2019高考江苏数学优编增分练：高考附加题加分练（九）数学归纳法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精(九)数学归纳法1．已知数列{an｝满足:a1＝2a－2，an＋1＝aan－1＋1（n∈N＊)．(1）若a＝－1，求数列｛an｝的通项公式；（2）若a＝3，试证明：对∀n∈N*，an是4的倍数．（1）解当a＝－1时，a1＝－4，an＋1＝（－1）an－1＋1.令bn＝an－1，则b1＝－5，bn＋1＝(－1）bn.∵b1＝－5为奇数，∴当n≥2时，bn也是奇数且只能为－1，∴bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－5，n＝1,，－1，n≥2，）)即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4，n＝1，,0,n≥2。）)（2）证明当a＝3时，a1＝4，an＋1＝3an－1＋1。下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数．当n＝1时,a1＝4＝4×1,命题成立；设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，则存在t∈N*,使得ak＝4t，∴ak＋1＝3ak－1＋1＝34t－1＋1＝27·（4－1）4(t－1）＋1＝27·(4m＋1）＋1＝4（27m＋7),其中，4m＝44（t－1）－Ceq\o\al(1，4t－1）·44t－5＋…－（－1)rCeq\o\al(r，4t－1)·44t－4－r＋…－Ceq\o\al(4t－5，4t－1）·4,∴m∈Z，∴当n＝k＋1时，命题成立．由数学归纳法知,对∀n∈N＊，an是4的倍数成立．2．已知数列{an｝满足an＋1＝eq\f(1,2）aeq\o\al（2，n）－eq\f(1，2）nan＋1（n∈N＊），且a1＝3。（1）计算a2，a3,a4的值,由此猜想数列{an｝的通项公式，并给出证明；（2)求证:当n≥2时,aeq\o\al（n,n）≥4nn。（1)解a2＝4，a3＝5,a4＝6，猜想:an＝n＋2(n∈N＊）．①当n＝1时，a1＝3，结论成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，即ak＝k＋2,则当n＝k＋1时，ak＋1＝eq\f(1，2)aeq\o\al（2，k）－eq\f(1，2)kak＋1＝eq\f（1，2）(k＋2）2－eq\f(1,2）k（k＋2)＋1＝k＋3＝(k＋1)＋2，即当n＝k＋1时，结论也成立．由①②，得数列{an｝的通项公式为an＝n＋2（n∈N*)．(2）证明原不等式等价于eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(2,n））)n≥4。显然,当n＝2时，等号成立．当n〉2时，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f（2,n)）)n＝Ceq\o\al（0,n）＋Ceq\o\al（1，n）eq\f（2,n)＋Ceq\o\al(2，n）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，n)))2＋…＋Ceq\o\al（n，n)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，n))）n〉Ceq\o\al（0，n）＋Ceq\o\al(1，n)eq\f(2,n）＋Ceq\o\al(2,n）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2,n））)2＝5－eq\f（2,n）>4.综上所述，当n≥2时，aeq\o\al（n,n）≥4nn。3．已知函数f(x)＝ln(2－x）＋ax在区间（0,1)上是增函数．（1)求实数a的取值范围;(2）若数列{an}满足a1∈(0，1）,an＋1＝ln(2－an）＋an，n∈N*，证明:0〈an<an＋1<1。(1）解∵函数f（x）＝ln(2－x）＋ax在区间(0，1）上是增函数，∴f′(x)＝eq\f（－1，2－x）＋a≥0在区间（0,1）上恒成立，∴a≥eq\f(1，2－x）.又g（x)＝eq\f（1,2－x）在区间（0,1）上是增函数，∴a≥g(1)＝1，即实数a的取值范围为[1，＋∞）．（2）证明先用数学归纳法证明0〈an<1.当n＝1时，a1∈（0，1)成立．假设当n＝k（k∈N*）时，0〈ak〈1成立．当n＝k＋1时,由（1)知当a＝1时，函数f（x)＝ln(2－x)＋x在区间(0，1)上是增函数，∴ak＋1＝f(ak)＝ln(2－ak)＋ak,∴0<ln2＝f（0）〈f(ak)〈f(1）＝1，即0〈ak＋1<1成立,∴当n∈N＊时，0〈an<1成立．下证an〈an＋1。∵0〈an〈1，∴an＋1－an＝ln（2－an）>ln1＝0，∴an<an＋1。综上0<an〈an＋1<1.4．设f（k）是满足不等式log2x＋log2(3·2k－1－x)≥2k－1（k∈N*)的正整数x的个数．（1）求f（k）的解析式；(2）记Sn＝f（1)＋f（2）＋…＋f(n），Pn＝n2＋n－1（n∈N*），试比较Sn与Pn的大小．解（1）∵log2x＋log2（3·2k－1－x）≥2k－1（k∈N*)，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x>0,,3·2k－1－x〉0,，x3·2k－1－x≥22k－1，))解得2k－1≤x≤2k，∴f(k)＝2k－2k－1＋1＝2k－1＋1.(2）∵Sn＝f（1)＋f(2）＋…＋f（n)＝1＋2＋22＋…＋2n－1＋n＝2n＋n－1，∴Sn－Pn＝2n－n2.当n＝1时，S1－P1＝2－1＝1〉0；当n＝2时,S2－P2＝4－4＝0;当n＝3时，S3－P3＝8－9＝－1〈0；当n＝4时，S4－P4＝16－16＝0；当n＝5时，S5－P5＝32－25＝7>0；当n＝6时，S6－P6＝64－36＝28>0.猜想：当n≥5时，Sn－Pn>0.证明如下:①当n＝5时，由上述可知Sn－Pn〉0.②假设当n＝k(k≥5，k∈N＊)时，Sk－Pk＝2k－k2>0。当n＝k＋1时,Sk＋1－Pk＋1＝2k＋1－（k＋1）2＝2·2k－k2－2k－1＝2（2k－k2)＋k2－2k－1＝2(Sk－Pk)＋k2－2k－1>k2－2k－1＝k（k－2）－1≥5×(5－2)－1＝14〉0。∴当n＝k＋1时，Sk＋1－Pk＋1>0成立．由①②可知,当n≥5时，Sn－Pn〉0成立，即Sn〉Pn成立．由