4等差数列各项绝对值的前项和

等差数列各项绝对值的前几项和题1（2021年高考湖北卷理科第18题即文科第20题）已知等差数列1｝前三项的和n为-3,前三项的积为8.（1）求等差数列1｝的通项公式；n⑵假设a2,4,4成等比数列，求数列［an|｝的前n项和.解(1)a-5-3n或a-3n-7.(2)得a-3n(2)得a-3n-7,

n因此a|-<1 (n-2).n 3n-7(n>3)设数列｛设数列｛a1｝的前n项和为Sn得S-4,S-5；当n>3时，得12a+a+a+la+...+a=—(a+a)+(a+a+•.•+a)=-2(a+a)+(a+a+•••+a)=2(1aI+a)+(a+a+•••+a)

1 2 1 2 n1I12 1 2 n八ln 3=2•5+—(-4+3n-7)=—n2-224 (n=1)因此S=[5 (n=2)因此n-n2——n+10(n>3)TOC\o"1-5"\h\z12 24 (n=1)3 11-n2- n+10(n>2)2 2题2（2021年高考浙江卷理科第18题）在公差为d的等差数列｛a｝中，已知a-10,n 1且a1，2a2+2,5a3成等比数列.⑴求d,a；n⑵假设d<0,求IaI+1aI+1aIH bIaI.1 2 3 n答案(1)(d=4,a=4n+6)或(d=-1,a=11—n)n n

1.21--n12+——n1.21--n12+——n2 21n2-21n+110[2 2n<11（那个答案也对：Jn>121,21——n2+——n2 21n2-21n+1102 2n<10).n>11下面研究这种高考题的一样情形等差数列各项绝对值的前n项和.当等差数列1｝是常数列时，问题极易解决.n当等差数列1｝不是常数列时，可不妨设通项公式a=dn-da（d丰0;d,a均是常数)，得[q|二|《|n—a|(|d\>0).来求数列%-a|｝的前n项和T.n设b=n-a，得n(1)当a<1时，|bn|=bn,因此T=T=b+b+・・・+b=1a——2⑵当a〉1时，b<0on<aon<[a]（其中[a]表示不大于实数a的最大整数，n下同）.又当nV[a]时，S=-(b+b+…+b)=-1n2+a-二n1 2J2I2又当n>[a]+1时，T=-(b+b+...+b)+(b+b+...+b)

n 12 a a+a+2 n=-2(b+b+…+b)+(b+b+…+b)1 2 a] 1 2 n1a——2n+[a](2a-[a]-1)1--H221—n2-2(【2)(1)OC一一Tl+n<[a]n>[a]+l在式①的两段表达式中，能够验证第二段表达式对〃=[a]也适合.事实上，这也可由上面取得的等式«S=—2(。+b+…+b「J+S+b+...+/?)"对〃=[a]也适合得出.n 1 2 1a」 1 2 n由以上论述，可得关于等差数列各项绝对值的前〃项和的完整结论：定理(1)当等差数列是常数列时，数列的前〃项和为〃m.(2)当等差数列｝不是常数列时，可设。=成-da(dwO；d,a均是常数)，又设数n n歹｝的前〃项和为s,那么n n①当awl时，S=回(〃2—(2a—1)孔).②当a〉1时,-H(z：2-(2a-l)n)H(n2-(2a-l)n+2[a](2a-[a]-l))、2n<[a]n>[a]+l③当a22时，Sn-H(n2-(2a-l