初一数学竞赛系列训练2

初一数学竞赛系列训练2——特殊的正整数一、选择题1、在整数0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u，则x+y+z+u的值是()A、17B、15C、13D、112、设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是（）A、3n2-3n+3B、5n2-5n-5C、9n2-9n+9D、11n2-11n-113、有3个数，一个是最小的奇质数，一个是小于50的的最大质数，一个是大于60的最小质数，则这3个数的和是()A、101B、110C、111D、1134、两个质数的和是49，则这两个质数的倒数和是()A、B、C、D、5、a、b为正整数，且56a+392b为完全平方数，则a+b的最小值等于()A、6B、7C、8D、96、3个质数p、q、r满足等式p+q=r，且p<q<r，则p的值是()A、2B、3C、5D、7二、填空题7、使得m2+m+7是完全平方数的所有整数m的积是8、如果一个正整数减去54，是一个完全平方数，这个正整数加上35后，是另外一个完全平方数，那么这个正整数是9、一个质数的平方与一个正奇数的和等于125，则这两个数和积是10、p是质数，p2+2也是质数，则1997+p4=11、若n为自然数，n+3，n+7都是质数，则n除以3所得的余数是12、设自然数n1>n2，且，则n1=，n2=三、解答题15、a、b、c、d都是质数，且10<c<d<20，c-a是大于2的质数，d2-c2=a3b(a+b)，求a、b、c、d的值16、求一个三位数，使它等于n2，并且各位数字之积为n-1.17、设n1、n2是任意两个大于3的质数，M=，N=，M与N的最大公约数至少为多少？18、证明有无穷多个n，使多项式n2+n+41表示合数。19、已知p和8p2+1都是质数，求证：8p2-p+2也是质数。初一数学竞赛系列训练2答案1、x=4,y=5,z=4,u=4,故x+y+z+u=17选A2、当n=2时，3n2-3n+3是3的平方，当n=3时，5n2-5n-5是5的平方，当n=4时，11n2-11n-11是11的平方，所以选C3、最小的奇质数3，小于50的的最大质数是47，大于60的最小质数是61，3+47+61=111故选C4、49是奇数，故两个质数中必有一个是偶数2，从而另一个是47，所以故选B5、∵56a+392b=23•7(a+7b)∴a+7b含因子2和7∵要求a+b取最小值，∴取a=7，于是1+b＝2，b=1,∴a+b的最小值为86、除2以外的质数都是奇数，从而r是奇质数，于是p和q必是一奇一偶，又p<q故p=2，选A7、848、设这个正整数为a，由题意得a-54=m2=1\*GB3①，a+35=n2=2\*GB3②，=2\*GB3②-=1\*GB3①得n2-m2=89∴(n+m)(n-m)=89∴解得n=45，m=44从而a=54+442=19909、设a为质数，b为正奇数，则a2+b=125，所以a2必为偶数，从而a为偶数.所以a=2，从而b=121，所以ab=24210、p=3,所以1997+p4=207811、n除以3所得的余数只可能是0、1、2若余数为0，即n=3k，则n+3=3k+3=3(k+1)，n+3不是质数若余数为2，即n=3k+2，则n+7=3k+9=3(k+3)，n+7不是质数所以n除以3所得的余数只可能是112、∵n1与n2是整数，∴n1+n2、n1-n2都是整数，而79是一个质数，由质数的性质，同时注意到n1+n2>n1-n2所以有n1+n2=79、n1-n2=1，解得n1=40，n2=3913、设N==(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)=111(a+b+c)=337(a+b+c)要使N是一个完全平方数，只有a+b+c至少含有3和37这两个因数，由于a、b、c只能取0，1，2，…，9(a≠0)，所以a+b+c≤27<37，所以37∣(a+b+c)是不可能的则对任意的三位数，都不可能成为完全平方数14、∵=11(100x+y)是一个完全平方数，则11∣(100x+y)又∵100x+y=99x+(x+y)，∴11∣(x+y)而1<x+y≤18,∴x+y=11经验证x=7，y=4故所求四位数是7744。15、∵a、b、c、d都是质数，且10<c<d<20，于是c可取11、13、17，而d可取13、17、19，又∵c-a是大于2的质数，所以a=2，注意到c<d，则c=13(1)若d=17，则172-132=8b(2+b)，即b2+2b-15=0∴b=3若b=-5(不合，舍去)。(2)若d=19，则192-132=8b(2+b)，即b2+2b-24=0∴b=4若b=-6(都不合，舍去)。∴a=2，b=3，c=13，d=1716、设三位数为A=100a+10b+c，其中a,b,c为0,1,2,…,9的整数，且a≠0由题意100a+10b+c=n2，abc=n-1，显然c≠0，否则n=1，A=1不是三位数若c为偶数，则abc=n-1也为偶数，则n为奇数，从而n2为奇数，但个位数为偶数，所以这不可能。若c为奇数，由于A是完全平方数，则c只能是1，9，5又由100≤n2<1000，得10≤n≤31,∴9≤n-1≤30,则9≤abc≤30, 当c=9时，1≤ab≤3,则A只能是119，219，129，139，319，这五个数都不是完全平方数。当c=5时，2≤ab≤6,则A只能是125，215，135，315，225，145，415，155，515，165，615，235，325。其中只有225是完全平方数，但是225=152，而225≠15-1所以不合题意。当c=1时，1≤ab≤30,此时三位平方数只有121，361，441一一验证：121=112，121≠11-1，441=212，441≠21-1，361=192，361=19-1所以所求的三位数为361。17、因为n1是大于3的质数，所以n1不是3的倍数且n1是奇数，故可设n1=3k+1或n1=3k+2(k为正整数)。当n1=3k+1时，=(3k+1)2-1=9k2+6k=3(3k2+2k)，所以3当n1=3k+2时，=(3k+2)2-1=9k2+6k+3=3(3k2+2k+1)，所以3又因为n1是奇数，所以又可设n1=2k+1，从而=(2k+1)2-1=4k2+4k=4k(k+1)因为k与k+1是连续的整数，所以84k(k+1)，即8由于3与8互质，所以24，同理24综上所述，M与N的最大公约数至少为24。18、当n=41k(k=1,2,…)时，41n2+n+41，所以n2+n+41是合数19、先研究使得p和8p2+1都是质数的p。若p>