河北省2022届高考数学一轮复习知识点攻破习题：二次函数

二次函数时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝ax2＋bx＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为 ()A．5 B．6C．8 D．与a、b值有关解析：由f(－1)＝f(3)知，对称轴x＝－eq\f(b,2a)＝1，∴b＝－2a.∴f(2)＝4a＋2b＋6＝4a＋2×(－2a)＋6＝6.答案：B2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一、二、四象限，则直线y＝ax＋b不经过第________象限． ()A．一 B．二C．三 D．四解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(b,2a)>0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b<0.))∴直线y＝ax＋b不经过第二象限．答案：B3．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间＝x的解为__________．解析：当g(x)＝x2－x≥2，即x≤－1或x≥2时，方程f＝x可变为x2－x－1＝x，解得x＝1＋eq\r(2).当g(x)＝x2－x<2，即－1<x<2时，方程f＝x可变为x＝1.所以方程f＝x的解为x＝1或x＝1＋eq\r(2).答案：x＝1或x＝1＋eq\r(2)8．已知A＝(b>1)，对于f(x)＝eq\f(1,2)(x－1)2＋1，当x∈A时，f(x)∈A，则b的值是__________．解析：x∈时，f(x)是增函数，故x＝b时，f(x)取最大值，即f(b)＝b，得eq\f(1,2)(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍去)．答案：39．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，则a的取值范围是________．图1解析：设f(x)＝3x2－5x＋a(如图1所示)，则f(x)＝0的两根分别在(－2,0)、(1,3)内的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(－2)>0，,f(0)<0，,f(1)<0，,f(3)>0，))解之，得－12<a<0.答案：(－12,0)10．(2022·浙江高考)已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间上的最大值为2，则t＝________.解析：令m＝x2－2x∈，y＝|m－t|的最大值在m＝－1或m＝3时取得，|－1－t|2－|3－t|2＝8(t－1)，当t≥1时，ymax＝|t＋1|＝t＋1＝2，∴t＝1.当t<1时，ymax＝|3－t|＝3－t＝2，t＝1(舍去)，综合分析得t＝1.答案：1三、解答题(共50分)11．(15分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．解：本题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力．(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)．∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，因而f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－eq\f(1,5)由于a<0，舍去a＝1，将a＝－eq\f(1,5)代入①得f(x)的解析式为f(x)＝－eq\f(1,5)x2－eq\f(6,5)x－eq\f(3,5).(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1＋2a,a)))2－eq\f(a2＋4a＋1,a)及a<0，可得f(x)的最大值为－eq\f(a2＋4a＋1,a).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a2＋4a＋1,a)>0，,a<0.))解得a<－2－eq\r(3)或－2＋eq\r(3)<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－eq\r(3))∪(－2＋eq\r(3)，0)．12．(15分)设f(x)＝x2＋ax＋3－a，若f(x)在闭区间上恒为非负数，求实数a的取值范围．解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋3－a－eq\f(a2,4).f(x)≥0在x∈上恒成立，即f(x)在上的最小值非负．(1)当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，ymin＝f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤eq\f(7,3)，这与a>4矛盾，此时a不存在；(2)当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，ymin＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝3－a－eq\f(a2,4)，由3－a－eq\f(a2,4)≥0，得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2；(3)当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，ymin＝f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，所求a的范围是．13．(20分)(2022·吉林检测)已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a，b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α，β.(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；(2)若α<1<β<2，求证(x1＋1)(x2＋1)<7.(1)解：由f(x)＝x得ax2＋3x＋b＝0(a<0，a，b∈R)有两个不等实根为α、β，∴Δ＝9－4ab>0，α＋β＝－eq\f(3,a)，α·β＝eq\f(b,a)由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，即(α＋β)2－4αβ＝eq\f(9,a2)－eq\f(4b,a)＝1，∴9－4ab＝a2，即a2＋4ab＝9(a<0，a，b∈R)(2)证明：∵α＋β＝－eq\f(3,a)，α·β＝eq\f(b,a)，x1＋x2＝－eq\f(4,a)，x1·x2＝eq\f(b,a)，∴x1＋x2＝eq\f(4,3)(α＋β)，