大学物理 朱峰（第一版）习题精解第六章 静电场

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?6?66-1在坐标原点及(3,0)点分别放置电量Q1??2.0?10C及Q2?1.0?10C的点电荷，求

P(3,?1)点处的场强。

解如图6.4所示，点电荷Q1和Q2在P产生的场强分别为E1??而r1??1Q1r1214??0rr1?,E2?1Q2r2224??0rr2

????3i?j,r2??j,r1?2,r2?1，所以

???E总?E1?E2?1Q1r124??0r1r14??0r1r1???6?6?1?2.0?103i?j1.0?10?j???224??0?2211???3?1???3.9i?6.8j??10?N?C??1Q1r12????6-2长为l?15cm的直导线AB上，设想均匀地分布着线密度为??5.00?10?9C?m?1，的正电荷，

如图6.5所示，求：

（1）在导线的延长线上与B端相距d1?5.0cm处的P点的场强；

（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2?5.0cm处的Q点的场强。

解（1）如图6.5（a）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴的正方向。在导线

AB上坐标为x处，取一线元dx，其上电荷为dq??dx它在P点产生的场强大小为dE?1dq24??0r?1?dx24??0?l??d?x??1?2?

方向沿x轴正方向。导线AB上所有线元在P点产生的电场的方向一致，因此P点的场强大小为

121E??

21?21dq24??0r?1?dx24??0?l??d?x??1?2??11?????4??0?d1l?d1?1?12

?5.00?10

?911??92?1?9?10????6.75?10V?m????2?220?10??5?101

方向沿x轴正方向。

（2）如图6.5（b）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴正方向，垂直于AB的轴为y轴，在导线AB上坐标为x处，取一线元dx，其上的电荷为dq??dx它在Q点产生的电场的场强大小为dE2?1dq24??0r?1?dx224??0d2?x

方向如图6.5（b）所示。

在导线AB上坐标为-x处取另一线元dx，其上电荷为dq???dx它在Q点产生的电场场强大小为dE1?1dq?24??0r?1?dx224??0d2?x

方向与坐标x处电荷元在Q点产生的电场方向相对与y轴对称，因此dE1x?dE2x?1?dx224??0d2?xsin??1?dx224??0d2?xsin??0

dE1与dE2的合场强dE的大小为

dE?dE1y?dE2y?2dE1sin?

?1?dx22d2222??0d2?x?1?dx3/2

d2?x2??0?d2?x2?2方向沿y轴正方向，因此Q点的场强的大小为

11E??21?21?dx3/22??0?d2?x2?29?1x1/222??0d2?d2?x2?2?0.15?01x1/224??0d2?l?2?d2??4???1

?9.00?10?5.00?10?9?0.1522?0.05???0.05??4??1.50?103?V?m?方向沿y轴正方向。

6-3一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上电荷均匀分布，总电量为q，求半圆中心O

点的场强。

解建立如图6.6所示的坐标系，在弧线上取线元dl其上电荷为dq?强

q?Rdl，它在Q点处产生的场

2

?dE?1?dq?R??4??0R2R

由于半圆形上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也对y轴呈对称性，所以

Ex?0??2Ey?2?20?14??0Rsin?dq??2?Q2??0R222023??0R2sin?q?RRd???Q2??0R22

???E?Exi?Eyj???j6-4一根细有机玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，上半截均匀带有正电荷，电荷线密度为?；下半

截均匀带有负电荷线密度为??，如图6.7所示。求半圆中心O点的场强。

解建立如图6.7所示的坐标系，根据电荷分布的对称性，O点的场强沿y轴方向正方向，任意电荷

元dq在O点产生的场强大小为dE?1dq24??0R

此场强在y轴方向的分量为dEy?dEcos??1dq24??0Rcos???4??0Rcos?d?

半圆形上半部分和下半部分在O点产生的场强，在x轴方向合场强为零，在y轴方向分量大小相等，方向一致。因此

?E?Ey?2?20?4??0Rcos?d???2??0R

方向沿y轴的正方向。

6-5（1）一半径为R的带电球体，其上电荷分布的体密度为一常数?，试求此点球体内、外的场强分布；

(2)若（1）中带电球体上点电荷分布的体密度为???0?1???r??，其中为一常数?0，r为球上R?任意一点到球心的距离，试求此带点球体内、外的场强分布。

解（1）当r?R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理

???s??qE?dS?

?0式中q?????dV?????dV??VV43?r，所以

3E??r3?0

当r?R时，建立如图6.8（b）图所示的高斯面，根据高斯面定理

3

???s??qE?dS?

?0式中q?????dV?????dV??VV43?R，所以

3E??R323?0r

（2）当r?R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理

???s??qE?dS?

?0式中q?????dV??Vr0??r?r?3r??2?0?1??4?rdr?04???，所以

R?3?0?R??3r1??3?0?4R3E??0r????当r?R时，建立如图6.8（b）所示的高斯面，根据高斯面定理

???s??qE?dS?

?0式中q?????dV??Vr0??Rr??2，所以?0?1??4?rdr?0R?3?0??0R323E?12?0r

6-6根据量子力学，正常状态的氢原子可以看成由一个电量为+e的点电荷，以及球对称分布在其周边的电子云构成。已知电子云的电荷密度为???Cea0?2r/a0其中

?5.3?10?11mC?e/??30a?是为使点电

荷总量等于-e所需要的常量。试问在半径为a0的球内净电荷是多少？距核远a0处的电场强度是多大？

解半径为a0的球内净电荷为q?e?????dV?e?V?a00?Ce?2r/a04?rdr?0