全等三角形几种类型

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-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除全等三角形几种类型(总20页)第一讲第一讲全等三角形与角平分线中考要求中考要求板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛知识点睛全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形≌五边形．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型⑵对称全等型⑶旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．，这种对称的图形应用得也较为普遍，三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．重难点重难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质在、上各取一点、，使，连接、相交于再连结、，若，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．【巩固】如图所示，，，在上，与相交于．图中有几对全等三角形请一一找出来，并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，，，．求证：．(2008年宜宾市)已知：如图，，，求证：．【巩固】如图，、相交于点，且，，求证：．(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知：如图，、、、四点在同一条直线上，，，．求证：．已知，如图，，，，求证：．、分别是正方形的、边上的点，且．求证：．【巩固】、、分别是正方形的、、边上的点，，．求证：．在凸五边形中，，，，为中点．求证：．板块三、截长补短类如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?

【巩固】如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？

如图，AD⊥AB，CB⊥AB，DM=CM=，AD=，CB=，∠AMD=75°，∠BMC=45°，则AB的长为()A.B.C.D.已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE.求证：BE+DF=AE.如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE板块四、与角平分线有关的全等问题如图，已知的周长是，，分别平分和，于，且，求的面积．AADOCB在中，为边上的点，已知，，求证：．已知中，，、分别是及平分线．求证：．已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．如图，已知是上的一点，又，．求证：．(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥【巩固】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．【巩固】在中，，是的平分线．是上任意一点．求证：．如图，在中，，的平分线交与．求证：．如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．【巩固】如图所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证且．【巩固】如图所示，在中，平分，，于，求证．如图，中，，、分别为两底角的外角平分线，于，于．求证：．【巩固】已知：和分别是的和的外角平分线，，，求证：⑴；⑵．在中，、分别是三角形的外角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，【巩固】在中，、分别是三角形的内角、的角平分线，，垂足分别是、．求证：，【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形中，平分，过作，并且，则等于多少？

如图，，平分，平分，点在上．探讨线段、和之间的等量关系．探讨线段与之间的位置关系．版块一、倍长中线已知：中，是中线．求证：．【巩固】(2002年通化市中考题)在中，，则边上的中线的长的取值范围是什么？

如图，中，，是中线．求证：．如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．已知△ABC，∠B=∠C，D，E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证GD=GE．已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形

【巩固】如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证．(年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．版块二、中位线的应用是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．【巩固】已知△ABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC的AB边上的中线．求证CD=2CE已知：ABCD是凸四边形，且AC<BD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点．求证：∠GMN>∠GNM．在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．(“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，是内的一点，，过作于，于，为的中点，求证．(全国数学联合竞赛试题)如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：(1)；(2)．家庭作业家庭作业【习题1】如图，已知，，，求证：．【习题2】点