版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第6讲近代数学两巨星
——欧拉与高斯一.分析的化身——欧拉高中数学人教A版
选修3-1数学史选讲17世纪中叶,在牛顿和莱布尼茨的努力下,微积分诞生了,数学历史由此掀开一页了崭新的一页.在整个18世纪,众多数学家以极大的热情投身于微积分的研究工作,使得微积分很快朝着严密化迈进,并以此为核心发展成一个新的数学领域——数学分析.第6讲近代数学巨星
——欧拉
在为微积分的发展作出杰出贡献的数学家中,被誉为“数学英雄”的瑞士数学家欧拉是其中的佼佼者.18世纪,欧拉是欧洲数学界的灵魂人物,他是继牛顿之后最伟大的数学家之一.导入新课学习目标了解欧拉的一生,能够熟悉欧拉的数学贡献.1.【知识与能力】2.【过程与方法】
通过七桥问题,理解数学家欧拉的探索过程及研究精神.3.【情感态度与价值观】
通过对欧拉的了解,学习欧拉坚韧不拔的意志、百折不挠的精神.学习重难点熟悉欧拉的丰功伟绩,了解“哥尼斯堡七桥”问题,体会欧拉的探索过程.分析的化身——欧拉
莱昂哈德.欧拉(Leonhard.Euler,1707-1783),瑞士数学家及自然科学家,有“数学英雄”的美称.数学英雄1707年4月15日出生在瑞士的巴塞尔,1783年9月18日在俄国的彼得堡去世.传奇小故事
欧拉小时候,父亲决定建造一个羊圈.他用尺量出了一块长40米,宽15米的长方形土地.正打算动工时,他发现他的材料只够围100米的篱笆.父亲感到很为难,小欧拉却想出了办法,他将原来的40米边长缩短为25米,又将原来的15米增加为25米.这样篱笆能全部用光,面积还比原来的稍稍大了些.小时候他就特别喜欢数学,不满10岁就开始自学《代数学》,遇到不懂的地方,就用笔作个记号,事后再向别人请教.你对小欧拉有什么印象?你能讲一些欧拉的故事吗?一.数学生涯的开始欧拉出生在牧师家庭.13岁时入读巴塞尔大学,15岁大学毕业,16岁时又获得哲学硕士学位.欧拉的父亲希望他学习神学,但他最感兴趣的是数学.在上大学时,他已受到约翰.伯努利的特别指导,专心研究数学.18岁时,他彻底放弃了当牧师的想法开始专攻数学,并开始发表文章.1725年,欧拉正式开始了他的数学生涯.欧拉的奋斗历程1726年,欧拉受聘于圣彼得堡科学院,在那儿的头14年,欧拉在分析学数论、力学领域作出了辉煌的成果.由于劳累过度,欧拉在1738年的一场疾病后右目失明,但这并没有击垮顽强的欧拉,他仍然一如既往、全身心地投入到数学研究中.1741年,欧拉到德国科学院担任物理数学所所长一职,长达25年.在柏林期间,他的研究内容更加广泛,涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等等,这些工作与他的数学研究互相推动着.与此同时,他在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域均有开创性的发现.欧拉的奋斗历程欧拉在1766年携家人回到阔别25年的俄国.1771年,欧拉双目完全失明;是年,他的住所和财产以及大量研究成果在一场大火后荡然无存;两年后,欧拉的夫人辞世.尽管遭遇一系列不幸的沉重打击,但他仍以惊人的记忆力和心算继续从事科学创作.他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作,直至生命的最后一刻.欧拉的奋斗历程思考:欧拉一生取得伟大的成就原因在于?二.欧拉的丰功伟绩欧拉是18世纪数学杰出的人物之一,可以说,18世纪是欧拉的世纪,他不但为数学界作出贡献,更把数学推至几乎整个物理领域.1.数学分析
在欧拉所有的数学工作中,首屈一指应是对分析学的研究.欧拉的三本书《无穷分析论》(1748),《微分学》(1755)和《积分学》(共三卷。1768-1770)成为微积分发展史上里程碑式的著作.三部著作在很长时间里被作为分析课本的典范而普遍使用,并被当时欧洲的微积分学习者奉为经典.欧拉在这些著作中详尽系统的解说了当时的微积分方法.
他在《无穷分析引论》中给出了著名的极限:
其中e是自然对数的底数.如果将代入其中,就有
欧拉还给出了被誉为数学上最著名的公式之一:
这个简洁的等式包含了数学中最重要的四个数:圆周率,自然对数e,虚数单位i和数学的基本单位1.
在《微积分》一书中,欧拉给出了大量初等函数的积分.
鉴于欧拉为分析的发展作出的卓越贡献,人们将他誉为的“分析的化身”.2.函数“函数概念”是近代数学思想之花,那么函数的概念是怎样产生和发展的呢?函数概念初等函数单复变函数17世纪是从常量数学进入变量数学的过渡时期,笛卡尔发明的解析几何是函数概念新发展的标志.第一阶段第二阶段18世纪,欧拉把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形式的解析表达式”,概括了多项式、幂级数、对数表达式和三角表达式,微积分的发展使得函数的概念进一步完善.函数概念1755年,欧拉在《微积分原理》中再一次扩张了他的函数概念:“如果某些变量,以这样一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量改变时,前面这些变量也随之变化,则将前面的这些变量称为后面变量的函数.”这个函数概念体现了“a自变”到”因变“的过程,被认为是科学的函数概念的雏形.第三阶段初等函数《无穷分析引论》第一卷共18章,主要研究初等函数论.其中,第八章研究圆函数,第一次阐述了三角函数的解析理论.欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数.1751年,欧拉发表了完备的复数理论.单复变函数通过对初等函数的研究,达朗贝尔和欧拉在1747-1751年间先后得到了(用现代数语表达的)复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展,为单复变函数的发展打下了基础。3.哥尼斯堡七桥问题东普鲁士的首府哥尼斯堡是一个风景宜人的旅游胜地,城中有一条河叫做布勒戈尔河,该河横贯城区.它有两条支流,分别称为新河和旧河,两条支流在城中心回合,成为一条主流(大河).在新旧两河交汇处有一个岛,这是繁华的商业中心.这种分布,把全城分为北、东、南及中央岛四个区域,这四个区域由七座桥相连.问:能否不重复的走遍这七座桥?
直到1736年欧拉才证明了这个问题的不可能性.
一笔画问题是一个非常有趣的数学问题,欧拉是怎么解决这个问题的呢?
所谓一笔画问题指的是,从纸的一点出发,笔不离纸,每条边都只能画一次,不准重复而画成的图形.
经过思考,欧拉认为任何一个一笔画问题都会有一个起点一个终点,其他点称为过路点.把这个问题转化数学问题就是:
把东、南、北及中央岛四区看成四个点,连接它们的七座桥看成七条通路,以A代表岛区,D、B、C分别代表北、南、东三区,如图所示,现在问题可叙述为:以A、B、C、D这四个点中的任一点为起点,能否不重复地用一笔将上面的图形化出来,即一笔画问题.欧拉的思想:
如果起点和终点是同一点,那么从这点出发的路线条数与回来的路线条数是一样多的,而且这些路线又不能重复使用,因此与此点相连的通路有偶数条.同样,中间经过的点进去和出来的通路也应该是偶数条,具有这种性质的点称为偶点.如果起点与终点不相同,连接这两个点的通路应该是奇数条,这样的点称为奇点.
如果一个图形能不重复地一笔画成,那么它必须具有的奇点数或者是0,或者是2.这是因为中间点都是偶点,只有起点和终点才可能是奇点.由于哥尼斯堡数学抽象图的四个顶点A、B、C、D都是奇点,因此一笔画是不可能的.
欧拉对”哥尼斯堡七桥“问题的深入研究,产生了一门新的学科——图论.思考:班级讲台上的图案能一笔画成吗?4.欧拉示性数
如果用V,E和F表示闭的凸多面体的顶点数、棱数和面数,则有如下关系:V-E+F=2
欧拉给出了这条性质的证明,用此性质来给多面体分类.欧拉示性数V-E+F=2是现代拓扑学的主要不变量之一.5.数学符号
在欧拉的三部专著《无穷分析论》、《微分学》以及《积分学》中,他引入了许多简单明了的符号:用i表示虚数单位;用e表示自然对数;用△x表示有限差分;用表示求和;用表示函数;现代三角函数符号、π也是欧拉最早使用的.这些符号一直沿用至今.
欧拉的研究范围涵盖了当时的大量学科.比如数论、代数、无穷级数、单复变函数、分析学、微分方程、变分法、微分几何、图论以及拓扑学等等.欧拉对数学的研究如此广泛,因此在许多数学的分支中都有以他名字来命名的重要常数、公式和定理.
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,据统计他那不倦的一生,共写下886本书籍和论文,其中分析、代数、数论占40%。几何占18%,物理和力学占28%,天文学占11%,弹道学、航海学、建筑学等占3%,彼得堡科学院为整理他的著作,足足忙碌了四十七年.
鉴于欧拉坚韧不拔的意志、孜孜不倦的精神以及无与伦比的数学贡献,数学史家把阿基米德、牛顿、欧拉和高斯并称为“数学四杰”.由于欧拉身残志
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- GH/T 1444-2023速冻荠菜加工技术规程
- 《电器销售员培训》课件
- 《热泵的基础知识》课件
- 《小学人物描写》课件
- 单位管理制度范例合集职员管理十篇
- 《网络b安全b》课件
- 第3单元 中国特色社会主义道路(A卷·知识通关练)(解析版)
- 《美甲的发展史》课件
- 2014年高考语文试卷(新课标Ⅱ卷)(解析卷)
- 中国非遗文化鱼灯介绍2
- 水不同温度的热焓值
- 小品剧本《超级招聘》
- 空气压缩机检验原始记录表
- 叉车部件的涂装工艺及体系
- DB32∕T 3261-2017 水利工程预拌混凝土应用技术规范
- 物理学习的8种思考方式
- 阅读题赊小鸡
- 中国风围棋对弈雅致文艺教育培训活动策划版
- 钢管购销合同
- 基于51单片机的简易计算器时间显示(LCD1602显示)
- 2022国开大学电大专科《农科基础化学》期末试题及答案
评论
0/150
提交评论