有限元介绍第一部分

有限元介绍第一部分第1页，共63页，2023年，2月20日，星期五1有限元的概念有限元分析（FEA，FiniteElementAnalysis）是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。第2页，共63页，2023年，2月20日，星期五2有限元的应用范围2-1固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析，线性和非线性分析2-2传热学2-3电磁场2-4流体力学2-5金属成形过程的分析2-6焊接残余应力分析2-7热处理过程的分析第3页，共63页，2023年，2月20日，星期五3有限元的基本求解原理3-1材料力学与弹性力学3-2应力的概念3-3位移及应变，几何方程，刚体位移3-4应力应变关系，物理方程3-5虚功原理及虚功方程3-6单元刚度矩阵3-7整体分析3-8整体刚度矩阵的形式3-9支承条件的处理3-10求解方程第4页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-1材料力学与弹性力学

有限单元法

—机械工程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。在此简单介绍这些概念和方程，了解弹性力学有限单元法的相关知识。第5页，共63页，2023年，2月20日，星期五弹性力学—区别与联系—材料力学

1、研究的内容：基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。第6页，共63页，2023年，2月20日，星期五弹性力学—区别与联系—材料力学

3、研究的方法：有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。第7页，共63页，2023年，2月20日，星期五材料力学—区别与联系—弹性力学第8页，共63页，2023年，2月20日，星期五材料力学—区别与联系—弹性力学第9页，共63页，2023年，2月20日，星期五材料力学—区别与联系—弹性力学第10页，共63页，2023年，2月20日，星期五弹性力学—区别与联系—材料力学

总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：第11页，共63页，2023年，2月20日，星期五弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物体是完全弹性的，亦即当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原形，而不留任何残余变形。这样，当温度不变时，物体在任一瞬时的形状完全决定于它在这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物体是均匀的，也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变。第12页，共63页，2023年，2月20日，星期五弹性力学中关于材料性质的假定(4)物体是各向同性的，也就是说物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物体的变形是微小的，亦即当物体受力以后，整个物体所有各点的位移都远小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1，这样，在考虑物体变形以后的平衡状态时，可以用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致有显著的误差；并且，在考虑物体的变形时，应变和转角的平方项或乘积项都可以略去不计，这就使得弹性力学中的微分方程都成为线性方程。第13页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-2应力的概念

作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：

表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号来表示。

体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。第14页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-2应力的概念弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素PA=dx,PB=dy,PC=dz正应力剪应力图1-4每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行第15页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-2应力的概念为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着X轴方向作用的。正应力加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力是作用在垂直于X轴的面上而沿着y轴方向作用的。剪应力第16页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-2应力的概念应力的正负如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向为正，沿坐标轴正方向为负。第17页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-2应力的概念剪应力互等定律

作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。由力矩平衡得出简化得剪应力互等第18页，共63页，2023年，2月20日，星期五应力分量

可以证明：如果这六个量在P点是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就称为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x、y、z的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：第19页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-3位移及应变、几何方程、刚体位移

弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：

1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。第20页，共63页，2023年，2月20日，星期五应变体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的引起正的，等等)。第21页，共63页，2023年，2月20日，星期五应变分量与位移分量的关系A点在X方向的位移分量为u；B点在X方向的位移：ABCD---A’B’C’D’求线素AB、AD的正应变，用位移分量来表示：线素AB的正应变为：同理，AD的正应变为：第22页，共63页，2023年，2月20日，星期五应变分量与位移分量的关系X向线素AB的转角Y向线素AD的转角求剪应变，也就是线素AB与AD之间的直角的改变线素AB的转角为：A点在Y方向的位移分量为v；B点在Y方向的位移分量：第23页，共63页，2023年，2月20日，星期五应变分量与位移分量的关系X向线素AB的转角Y向线素AD的转角求剪应变，也就是线素AB与AD之间的直角的改变同理，Y向线素AD的转角由于变形是微小的，所以上式可将比单位值小得多的略去，得因此，剪应变为：第24页，共63页，2023年，2月20日，星期五应变分量与位移分量的关系以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。第25页，共63页，2023年，2月20日，星期五应变分量矩阵

可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵来表示：第26页，共63页，2023年，2月20日，星期五刚体位移

由几何方程(3-3)可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在(3-3)中命：有：积分后，得式中的是积分常数第27页，共63页，2023年，2月20日，星期五积分常数的几何意义

代表弹性体沿x方向的刚体移动。及分别代表弹性体沿y方向及Z方向的刚体移动。

代表弹性体绕Z轴的刚体转动。同样，及分别代表弹性体绕x轴及y轴的刚体位移。为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定这六个刚体位移。第28页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-4应力应变关系，物理方程当沿X轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在X方向的单位伸长则可表以方程式中E为弹性模量。弹性体在X方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y和Z方向的单位缩短可表示为：式中为波桑系数。方程(3-5)和(3-6)既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和波桑系数相同。

应力分量与应变分量之间的关系

----虎克定律第29页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-4应力应变关系，物理方程设图中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用(3-5)和(3-6)式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E及所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。第30页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-4应力应变关系，物理方程如果弹性体的各面有剪应力作用，如图1-4所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：

式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，波桑系数存在如下的关系：

方程(3-7)中的正应变与方程(3-8)中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将(3-7)和(3-8)的六个关系式写在一起，得式(3-10)，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。图1-4第31页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-4应力应变关系，物理方程将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式(3-10)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(3-9)代入，可得物理方程的第二种形式：第32页，共63页，2023年，2月20日，星期五式(3-11)可用矩阵的形式表示如下：式(3-12)可简写为：第33页，共63页，2023年，2月20日，星期五[D]称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和第34页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-5虚功原理及虚功方程图1-8a示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：图1-8b表示杠杆绕支点C转动时的刚体位移图：综合可得：即：式(1-15)是以功的形式表述的。表明：图a的平衡力系在图b的位移上作功时，功的总和必须等于零。这就叫做虚功原理。第35页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理

进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，和这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(3-15)式的关系。将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。

对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-8a中的和所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。第36页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理

必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-8中的反力，由于支点C没有位移，故所作的虚功对于零)。反之，如图1-8中的和是在位移过程中作功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。第37页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。虚功原理用公式表示为：

这就是虚功方程，其中P和相应的代表力和虚位移。第38页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理----用于弹性体的情况

虚功方程(3-16)是按刚体的情况得出的，即假设图1-8的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(3-15)或(3-16)中没有内功项出现，而只有外功项。将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：

W=T-U；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0

外力虚功T=内力虚功

U

弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。第39页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理----用于弹性体的情况i点外力分量j点外力分量外力分量用表示；引起的应力分量用

表示第40页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理----用于弹性体的情况假设发生了虚位移虚位移分量为用表示；引起的虚应变分量用表示第41页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理----用于弹性体的情况

在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：式中是的转置矩阵。同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：根据虚功原理得到：这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。第42页，共63页，2023年，2月20日，星期五虚功原理----用于弹性体的情况

应该指出，在虚位移发生时，约束力(支座反力)是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵及中的元素进入虚功方程(3-17)。第43页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

讨论单元内部的应力与单元的结点力的关系，导出用结点位移表示结点力的表达式。由应力推算结点力，需要利用平衡方程。（3-17）已经用虚功方程表示出平衡方程。

第44页，共63页，2023年，2月20日，星期五

考虑上图三角形单元的实际受力，结点力和内部应力为：

任意虚设位移，结点位移与内部应变为3-6单元刚度矩阵第45页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

令实际受力状态在虚设位移上作虚功，外力虚功为第46页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

计算内力虚功时，从弹性体中截取微小矩形，边长为dx和dy，厚度为t，图示微小矩形的实际应力和虚设变形。第47页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

微小矩形的内力虚功为整个弹性体的内力虚功为第48页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

根据虚功原理，得这就是弹性平面问题的虚功方程，实质是外力与应力之间的平衡方程。虚应变可以由结点虚位移求出：代入虚功方程第49页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

接上式，将应力用结点位移表示出有令则建立了单元的结点力与结点位移之间的关系，称为单元刚度矩阵。它是6*6矩阵，其元素表示该单元的各结点沿坐标方向发生单位位移时引起的结点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。第50页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-6单元刚度矩阵

由于[D]中元素是常量，而在线性位移模式下，[B]中的元素也是常量，且

因此可以进一步得出平面应力问题和平面应变问题中的单元刚度矩阵。第51页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-7整体分析

将各单元组合成结构，进行整体分析。整体分析分4个步骤1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求出结点位移；(消去法与叠加法)4、根据结点位移求出应力。第52页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-7整体分析

图示结构的网格共有四个单元和六个结点。在结点1、4、6共有四个支杆支承。结构的载荷已经转移为结点载荷。整体分析的四个步骤：1、建立整体刚度矩阵；2、根据支承条件修改整体刚度矩阵；3、解方程组，求结点位移；4、根据结点位移求出应力。

对单元的分析得出单元刚度矩阵，下面，将各单元组合成结构，进行整体分析。第53页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-7整体分析1、建立整体刚度矩阵(也叫作结构刚度矩阵)

上图中的结构有六个结点，共有12个结点位移分量和12个结点力分量。由结构的结点位移向量求结构的结点力向量时，转换关系为：分块形式为：其中子向量和都是二阶向量，子矩阵是二行二列矩阵。整体刚度矩阵[K]是12*12阶矩阵。第54页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-7整体分析2、根据支承条件修改整体刚度矩阵。

建立整体刚度矩阵时，每个结点的位移当作未知量看待，没有考虑具体的支承情况，因此进行整体分析时还要针对支承条件加以处理。在上图的结构中，支承条件共有四个，即在结点1、4、6的四个支杆处相应位移已知为零：建立结点平衡方程时，应根据上述边界条件进行处理。

3、解方程组，求出结点位移。通常采用消元法和迭代法两种方法。

4、根据结点位移求出应力。第55页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-8整体刚度矩阵的形式

整体刚度矩阵是单元刚度矩阵的集成。

1、刚度集成法的物理概念：刚度矩阵中的元素是刚度系数，即由单位结点位移引起的结点力。由3-7节的例题可见，与结点2和3相关的单元有单元①和③，当结点3发生单位位移时，相关单元①和③同时在结点2引起结点力，将相关单元在结点2的结点力相加，就得出结构在结点2的结点力。由此看出，结构的刚度系数是相关单元的刚度系数的集成，结构刚度矩阵中的子块是相关单元的对应子块的集成。第56页，共63页，2023年，2月20日，星期五3-8整体刚度矩阵的形式

2、刚度矩阵的集成规则：先对每个单元求出单元刚度矩阵，然后将其中的每个子块送到结构刚度矩阵中的对应位置上去，进行迭加之后即得出结构刚度矩阵[K]的子块，从而得出结构刚度矩阵[K]。关键是如