摩擦角的应用

摩擦角的运用摩擦角指的是：物体在受到摩擦力情况下，物体的滑动摩擦力（或最大静摩擦力），支持面的支持力的方向固定不变，我们将支持力与摩擦力合成为支持面作用力（以下讲到的斜面对物体的作用力或平面对物体的作用力都为此力），则支持面的作用力与支持力的方向成角，而这个角就称之为摩擦角。解析：由摩擦公式:得，即摩擦角引入摩擦的意义：摩擦力与支持面的支持力是成对出现的，引入摩擦角后，可以将这对力合成一个力，在物体的平衡态受力分析中很大程度上起到问题简化的效果。尤其是在物体在四个力作用下保持动态平衡的问题中，引入摩擦角后就可以简化成我们熟悉的三力平衡问题（如：三个力中有一个力确定，即大小、方向不变，另一个力方向确定，这个力的大小和第三个力的大小、方向变化情况待定），这里特别补充说明的是：在物体的三力平衡问题中，作用在物体这三个力合力为0，等效于三力共点，则三力的作用线汇交于一点，即三力汇交。经典例题例1.如图所示，用绳通过定滑轮物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面匀速直线运动，若物块与地面的摩擦因素，滑轮的质量及摩擦不计，则物块运动过程中，以下判断正确的是（）。A.绳子的拉力将保持不变B.绳子的拉力将不断增大C.地面对物块的摩擦力不断减小D.物块对地面的压力不断减小例2.如图所示，倾角45º的斜面上，放置一质量m的小物块，小物块与斜面的动摩擦因素，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施加一力，该力最小时大小与方向是（）。A.，与水平成15º斜向右B.，竖直向上C.，沿斜面向上D.，水平向右例3.水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（）A.F先减小后增大B.F一直增大C.F的功率减小D.F的功率不变例4.如图所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面的动摩擦因素，想用力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平夹角在什么范围内事可能的？1．如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．物块与桌面间的动摩擦因数为()A．2－B．C．D．2．如图所示，有一倾角=30°的斜面B，质量为M。质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由零逐渐增加至mg再逐渐减为零的过程中，A和B始终保持静止。对此过程下列说法正确的是A．地面对B的支持力先增大后减小，再不变B．A对B压力的最小值为mg，最大值为mgC．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为2mgD．A所受摩擦力的最小值为mg，最大值为3mg3．一只质量为m的蚂蚁，在半径为R的半球形碗内爬行，爬到距碗底高的A点停下来，再也爬不上去，设碗内每处的动摩擦因数相同，那么碗内的动摩擦因数为（）A．B．C．D．4．拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0。5．一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，图所示，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。6．在水平面上放有一质量为m的物体，物体与地面的动摩擦因数为μ，现用力F拉物体，使其匀速运动，怎样施加F才能最小。7．如图所示，一物块置于水平地面上。当用于水平方向成60°角的力F1拉物块时，物块做匀变速直线运动；当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时，物块仍做匀速直线运动。若F1和F2的大小相等，则物块与地面之间的动摩擦因数为（）B.C.D.8．如图所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固体斜面上。滑块与斜面之间的动摩擦因数为。若滑块与斜面之间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，则将滑块由静止释放，如果，滑块将下滑给滑块沿斜面向下的初速度，如果，滑块将减速下滑用平行于斜面向上的力拉滑块向上匀速滑动，如果，拉力大小应是2mgsin用平行于斜面向下的力拉滑块向下匀速滑动，如果，拉力大小应为mgsin9．如图所示，一质量m=0.4kg的小物块，以v0=2m/s的初速度，在于斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2s的时间物块又A点运动到B点，A与B之间的距离L=10m。已知斜面倾角，物块与斜面之间的动摩擦因数。重力加速度g取10m/s2.求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小，最小值为多少。例1.解析：如图所示，取物体O点，作力的三角形。重力为有向线段①，从该线段箭头端点做地面作用力的作用所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列的有向线段③，它们就是绳子拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势。由知力三角形中①和②的夹角小于45º，初始状态绳子拉力与水平呈45º，力三角形中③和①的夹角从45º开始慢慢减小，图3中θ<90º，不难得出结论：绳子的拉力不断增大，地面的作用力不断减小，由图1易知，地面支持力与摩擦力均随之减小，所以BCD正确。例2.解析：由得，摩擦角，作出力的三角形，如图所示，蓝色有向线段为重力，黑色射线为斜面对物块的作用力，红色有向线段为施加的力，青色有向线段为施加的力的最小位置（与斜面的作用力相垂直），则方向与水平成15º斜向右。即A正确。例3.解析：方法一（传统方法）：由于木箱的速度保持不变，因此木箱始终处于平衡状态，受力分析如图所示，则由平衡条件得：，两式联立解得，可见F有最小值，所以F先减小后增大，A正确；B错误；F的功率，可见在从0逐渐增大到90°的过程中tan逐渐增大，则功率P逐渐减小，C正确，D错误。方法二（引入摩擦角）：由得，摩擦角φ<45º，作出力的三角形，如图所示，黑色射线为地面对木箱的作用力F1，红色有向线段为拉力F，蓝色有向线段为重力。由题意在从0逐渐增大到90°的过程中，F的变化趋势为青色曲箭头方向变化，易得到：F先减小后增大。对于F的功率，由矢量表达式：，重力的功率显然为0（重力与速度成90º），得到F的功率与F1的功率互为相反数，F1的功率,显然F1与v的角度ψ保持不变，而F1不断的减小，从而F的功率的值不断的减小，所以答案为AC。GG例4.解析：摩擦角，考虑临界情况，重力mg、地面对物体的作用力以及推力F构成闭合三角形时，则有，临界角，由图可知时物体可在地面上滑动。即。FF参考答案1．C【解析】当拉力水平时，物体匀速运动，则拉力等于摩擦力，即：F=μmg；当拉力倾斜时，物体受力分析如图，有：f=μFN；FN=mg-Fsinθ；可知摩擦力为：f=μ（mg-Fsinθ）；f=Fcos600；代入数据为：，联立可得：μ=，故选C。2．B【解析】试题分析：对AB组成的整体受力分析，整体受力平衡，竖直方向受到重力和地面对B的支持力，所以地面对B的支持力等于（M+m）g，故A错误；对A受力分析，受到重力、支持力、拉力和摩擦力作用，垂直于斜面方向有：N=mgcos30°+Fsin30°，当F=0时，N最小，最小为Nmin＝mgcos30°＝mg，当F=mg时，N最大，最大为Nmax＝mgcos30°+mg×＝mg，根据牛顿第三定律可知对B压力的最小值为mg，最大值为mg，故B正确；沿着斜面方向，当Fcos30°=mgsin30°即F=mg时，摩擦力为零，当F＜mg时，静摩擦力方向沿斜面向上，如图所示：摩擦力f=mgsin30°-Fcos30°，当F=0时，f最大，fmax＝mgsin30°＝mg，当F＞mg，静摩擦力方向向下，则摩擦力f′=Fcos30°-mgsin30°，当F=mg时，f最大，f′max＝mg×−mg＝mg，综上可知，所受摩擦力的最小值为0，最大值为mg，故CD错误．故选B．考点：物体的平衡3．A【解析】试题分析：由几何关系可知，半径OA与竖直方向OP的夹角∠AOP=30°。蚂蚁爬到A点再也爬不上去，说明此时最大静摩擦力等于重力沿A点的切线的分力，对蚂蚁受力分析如图所示，根据平衡条件，有：，动摩擦因数，故A、B、C错误，D正确。考点：最大静摩擦力与滑动摩擦力，动摩擦因数，，共点力的平衡4．（1）（2）λ【解析】（1）设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把。将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，按平衡条件有Fcosθ+mg=N①Fsinθ=f②式中N和f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力。按摩擦定律有f=μN③联立①②③式得④（2）若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应有Fsinθ≤λN⑤这时①式仍满足。联立①⑤式得⑥现考察使上式成立的θ角的取值范围。注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有⑦使上式成立的θ角满足θ≤θ0，这里θ0是题中所定义的临界角，即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把。临界角的正切为⑧5.解析：（引入摩擦角）如图所示，摩擦角，由平衡条件得，作力的矢量三角形，其中：蓝色有向线段为重力，黑色有向线段为斜面对物体的作用力，红色有向线段为拉力。显然：当拉力F垂直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：6.解析：设拉力与水平面间的夹角为θ，将拉力F分解，并列出平衡方程，由动摩擦力公式得Fcosθ=μ（mg-Fsinθ），化简为（其中令）当时F有最小值：，且θ=arctanμ。7．解析：两次作用力下物体都向右做匀速直线运动，两次全反力大小不同但方向相同，受力情况如图3所示，现将两次全反力F全，重力mg及拉力F矢量平移可得到如图4所示的矢量图。因∠2+∠3=60°，有∠1=30°，又因∠4=30°，则∠4+∠2+∠3=90°由题意知F1，F2相等，则F1，F2关于垂线段对称。则∠2=45°；所以全反角α=15°。既有又tan15°=可解得8．解析：若拉力沿斜面向上，对物体受力分析如图6（a）所示，滑块沿斜面向上匀速滑动，且，则有摩擦角，平移全反力F全，重力mg及拉力F可构成首尾相接的闭合矢量三角形，如图6（b）所示，显然F=2mgsin，选项C正确。若拉力沿斜面向下，且，则有摩擦角，此时全反力F全与重力mg重合在同一竖直线上，如图6（c）所示，由于滑块沿斜面向下匀