球的体积和表面积(附答案)

答案)删除2.利用2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.球的体积和表面积[学习目标]1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.知识点一球的体积公式与表面积公式43思考球有底面吗球面能展开成平面图形吗答43思考球有底面吗球面能展开成平面图形吗答球没有底面，球的表面不能展开成平面.知识点二球体的截面的特点1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.题型一球的表面积和体积5003(2)已知球的体积为π，求它的表面积.3所所以球的体积V＝πR3＝34 33.450033(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝533，则它的体积是()ππ答案DV4323333题型二球的截面问题积为()ππππ答案B则OO′＝2，O′M＝1.∴OM＝22＋1＝3.即球的半径为3.43∴V＝π(3)3＝43π.3跟踪训练2已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，积为________.15，则它的外接球表面答案9πAB的截面，设长方体有公共RAB＝RAB＝x2＋y2＋z2＝222，球题型三球的组合体与三视图例3某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.解由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为22该几何体的体积为142π233.142π233.跟踪训练3有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.解设正方体的棱长为a.①正方体的内切球球心是正方体的中心，心，如图(1)所示，则有2r＝a，1a②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2222222222③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，33233123轴截面的应用例4有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内部放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面没过铁球和球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度.分析分别表示出取出铁球前后水的体积→由水的体积不变建立等式→求出所求量.⊙O是球的最大截面，它内切于△ABC，球的半径为r.设将球取出后，水平面在圆锥CD3圆锥CD3圆锥CE圆锥CD球O3333∴球从容器中取出后，水的深度为15r.3π，144ππ，36π2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于()3.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.4.若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的________倍，表面积变为原来的________倍.5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.一、选择题1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()πππ2.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为()3.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为()∶14.设正方体的表面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是()6.已知底面边长为ππ1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为π7.7.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()cm3cm3cmcm二、填空题8.一个几何体的三视图(单位：m)如图所示，则该几何体的体积为________m3.9π9.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为2，则正方体的棱长为_____.11.圆柱形容器内盛有高度为8cm11.圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是______cm.是________.三、解答题R的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几：(2)圆锥的内切球的体积.当当堂检测答案43432.答案D434333.答案244334433334.答案84413141312332V3V3S16πR235.答案3π解析由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面12面积的和，即×4π＋π＝3π.2课课时精练一、选择题案C33方法二33方法二如图，设球心为O，球的半径为r，连接OA，OB，则在1球32.答案A∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则3.43.3.答案A解析由表面积公式知，两球的表面积之比为R2∶R2＝1∶9.124.答案D解析由正方体的表面积为24cm2，得正方体的棱长为2cm，故这个球的直径为2cm，故43这个球的体积为πcm3.35.答案C解解析方法一如图，设球的半径为r，则在Rt△CDE中，DE＝1111球11r＝Rr，故球的表面积为S＝4πRr.1球6.答案D解析∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，∴正四棱柱的体对角线的长为1＋1＋22＝2.又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，∴球的半径R＝1.333344337.答案A解解析利用球的截面性质结合直角三角形求解.11如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm).224500π球33∴V＝π×53＝(cm球33二、填空题8.答案9π＋18解析将三视图还原为实物图后求解.232由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，42738所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.389.答案解析先求出球的半径，再根据正方体的体对角线等于球的直径求棱长.设正方体棱长为10.答案10.答案π解析由已知条件可知，球心在正四棱锥的高所在的直线上.设球的半径为R，球心为O，94.正四棱锥底面中心为E，则OE＝|4－R|，所以(4－R)2＋(2)2＝R2，解得R＝所以球的表4.81π441111.答案4解析设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高43度为8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意得m三、解答题11.11.12球33圆锥AO侧22SR33圆锥AO侧221圆锥BO侧221∴S＝S＋S＋S几何体表球圆锥AO侧圆锥BO侧112