论边坡稳定sarma法中条块间作用力方向的两种可能性

论边坡稳定分析Sarma法中条块间作用力方向的两种可能性摘要:在各种边坡稳定分析方法中，Sarma法使用了具有倾斜边界的土条，假定侧面上也达到极限平衡。研究发现，在这些倾斜边界上，存在着两种条块间相对滑动方向，即左条块相对右条块向上或向下滑动，如果对这两种可能性不予以区分，则可能导致Drucker准则被破坏。算例表明，只考虑一个剪切方向的计算结果有时不合理，会导致侧面的凝聚力越大，安全系数越小的反常情况。关键词:边坡稳定分析；极限平衡；Drucker准则。1前言传统的边坡稳定极限平衡分析法采用垂直条分法，这个方法不能很好地考虑条块侧面的力的特性，特别是岩质边坡的断层节理特征。Sarma(1979)提出对滑坡体进行斜分条的极限平衡分析法［1］，该法假定沿条块侧面也达到了极限平衡，这样，通过静力平衡条件即可唯一地确定边坡的安全系数或加载系数。这个方法受到Hoek教授的极力推崇(Hoek,1983)［2］。在开发这一方法过程中，发现沿斜条块的摩擦方向有两种可能性，即左条块相对右条块可能向上或向下运动。Sarma法只考虑了常见的一种，即左条块相对右条块向上运动。在某些情况下，仅考虑这一种情况可能导致错误的计算成果，本文对这一问题作一简要的讨论。图1Sarma法和能量法的计算力Fig.1Sarma'smethodandtheenergymethod2求解安全系数的两种途径对于一个多块体组成的破坏模式，可以通过求解静力平衡方程计算安全系数，也可以通过建立虚功原理的方程求解，现以图1所示两个块体的例子说明此问题。分析作用于左、右两个处于极限平衡的块体的力，根据摩尔库仑破坏准则，作用在滑面上的力可分成两部分，一部分是由法向N和由它决定的摩擦阻力Ntgφe构成的一个“摩擦反力”P，它与滑面的法线夹角为φe，另有凝聚力ce提供的“凝聚阻力”C，其值为ceL,L为滑面长度。其中安全系数隐含于对强度指标修正中，即tanφe=tanφ/F,ce=c/F。同样，在条块的界面AB上右条块作用在左条块的力为Pj和Cj，左、右条块的静力平衡方程分别为（式（1）至式（7）的推倒过程，均指向量运算）：Wl+Pl+Cl++Pj+Cj=0(1)Wr+Pr+Cr--Pj-Cj=0(2)其中W为条块重量，上述两个矢量方程如在x，y方向投影，可建立四个方程式，其中的未知数分别为Pl,Pr,Pj的大小(其方向已知，与法线方向夹φe角)，另外一个未知数是包含在ce和φe中的F值，这样，就可以求得F值。采用虚功原理求解，则我们分别在左、右条块赋一个虚位移Vl和Vr，有Wl·Vl+Pl··Vl+Cl·Vl+Pj·Vl+Cj·Vl=0（3）Wr·Vr+Pr··Vr+Cr·Vr-Pj·Vr-Cj·Vr=0（4）两式相加得Wl·Vl+Wr··Vr+Pl·Vl+Pr·Vr+Cl·Vl+Cr·Vr+Pj·Vj+Cj·Vj=0（5）其中：

Vj=Vl-Vr（6）为左条块相对右条块移动的位移。虚功原理对任意一组协调的位移场都适用。式(5)说明，对滑动体加一组虚位移时，重力所作的功等于沿左、右滑面和界面的内能耗散。现在施加一组特殊的位移Vl、Vr和Vj，它们分别与滑面的夹角为φe，见图1，由于Pl、Pr和Pj与相应滑面的法线夹角为φe，故Pl和Vl，Pr和Vr，和Pj和Vj正交，它们的积应该分别为零，式(5)简化为Wl·Vl+Wr··Vr+Cl·Vl+Cr·Vr+Cj·Vj=0（7）使用位移协调条件(6)式，则一旦Vl确定，Vr和Vj即可表达为Vl的线性函数。式(6)代入式(7)后Vl被消去，式(7)中仅剩下隐含在ce,φe中的F值。因此，根据虚功原理建立的式(7)使求解边坡稳定安全系数成为通过一个方程解一个未知数的十分简捷的方法。它的解题步骤是先计算一个与各条块底滑面夹角为φe的协调的位移场，然后根据外力功等于内能耗散的虚功方程式(7)求解F值。使用这一方法带来的另一个好处是求解过程中存在着坡体的位移图式，这正好为论述本文提出的命题提供了理论基础。3边坡稳定分析的能量法近年来Donald和Chen提出了的求解边坡稳定分析的能量法［3］［4］就是建立在上节介绍的虚功原理方法上的。对于相邻条块，作者推导出由左侧条块速度确定右侧条块速度的方程(图2a)。Vr=Vlsin((θl-θj)/siin(θr-θj)（8）Vj=Vlsin((θr-θl)/siin(θr-θj)（9）（10）其中D为内能耗散，上标j和s分别代表界面和滑面，其数值就是式(7)左边的第3，4，5项的负值。从现在开始，将“位移”改称为“速度”，即单位外力增量作用下的塑性位移。在Donld和Chen的研究报告中，作者举了一系列算例证明能量法可以获得和Prandtl和Soklocsdki提供的闭合解。在计算工程实例时，也获得了和与传统的极限平衡方法接近的解。图2考虑条块间作用力两种可能性，I：第一种情况θr＜θl；Ⅱ：第二种情况；θr＞θl；(a)，(b)分别为速度矢量和速度多边形。Fig.2Thetwopossibilitiesoftheinter-sliceforces1:case1,θl＜θr；2:case2,θl＞θr。(a)and(b)arethevelocityvectorsandtheirpolygonsrespectively.4论考虑条块间作用力两种可能性的必要性在上节中已经指出，式(10)中的速度V都相应某一外力增量的塑性位移，依据Drucker准则，这些塑性位移所作的功必须为正。因此依据式(8)和(9)计算的Vr和Vj的数值必须为正值，为了保证这一点，必须考虑条块界面作用力的两种方向。如图2b所示，条块的底部为一个软弱面时，其摩擦角较小，因此Vr处于Vl的上方，即θr＜θl，此时按式(9)计算的Vj为负。出现这一问题的原因是在左侧条块的绝对速度方向角θl大于右侧相应的θr时，应假定左侧条块相对于右侧条块向下而不是向上移动。一般来说，左边条块相对右边条块的滑动可以有两种方向，即向上和向下。定义向上滑动为情况1，这是经常遇到的情况。但是，如果此时θr＜θl，那么，左边条块应相对右边条块向下滑动(情况2，图2b)。对情况1和情况2，分别定义：θj=π/2-δ+φeej(11)θj=π3/2-δ-φφej(12)其中δ为条间界面的倾角，从正Y轴向正X轴转为正。从式(9)可看出，在图2所示的θl＞θr的情况下，如果采用第二种可能性，即左侧条块相对右侧条向下移动，使用式(12)对θj的定义，可以保证按式(9)计算得到数值为正的Vj。总结上述研究，可提出如下判据：对情况1，左条块相对右条块向上移动，即θr＞θl。要求θj按式(11)定义，并有θl-θj＞0(13)对情况2，左条块相对右条块向下移动，即θr＜θl。要求θj按式(12)定义，并有θl-θj＜0(14)θr-θj＞-π(15)另外，一个显而易见的条件是条间界面必须在两个相邻条块底线之间。这意味着对上述两种情况，均应要求：π/2-αr＞δδ＞-(π/2+αl)(16)附录给出了上述条件(13)，(14)和(15)的严格证明。5例题和论证在本节中，通过两个例题说明如果不考虑条块间作用力的合理方向，将得出不合理的结果。例题1对如图3所示的两个条块的例题进行分析。为便于说明，引入一些简化条件，即左、右两个条块底滑面的凝聚力c设为零。左右条块的重量Wl，Wr，底面倾角α分别用下标l和r标注。在给定的条块侧面的指标cj，φj值下，根据第1节介绍的解题步骤，可以得到需要将此条块组合推动的水平推力P的公式：（17)其中“±”代表左侧条块向上和向下的作用力的两种可能性，上排为第一种可能性，下排为第二种可能性。图3使用第二种情况说明Fig.3Anexamplethatexplainsthenecessityofemployingcase2.如果仅考虑第一种情况，则意味着式(17)中符号“±”全部取“+”。在通常的φe和φje的取值范围内，如果αr＜αl，则式(17)的第2项的存在意味着沿条块侧面的cj值越大，需要的P越小。换句话说，cj越大，安全系数越小。这一情况显然与实际情况不合。因此，如果αr＜αl，就要求取第二种情况，即式中“±”全部取“-”。例题2作者曾讨论三峡大坝3坝段抗滑稳定的算例，论述了Sarma法和Morgenstern-Price法分别从上、下限分析抗滑稳定安全系数获得接近的计算成果。该题滑裂面部分通过坝体(AF)，本例中，通过基础软弱结构面在坝体混凝土和基础交接点A和在滑裂面的B点(图4a)，均属第2种情况。图4三峡3坝段稳定分析(a)A和B点点采用第2种情况，F=2..888；(b)A和B点点采用第一一种情况，F=2..051。Fig.4SStabiilityyanaalysiisofftheecroossssectiion33oftheThreeeGoorgessdamm.(a)Case2weereeemplooyedforpoinntAandB,F==2.8888;(b)Case1foorpoointAanndB,,wereeempployeed,F==2.0551.作者使用EMU程序计算获得坝体临界破坏模式和相应安全系数F=2.88，与使用传统的垂直条分的Morgenstern-Price获得的安全系数F=2.79，分属安全系数的上、下限解，两者十分接近。图4a为上限解获得的临界破坏模式。但是如果不按本文提出原则区分条间力方向的两种情况，在A和B点，仍按式(11)定义θ，则计算所得的临界破坏模式如图4b所示，相应安全系数为2.05。这一解答与Morgenstern-Price法的计算结果相差较大。而且同样也会出现在A点和B点使用越大的cj值，安全系数越小的反常现象。因此，这样的解答应予以排除。6结语(1)本文通过简要的分析，指出了Sarma法可以通过建立虚功方程获得更加简便的解题途径。在这一分析中，可以清晰地看出，为了满足位移协调的条件，必须区分相邻条块可能的两种相对移动方向。(2)本文建立了区分相邻条块两种相对位移方向的判据，根据这一判据，可以保证计算获得的速度场均为正，从而使虚功方程中的各项均为正，保证Drucker准则不被破坏，保证计算按塑性力学上限定理的理论框架进行。(3)本文通过算例证明，只有正确地处理条块之间的作用力方向，才能使一些复杂的岩质边坡稳定分析的问题得到正确的解答。参考文献1.Sarma,K.S.,Stabilityanalysisofembankmentsandslopes.J.Geotech.Am.Soc.Civ.Engrs,105,GT.12,PP.1511-1524,1979.2.Hock,E.Generaltwo-dimensionalslopestabilityanalysis.AnalyticalandComputationalMethodsinEngineeringRockMechanics.95-,AllenandUnwin,London,1987.3.Donald,I.andChen,Z.Y.,UpperboundstabilitysolutionsinGeomechanics.ComputationalPlasticity,FundamentalsandApplications.Proc.4thInt.Conf.Comp.Plas.Ed.D.R.J.OwenandE.Onate.April,1995,Barcelona,PineridgePress.Vol.2.pp.1979-1808,1995.4陈祖煜，边坡稳定的塑性力学上限解。中国土木工程学会第七届土力学及基础工程学术会议论文集，中国建筑工业出版社，1994年，第484—488页。附录关于位移协调条件的证明相邻两个条块不应向相反的方法移动，也就是说，如果Vl是正的话，通过(8)和(9)求得的Vr和Vj也都应是正的，对于情况1，我们有：0＜θl-θj＜π(A-1)0＜θr-θj＜π(A-2)0＜θr-θl＜π(A-3)对于情况2，则-π＜θl-θj＜0(A-4)-π＜θr-θj＜0(A-5)-π＜θr-θl＜0(A-6)但是，上述有些条件不是独立的，对情况1，只需要不等式(13)；对情况2，满足不等式(14)和(15)也已足够。下面，我们来说明这一论点。对情况1的限制条件的证明：(1)由不等式(16)δ+αr＜π2(A—7)(A-7)因此，θr--θj=π2+αr+δ-φer-φej＜π(A—8)故有:θl-θj＜θl-(θr-π)(A—9)根据对情况1的定义，此时，θr＞θl，我们有θl-θj＜π(A—10)和(13)相连，(A—1)成立。(2)因为θθr-θj=(θr-θl)+(θl-θj)(A—11)而上式的右侧两部分都是正的，故有θr-θj＞0(A—12)和(A—8)相连，(A—2)成立。(3)从已经证明的式(A—