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二次函数时间:45分钟分值:100分一、选择题(每小题5分,共30分)1.函数f(x)=ax2+bx+6满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值为 ()A.5 B.6C.8 D.与a、b值有关解析:由f(-1)=f(3)知,对称轴x=-eq\f(b,2a)=1,∴b=-2a.∴f(2)=4a+2b+6=4a+2×(-2a)+6=6.答案:B2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过一、二、四象限,则直线y=ax+b不经过第________象限. ()A.一 B.二C.三 D.四解析:由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,-\f(b,2a)>0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,b<0.))∴直线y=ax+b不经过第二象限.答案:B3.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间=x的解为__________.解析:当g(x)=x2-x≥2,即x≤-1或x≥2时,方程f=x可变为x2-x-1=x,解得x=1+eq\r(2).当g(x)=x2-x<2,即-1<x<2时,方程f=x可变为x=1.所以方程f=x的解为x=1或x=1+eq\r(2).答案:x=1或x=1+eq\r(2)8.已知A=(b>1),对于f(x)=eq\f(1,2)(x-1)2+1,当x∈A时,f(x)∈A,则b的值是__________.解析:x∈时,f(x)是增函数,故x=b时,f(x)取最大值,即f(b)=b,得eq\f(1,2)(b-1)2+1=b,解得b=3或b=1(舍去).答案:39.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,则a的取值范围是________.图1解析:设f(x)=3x2-5x+a(如图1所示),则f(x)=0的两根分别在(-2,0)、(1,3)内的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(-2)>0,,f(0)<0,,f(1)<0,,f(3)>0,))解之,得-12<a<0.答案:(-12,0)10.(2022·浙江高考)已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间上的最大值为2,则t=________.解析:令m=x2-2x∈,y=|m-t|的最大值在m=-1或m=3时取得,|-1-t|2-|3-t|2=8(t-1),当t≥1时,ymax=|t+1|=t+1=2,∴t=1.当t<1时,ymax=|3-t|=3-t=2,t=1(舍去),综合分析得t=1.答案:1三、解答题(共50分)11.(15分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x(2)若f(x)的最大值为正数,求实数a的取值范围.解:本题主要考查二次函数、方程的根与系数关系,考查运用数学知识解决问题的能力.(1)∵f(x)+2x>0的解集为(1,3).∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0.②∵方程②有两个相等的根,∴Δ=2-4a·9a=0,即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-eq\f(1,5)由于a<0,舍去a=1,将a=-eq\f(1,5)代入①得f(x)的解析式为f(x)=-eq\f(1,5)x2-eq\f(6,5)x-eq\f(3,5).(2)由f(x)=ax2-2(1+2a)x+=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1+2a,a)))2-eq\f(a2+4a+1,a)及a<0,可得f(x)的最大值为-eq\f(a2+4a+1,a).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(-\f(a2+4a+1,a)>0,,a<0.))解得a<-2-eq\r(3)或-2+eq\r(3)<a<0.故当f(x)的最大值为正数时,实数a的取值范围是(-∞,-2-eq\r(3))∪(-2+eq\r(3),0).12.(15分)设f(x)=x2+ax+3-a,若f(x)在闭区间上恒为非负数,求实数a的取值范围.解:f(x)=x2+ax+3-a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(a,2)))2+3-a-eq\f(a2,4).f(x)≥0在x∈上恒成立,即f(x)在上的最小值非负.(1)当-eq\f(a,2)<-2,即a>4时,ymin=f(-2)=7-3a,由7-3a≥0,得a≤eq\f(7,3),这与a>4矛盾,此时a不存在;(2)当-2≤-eq\f(a,2)≤2,即-4≤a≤4时,ymin=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,2)))=3-a-eq\f(a2,4),由3-a-eq\f(a2,4)≥0,得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2;(3)当-eq\f(a,2)>2,即a<-4时,ymin=f(2)=7+a,由7+a≥0,得a≥-7,此时-7≤a<-4.综上,所求a的范围是.13.(20分)(2022·吉林检测)已知函数f(x)=ax2+4x+b(a<0,a,b∈R),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x1、x2,方程f(x)=x的两实根为α,β.(1)若|α-β|=1,求a、b的关系式;(2)若α<1<β<2,求证(x1+1)(x2+1)<7.(1)解:由f(x)=x得ax2+3x+b=0(a<0,a,b∈R)有两个不等实根为α、β,∴Δ=9-4ab>0,α+β=-eq\f(3,a),α·β=eq\f(b,a)由|α-β|=1得(α-β)2=1,即(α+β)2-4αβ=eq\f(9,a2)-eq\f(4b,a)=1,∴9-4ab=a2,即a2+4ab=9(a<0,a,b∈R)(2)证明:∵α+β=-eq\f(3,a),α·β=eq\f(b,a),x1+x2=-eq\f(4,a),x1·x2=eq\f(b,a),∴x1+x2=eq\f(4,3)(α+β),
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