第十章-第1讲-椭圆

考试要求1.椭圆的实际背景，椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(A级要求)；2.椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单几何性质(B级要求).第1讲椭圆知

识

梳

理1.椭圆的概念

平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做_______，两个定点F1，F2叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若_______，则集合P为椭圆； (2)若_______，则集合P为线段； (3)若_______，则集合P为空集.椭圆焦点a>ca＝ca<c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2ca2＝b2＋c21.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(

) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(

) (3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(

) (4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(

)诊

断

自

测解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于F1F2时，其轨迹才是椭圆，而常数等于F1F2时，其轨迹为线段F1F2，常数小于F1F2时，不存在这样的图形.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

(5)√解得m＝4或m＝8.答案4或83.(2018·全国Ⅱ卷改编)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为________.所以直线与椭圆相交，即直线与椭圆的公共点的个数为2.答案2解析由点(m，n)在圆x2＋y2＝4外，得m2＋n2>4，解析设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，考点一椭圆的定义及其应用角度1椭圆定义的应用【例1－1】(1)过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为________. (2)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________. (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则PA＋PF的最大值为________，最小值为________.∴椭圆长轴长2a＝2，∴△ABF2的周长为4a＝4.(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10＞C1C2，即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，又－AF1≤PA－PF1≤AF1(当P，A，F1共线时等号成立)，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2，0)，角度2焦点三角形问题(2)由题意得PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以(PF1＋PF2)2－3PF1·PF2＝4c2，所以3PF1·PF2＝4a2－4c2＝4b2，规律方法椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF1·PF2；通过整体代入可求其面积等.【训练1】(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是________.解析(1)连接QA.由已知得QA＝QP.所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又因为点A在圆内，所以OA＜OP，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)如图，设F1为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知F1Q＝PF2，OP＝OQ，所以△PQF1的周长为PF1＋F1Q＋PQ＝PF1＋PF2＋2PO＝2a＋2PO＝10＋2PO，易知2OP的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，

△PQF1即△PQF的周长取得最小值为10＋2×4＝18.答案(1)椭圆(2)18考点二椭圆的标准方程解析

(1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).规律方法

1.求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定位，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组.2.如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可.【训练2】(1)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________. (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，则椭圆的标准方程为________________.解析

(1)依题意，设椭圆C：＋＝1(a>b>0).过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，又由c＝1，得1＋b2＝a2.②法二设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点，考点三椭圆的性质角度1求离心率的值或范围解析

(1)以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵AF＋BF＝4，∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.角度2利用性质求范围∴0<m<3且m≤1，则0<m≤1.(2)①当焦点在x轴上，依题意得综上，m的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞).答案(1)2

(2)(0，1]∪[9，＋∞)规律方法(1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系.(2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，利用a2＝b2＋c2消去b，即可求得离心率或离心率的范围.考点四直线与椭圆角度1弦及中点弦问题两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0，角度2直线与椭圆的综合(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，若k＝0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而k≠0，故直线PC的方程为因为PC＝2AB，解得k＝±1.此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.规律方法

1.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.2.与椭圆有关的综合问题，往往与其他知识相结合，解决这类问题的常规思路是联立直线方程与椭圆方程，解方程组求出直线与椭圆的交点坐标，然后根据所给的向量条件再建立方程，解决相关问题.涉及弦中点问题用“点差法”解决往往更简单.(1)求椭圆C及圆O的方程；(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；因为圆O的直径为F1F