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文档简介

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精（四）不等式选讲1．已知正数x，y满足x2＋y2＝2，求证：x＋y≥2xy.证明∵x>0，y〉0，∴要证x＋y≥2xy,只要证(x＋y)2≥4x2y2，即证x2＋y2＋2xy≥4x2y2.∵x2＋y2＝2，∴只要证2＋2xy≥4x2y2，即证2(xy)2－xy－1≤0，即证（2xy＋1）(xy－1）≤0.∵2xy＋1〉0，∴只要证xy≤1。∵2xy≤x2＋y2＝2,∴xy≤1成立，当且仅当x＝y＝1时取等号．∴x＋y≥2xy。2．已知a，b，c都是正数且abc＝1，求证：(2＋a）（2＋b）（2＋c）≥27。证明由算术－几何平均不等式可得2＋a＝1＋1＋a≥3eq\r（3,a)，2＋b＝1＋1＋b≥3eq\r(3，b)，2＋c＝1＋1＋c≥3eq\r（3，c）.不等式两边分别相乘可得,(2＋a）(2＋b）(2＋c）≥3eq\r(3，a)×3eq\r（3，b)×3eq\r（3，c)＝27eq\r(3，abc）＝27，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立．3．已知函数f(x）＝2|x－2|＋3|x＋3｜。若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求eq\f（1,a)＋eq\f(1,b)的最小值，并求出此时a,b的值．解依题意知，f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－5x－5，x〈－3，，x＋13，－3≤x≤2,,5x＋5，x>2，)）当x＝－3时，函数f(x）有最小值10，故4a＋25b＝10，故eq\f（1，a）＋eq\f（1，b)＝eq\f（1,10)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，a)＋\f（1,b)）)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(4a＋25b))＝eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(29＋\f（25b，a)＋\f（4a，b)）)≥eq\f（1，10)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（29＋2\r（\f（25b，a)·\f(4a，b）)）)＝eq\f(49，10),当且仅当eq\f（25b，a）＝eq\f(4a，b)时等号成立,此时a＝eq\f（5，7），b＝eq\f(2,7）。4．(2018·镇江调研）已知函数f（x）＝｜x－a|＋|x＋a｜,若对任意x∈R，不等式f（x)〉a2－3恒成立,求实数a的取值范围．解∵对任意x∈R,不等式f(x）>a2－3恒成立，∴f(x）min>a2－3，又∵|x－a｜＋|x＋a｜≥|x－a－（x＋a)｜＝｜2a|，∴｜2a|〉a2－3，即｜a|2－2|a|－3<0,解得－1〈｜a｜〈3.∴－3〈a<3。

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