【对应线代】行列式计算种技巧种手段

#/9行列式计算7种技巧7种手段【说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本，最常用的工具,记为det（A）.本质上，行列式描述的是在n维空间中，一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此，本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此，供已具有行列式学习基础的读者阅读7种技巧：【技巧】所谓行列式计算的技巧，即在计算行列式时，对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式，由此可知，运用技巧只能化简行列式，而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=DTaa・・・aaa・・・a11121n1121n1aa・・・aaa・・・a21222n=1222n2******■■■■■■••••••aa・・・aaa・・・an1n2nn1n2nnn技巧2:互换行列式的任意两行（列），行列式的值将改变正负号aa・・・aaa・・・a11121n21222naa・・・aaa・・・a21222n=11121n******■■■■■■••••••aa・・・aaa・・・an1n2nnn1n2nn技巧3:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面baba・・・baaa・・・a11111211n11121nbaba・・・baaa・・・aInlb22122222n=21222n■■■■■■ni=1baba・・・baaa・・・ann1nn2nnnn1n2nn技巧4：行列式具有分行（列）相加性a11a12・・・a1na11a12・・・a1na11a12…a1nb+cb+c・・・b+c=bb・・・b+cc…c11 1112 12tn tn1112tn1112tn*********■■■■■■■■■•••••••••aa・・・aaa・・・aaa…an1n2nnn1n2nnn1n2nn技巧5：将行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数k后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变

aa11 12asnatna11aa11 12asnatna11a+kas1 11a12a+kas2 12a+kasntnatnannaaannnn n1技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积a…a011 1maa・・・aaa・・・a0・・・011m1mm=:c・・・cb・・・b111m111na••••m1c・・・cb・・・bn1nmn1nnammbiibnn技巧7：［拉普拉斯按一行（列）展开定理］行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和D=ED=EaA(i=1,2,…,n)ikikk=1=EaA(j=1,2，…,n)kkkjk=1.7种手段：【手段】所谓行列式计算的手段，即在计算行列式时，观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型，就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算aa1112=aaaa1112=aaa112122aaa111213aaa212223aaa313233a—aa22 1221=aaa+aaa+aaa112233122331132132—aaa—aaa—aaa112332 122133 132231手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零，则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂（常见于计算机程序和数学软件）\o"CurrentDocument"a a11 12\o"CurrentDocument"a a\o"CurrentDocument"a a11 12\o"CurrentDocument"a a定义：21 22a1na2nannzp1p2…pn(—1)t(p1p2…pn)a a1p12p2…anpn运用数学软件Matlab按定义计算4阶行列式:>symsabcdefghijklmnop>A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p]A=[a,b,c,d][e,f,g,h][i,j,k,l][m,n,o,p]>det(A)ans=入a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b*l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p+i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g入a110a12a22…a1n…a2n』aa11a21，:0a22：・・・・・・00：=FIa：:•iii=1•i=100・・・aaa・・・annn1n2nn手段3:上三角行列式，下三角行列式，主对角线行列式，副对角线行列式1A. =入入…入（其余未写出元素均为零）,12n入n入1.A =（-1）nV入入…入（其余未写出元素均为零）.・ 12n入n手段4：若行列式中有两行（列）对应元素相等，则此行列式的值等于零手段5：若行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式的值为零手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例，则此行列式的值等于零akaeibkbckcdkd手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式TOC\o"1-5"\h\z1 1xx1 2X2 X22n>i>j>1Xn-1Xn-1 XXn-11 2三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段，本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算，则可直接得出答案，否则，一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简，使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式，再得出答案.读者在利用7种技巧时，要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值：习题1:TOC\o"1-5"\h\z1 2 0-1 1 -43 -1 8解答：2 0-11-4=1x1x8+2*(一4)*3+0*(-1)义(-1)-0x1x3-2义(-1)*8-1x(-4)*(-1)=-43 -1 8序段1]习题2:0 b f 00 0 0 da 0 0 00 0 c e解答:

£(一1>(p1p2p3p4)a aaaP11p22p33p44plp2P3P4观察行列式中元素0的位置及由4级排列中各数不能相等知,P=3,p=1,p=4,p=2,t(pppp)=t(3142)=3,1 2 3 4 12340bf0因此0a因此0a=(-1)3aaaa=-abcd0 0 31124324[手段2]131131171二011111151习题3:1 2 356791011131415解答：1 2 356791011131415[技巧5,手段4]

481216418c-c512c2-J9161^^|13习题4:TOC\o"1-5"\h\z3 -3 3 x-33 -3 x+3 -33 x-3 3 -3x+3 -3 3 -3解答:3 -33 -33x-3x+3 -311=x11-3-3x—3-33x+3333x+333x-3x-3L+£cx-3x-3x-3-3x—3-33x+333x—3-3-3-3x-3L-r1-33x—3-32100x一xr-rx-3310x0一xr-r-341000一x1-33x—30x0一x00x一x000一xr—r-x=x43［技巧2,技巧3,技巧5,手段引习题5:ababab121314ababab222324ababab233334ababab243444ab11ab12ab13ab14解答:按第一列展开,1

abi:ab13abab12ab22abab13ab23abab14ab24ab34ab44abababababababababababab222324121314121314121314ababab一abababab+abababab一abababab233334122333341322232414222324abababababababababababab243444243444243444233334abababababab1444有两行元素成比例，因此值为0,和412ab22ab2413ab23ab341412ab22ab2313ab23ab3314ab24ab34=ab।।bbbbbbbbb2 3 42 3 42 3 4aabbababab一a2bbababab=(aabb一a2bb)ababab121423 33 3412423 33 341214 12423 33 34a aaa aaa aa由于行列式4234234234ab2，ab4LD==(aabb一a2bb)(aabb+aabb-aab2一a2bb)121412434232334243324TOC\o"1-5"\h\z=ab(ab一ab)[ab(ab-ab)+ab(ab一ab)]14 21 12 43 32 23 34 23 32=ab(ab一ab)(ab一ab)(ab一ab)14 21 12 32 23 43 34二一ab(ab一ab)(ab一ab)(ab一ab)14 12 21 23 32 34 43=-ab131(ab14ii+1一ab)i+1ii=1[技巧7,手段1,手段6]习题6:a4(a—1)4(a—2)4(a—3)4(a—4)4a3(a一1)3(a—2)3(a—3)3(a—4)3a2(a一1)2(a—2)2(a—3)2(a—4)2aa—1a—2a—3a—411111解答:

将行列式上下翻转后再左右翻转，不难得11111aa—1a—2a—3a—4D=(-1)4+3+2+1a25(a-1)2(a-2)2(a-3)2(a-4)2a3(a-1)3(a—2)3(a-3)3(a-4)3a4(a-1)4(a-2)4(a-3)4(a-4)411111a—4a—3a—2a—1a=(-1)4+3+2+1(-1)4+3+2+1(a-4)2(a-3)2(a-2)2(a-1)2a2(a-4)3(a-3)3(a—2)3(a-1)3a3(a-4)4(a-3)4(a-2)4(a-1)4a4=4!3!2!1!=288[技巧2,手段7]习题7:x-10…000x-1・・・0000x・・・00••••••••••,,,,,000・・・x-1aaa・・・ax+ann-1n-22解答:按第一列展开,得D的递推公式n-10…00x-1…00D=xD+a(-1)n+10x…00n n-1n0 0…x-1TOC\o"1-5"\h\znD=xD+an n-1 nD=xD+an-1 n一2 n-1D=xD+an一2 n-3 n-2D=xD+a2 1 2D=x+a। ।将上述各式的两边分别乘以1,x,x2,…,xn-1后全部相加,并化简,得D=xn+axn-1+axn-2+ +ax+an 1