力，今年第一季度茶青（刚采摘下的茶叶）每千克的价格是去年同期价格的10倍.茶农叶亮亮今年种植的茶树受霜冻影响,第一季度茶青产量为千克,比去年同期减少了千克,但销售收入却比去年同期增长8500元.求茶农叶亮亮今年第一季度茶青的销售收入为多少元?思路点拨:用两种不同的设法求解.解法一:设去年第一季度茶青每千克的价格为x元，则今年第一季度茶青每千克的价格为10元,茶农叶亮亮今年第一季度茶青的销售收入为×10x元.由题意得+x+8500=×10x.解得x=5.因此，×10x=×10×5=9930.答:茶农叶亮亮今年第一季度茶青的销售收入为9930元.解法二:设今年第一季度茶青的总收入为x元。依题意得，解得x=9930.答:茶农叶亮亮今年第一季度青茶的总收入为9930元.例12.(南通)将一批490吨的货物分配给甲、乙两船运输.现甲、乙两船已分别运走其任务数的、，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨.求分配给甲、乙两船的任务数各多少吨？思路点拨：分别用一元一次方程和二元一次方程组求解。解法一：设分配给甲船的任务为x吨，则分配给乙船的任务为（490-x）吨.由题意得x+(490-x)=30，解得x=210。所以，490-x=280.答:分配给甲船的任务为210吨，则分配给乙船的任务为280吨.解法二:设分配给甲船的任务为x吨，则分配给乙船的任务为y吨.由题意得解这个方程组得答：分配给甲船的任务为210吨，则分配给乙船的任务为280吨.例13.（南通）自编一道应用题，要求如下：(1)路程应用题.三个数据100、、必须全部用到，不添加其他数据。(2)只需编题，不必解答.思路点拨:分别编出所求量不同的应用题.①已知A、B两地相距100km，甲从A地到B地，走了全程的；乙从B地到A地，走了全程的.求甲、乙两人还相距多少千米?②甲从A地到B地，乙从B地到A地，甲走了全程的，乙走了全程的，甲比乙多走100km，求A、B两地之间的距离.例14.(苏州)如图7，在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=是AB上的一个动点(异于A、B两点)，过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N.设AP=x.（1）在△ABC中,AB=____；（2）当x=____时，矩形PMCN的周长是14.（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明.思路点拨：（1）由勾股定理易得AB===10.（2）由题意知2（MC+CN）=AC+BC,∴MC+CN=(AC+BC)=AC+BC=4+3,即点M、N分别是AC、BC的中点,AM=4,PM=3.由勾股定理可得x==5.（3）有两种判断方法：用证全等与面积计算的方法判断或单用计算的方法判断.方法一：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠AMP=∠PNB=90°.∵AC△AMP∽△PNB,∴当P为AB中点,即AP=PB时,△AMP≌△PNB.∴此时S△AMP=S△PNB=×AM×MP=×4×3=6,而S矩形PMCN=PM×MC=4×3=12.∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等的x的值.方法二：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠AMP=∠PNB=90°.∵在