早期量子论和量子力学基础

早期量子论和量子力学基础第1页，共148页，2023年，2月20日，星期五一、热辐射现象§13-1热辐射普朗克的能量子假设物体在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。Thermogramofman热辐射的电磁波的波长、强度与物体的温度有关，还与物体的性质表面形状有关。例如：加热铁块、热辐射光源。常温时主要辐射在红外区。物体辐射的总能量及能量按波长分布都决定于温度。第2页，共148页，2023年，2月20日，星期五二、基尔霍夫辐射定律(Kirchoff)单色辐出度M

：

为了描述物体辐射能量的能力，定义物体单位表面在单位时间内发出的波长在附近单位波长间隔内的电磁波的能量为单色辐出度。辐出度M(T)：物体从单位面积上发射的所有各种波长的辐射总功率。第3页，共148页，2023年，2月20日，星期五单色吸收比a(T)：当辐射从外界入射到物体表面时，在到+d的波段内吸收的能量E吸收d与入射的总能量E入射d

之比。吸收比a(T)：

当辐射从外界入射到物体表面时，吸收能量与入射总能量之比。吸收能力的量度显然，有：第4页，共148页，2023年，2月20日，星期五单色反射比r(T)：反射的能量与入射能量之比称为反射比，波长到+d范围内的反射比称为单色反射比。不透明物体：（绝对）黑体：物体在任何温度下，对任何波长的辐射能的吸收比都等于1，即第5页，共148页，2023年，2月20日，星期五基尔霍夫定律：在温度一定时物体在某波长处的单色辐出度与单色吸收比的比值与物体及其物体表面的性质无关，是仅取决于温度和波长的一个恒量。黑体单色辐出度一个好的发射体一定也是好的吸收体。第6页，共148页，2023年，2月20日，星期五同一个物体的发射本领和吸收本领有内在联系，室温下的反射光照片1100K的自身辐射光照片图片说明一个好的发射体一定也是好的吸收体。例如：黑白花盘子的反射和自身辐射照片第7页，共148页，2023年，2月20日，星期五在不透明材料围成的空腔上开一个小孔。该小孔可认为是黑体的表面。黑体能吸收各种频率的电磁波，也能辐射各种频率的电磁波。黑体是最理想的发射体例如：太阳等普通恒星的辐射接近黑体辐射，2.7K宇宙背景辐射也是黑体辐射。黑体是理想模型第8页，共148页，2023年，2月20日，星期五实验发现：在温度一定时，黑体的单色辐出度与波长有关，并存在一极大值，所对应的极值点m与温度有关系。由这些实验曲线可得黑体辐射的两个实验定律。三、黑体辐射实验定律第9页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.斯特藩—玻耳兹曼定律（J.Stefan&L.Boltzmann）

=5.67×10-8W/（m2K4）——Stefan恒量实验证明，黑体的总辐出度M0(T)（每条曲线下的面积）与温度的四次方成正比第10页，共148页，2023年，2月20日，星期五2.维恩位移定律（W.Wien）黑体辐射中单色辐出度的极值波长m与黑体温度T

之积为常数b=2.897×10-3m·K--Wien

常数以上两个实验定律可用来解释一些有关热辐射的现象，也是遥感、高温测量和红外追踪等技术的物理基础。维恩因热辐射定律的发现获1911年诺贝尔物理学奖。第11页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-1实验测得太阳辐射波谱的，若把太阳视为黑体，计算（1）太阳每单位表面积上所发射的功率，（2）地球表面阳光直射的单位面积上接受到的辐射功率，（3）地球每秒内接受的太阳辐射能。(已知太阳半径RS=6.96×108m，地球半径RE=6.37×106m，地球到太阳的距离d=1.496×1011m)解：太阳每单位表面积上所发射的功率（辐出度）：太阳表面温度：第12页，共148页，2023年，2月20日，星期五太阳表面的总辐射功率：SEd地球表面单位面积接受到的太阳辐射能功率为：由于d>>RE，可将地球看成半径为RE的圆盘，其接受到太阳的辐射能功率为：第13页，共148页，2023年，2月20日，星期五四、普朗克的能量子假设1.维恩经验公式2.瑞利—金斯公式假定电磁波能量分布服从类似于经典的麦克斯韦速度分布律，可得瑞利—金斯从经典的能量均分定理出发，得到黑体辐射的理论公式？短波极限为无限大—“紫外灾难”！第14页，共148页，2023年，2月20日，星期五维恩公式在低频段，偏离实验曲线！瑞利—金斯公式在高频段(紫外区)与实验明显不符，短波极限为无限大—“紫外灾难”！普朗克公式在全波段与实验结果惊人符合！紫外灾难黑体热辐射的理论与实验结果的比较第15页，共148页，2023年，2月20日，星期五3.普朗克公式普朗克利用内插法，使两个波段分别与维恩公式和瑞利—金斯公式一致，得到正确的黑体辐射公式：普朗克常数：第16页，共148页，2023年，2月20日，星期五经典电磁理论：辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。谐振子的能量可具有任意连续值。普朗克的能量子假设：振子振动的能量是不连续的，只能取最小能量的整数倍

，2，3，…，n

n为正整数在能量子假说基础上，普朗克由玻尔兹曼分布律和经典电动力学理论，得到黑体的单色辐出度，即普朗克公式。振子在辐射或吸收能量时，从一个状态跃迁到另一个状态。=h—能量子（为振子的频率）第17页，共148页，2023年，2月20日，星期五普朗克(MaxKarlErnstLudwigPlanck，1858―1947)德国物理学家，量子物理学的开创者和奠基人，1918年诺贝尔物理学奖金的获得者。还可由普朗克公式导出黑体辐射的两个实验定律。利用和第18页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-2试从普朗克公式推导斯特藩-玻尔兹曼定律及维恩位移定律。在普朗克公式中，为简便起见，引入则普朗克公式可改写为：解：第19页，共148页，2023年，2月20日，星期五黑体的总辐出度：分部积分法：第20页，共148页，2023年，2月20日，星期五导出斯特藩-玻尔兹曼定律：为求单色辐出度的极值波长m，可以由普朗克公式得到m满足：第21页，共148页，2023年，2月20日，星期五令迭代法解得维恩位移定律第22页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-2光电效应爱因斯坦的光子理论一、光电效应的实验规律光电效应：在波长较短的可见光或紫外光照射下某些金属表面上发射电子的现象。金属板释放的电子称为光电子，光电子在电场作用下在回路中形成光电流。光电效应实验装置第23页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.饱和光电流电流强度随光电管两端电势差的增加而增加，在入射光强一定时光电流会随U的增大而达到一饱和值im，且饱和电流与入射光强I成正比。实验规律：结论：单位时间内，受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比。第24页，共148页，2023年，2月20日，星期五2.遏止电势差减小电势差至U=0时，光电流I≠0，说明光电子具有初动能。当负的电势差大到一定数值Ua

时光电流完全变为零。称Ua为遏止电势差。电子的最大初动能与Ua

有关系：结论：光电子从金属表面逸出时具有一定的动能，最大初动能与入射光的强度无关。第25页，共148页，2023年，2月20日，星期五3.遏止频率（红限）当入射光的频率改变时遏止电势差随之改变，实验发现两者成线性关系：只有当入射光频率大于一定的频率

0时，才会产生光电效应，0

称为遏止频率或红限。O0

(红限)Ua结论：光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于

0时，不管照射光的强度多大，不会产生光电效应。第26页，共148页，2023年，2月20日，星期五不同材料的图线的斜率相同，但在横轴上的截距不同。说明：K与金属材料种类无关，但U0与金属材料种类有关。金属钨钙钠钾铷铯红限0（1014Hz）10.957.735.535.445.154.69逸出功A（eV）4.543.202.24不同材料的Ua-曲线第27页，共148页，2023年，2月20日，星期五当入射光频率大于红限0时，无论入射光的强度如何，光电子在光照射的瞬间可产生，驰豫时间不超过10-9

s。4.光电效应瞬时发生二、光的波动说的缺陷金属表面对电子具有束缚作用，电子脱离金属表面所需要最少能量称为逸出功

(workfunction)。用A表示，显然有其中Ephoton为吸收的电磁波能量第28页，共148页，2023年，2月20日，星期五光电子的初动能应决定于入射光的光强，即决定于光的振幅（即光强）而非光的频率，不应存在截止频率！光的能量是连续的，电子吸收光的能量需要一个累积过程，电子积累能量达到逸出功A时才能逸出，不可能瞬时发生！按照光的经典电磁理论：第29页，共148页，2023年，2月20日，星期五三、爱因斯坦的光子理论(3)根据能量守恒定律，电子在离开金属表面时具有的初动能满足：(1)光具有粒子性，光是由一个一个的光子（光量子）组成，每个光子的能量与其频率成正比。光电效应方程(2)一个光子只能整个地被电子吸收或放出。光量子具有“整体性”。第30页，共148页，2023年，2月20日，星期五电子离开金属表面的动能至少为零，故当

<A/h时，不发生光电效应。可发生光电效应的最小频率即红限：爱因斯坦利用光电效应方程解释光电效应：光电效应的瞬时性问题。不同金属的A不同，则红限不同。光电子初动能和照射光的频率成线性关系。光强大，光子数多，释放的光电子多，光电流大。第31页，共148页，2023年，2月20日，星期五AlbertEinstein(1879―1955)科学业绩：早期对布朗运动的研究；狭义相对论的创建；推动量子力学的发展；建立了广义相对论；提出原子的受激辐射理论；开辟了宇宙论的研究途径。美国物理学家，1921年由于他在光电效应方面的工作而获诺贝尔物理学奖。第32页，共148页，2023年，2月20日，星期五(1)光电管光信号→电信号用于光信号的记录、自动控制等。光电效应的应用(2)光电倍增管光信号→电信号用于弱光信号的放大--可将光电流放大数百万倍。第33页，共148页，2023年，2月20日，星期五四、光的波粒二象性在有些情况下，光突出显示出波动性；而在另一些情况下，则突出显示出粒子性——光有波粒二象性，并有如下关系：能量：质量：静质量：动量：第34页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-3

已知铯的逸出功A=1.9

eV，用钠黄光=589.3

nm照射铯。计算：（1）黄光光子的能量、质量和动量；（2）铯在光电效应中释放的光电子的动能；（3）铯的遏止电压、红限频率。解：(1)第35页，共148页，2023年，2月20日，星期五(2)(3)第36页，共148页，2023年，2月20日，星期五(1)按经典电磁理论，照射到离光源d处的功率是例13-4功率P=1W的点光源，d=3m处有一钾薄片。假定钾薄片中的电子可以在半径r=0.5×10-10m的圆面积范围内收集能量，已知钾的逸出功为A=1.8eV，（1）按照经典电磁理论，计算电子从照射到逸出需要多长时间；（2）如果光源发出波长为的单色光，根据光子理论，求每单位时间打到钾片单位面积上有多少光子。解：第37页，共148页，2023年，2月20日，星期五单位时间打在距光源3m的钾片单位面积上的能量为：(2)按照光子理论，一个光子的能量：光子数：假定这些能量全部被电子所吸收，电子从照射到逸出所需时间：第38页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-3康普顿效应一、康普顿效应康普顿(A.H.Compton)光的量子性还表现在光散射的康普顿效应。该效应是光显示出其粒子性的又一著名实验。1927年诺贝尔物理学奖得主1922-1923年，康普顿研究了X射线在石墨上的散射，在散射的X射线中不但存在与入射线波长相同的射线，同时还存在波长大于入射线波长的射线成份——康普顿效应。第39页，共148页，2023年，2月20日，星期五光阑X

射线谱仪石墨体(散射物质)X

射线源0散射波长晶体探测器康普顿散射的实验装置第40页，共148页，2023年，2月20日，星期五康普顿正在测晶体对X射线的散射第41页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.散射光除原波长0外，还出现了波长大于0的新的散射波长。2.波长差Δ=-0

随散射角的增大而增大。3.新波长的谱线强度随散射角的增加而增加，但原波长的谱线强度降低。实验规律第42页，共148页，2023年，2月20日，星期五4.对不同的散射物质，只要在同一个散射角下，波长的改变量-0都相同，与散射物质无关！1925-1926年吴有训在该方面也做出了贡献。第43页，共148页，2023年，2月20日，星期五二、光子理论的解释经典电磁理论的困难：如果入射X光是某种波长的电磁波，散射光的波长是不会改变的—不能解释散射中的新波长成份。康普顿认为：X光的散射应是光子与原子内电子的碰撞。1.定性解释X射线光子与原子“内层电子”的弹性碰撞内层电子与核结合较为紧密（keV)，他认为碰撞实际上可以看作是发生在光子与质量很大的整个原子间的碰撞—光子基本上不失去能量—保持原性质不变。第44页，共148页，2023年，2月20日，星期五

X射线光子与原子“外层电子”的弹性碰撞外层电子与核结合较弱（几个eV）—与X光子相比，这些电子近似看成为“静止”的“自由”电子。光子与电子的弹性碰撞—光子失去部分能量，频率，波长—康普顿效应。第45页，共148页，2023年，2月20日，星期五2.定量分析X射线光子与“静止”的“自由电子”弹性碰撞。能量守恒：动量守恒：第46页，共148页，2023年，2月20日，星期五康普顿波长为普适常量，与物质种类无关！理论和实验结果符合得很好。康普顿波长第47页，共148页，2023年，2月20日，星期五只有当入射波长0与c可比拟时，康普顿效应才显著，因此要用X射线才能观察到康普顿散射，用可见光观察不到康普顿散射。很难观测到康普顿效应。说明对可见光来讲，第48页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-5波长为的X射线与静止的自由电子碰撞，现在从和入射方向成角的方向去观察散射辐射。求：(1)散射X射线的波长；(2)反冲电子的能量；(3)反冲电子的动量。散射后X射线波长的改变为：解：第49页，共148页，2023年，2月20日，星期五(2)根据能量守恒：反冲电子获得的能量：第50页，共148页，2023年，2月20日，星期五(3)根据动量守恒：0第51页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-6在康普顿效应中，入射光子的波长为3×10-3nm，反冲电子的速度为光速的60%，求散射光子的波长和散射角。解：第52页，共148页，2023年，2月20日，星期五第53页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-4氢原子光谱玻尔的氢原子理论一、氢原子光谱的规律性原子光谱是原子内部结构的直接反映，不同的原子有不同的特征光谱，定义波数：氢原子光谱第54页，共148页，2023年，2月20日，星期五：光谱项

n、k：正整数氢原子各谱线的波数可以表示为经验公式：称为Rydberg公式，R为Rydberg恒量，

n>k(n=k+1，k+2,…)第55页，共148页，2023年，2月20日，星期五赖曼系（Lyman)k=1，紫外光k取不同值时，给出不同光谱系；n对应于不同谱线。巴尔末系（Balmer)k=2，可见光帕邢系（Paschen)k=3，红外布喇开系k=4红外普芳德系k=

5红外氢原子光谱的谱系：

n>k(n=k+1，k+2,…)第56页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.经典原子模型及其困难汤姆逊父子的面包夹葡萄干模型卢瑟福的粒子散射实验和原子的核结构模型核结构模型很好地解释了粒子散射实验，但却使经典理论陷入困境：（1）原子的稳定性问题经典原子模型的困难（2）原子光谱的线状光谱问题二、玻尔的氢原子理论第57页，共148页，2023年，2月20日，星期五（1）定态条件：电子绕核作圆周运动，但不辐射能量，是稳定的状态--定态。（2）频率条件：当原子从某一能量状态跃迁到另一能量状态时，就要发射或吸收电磁辐射，且辐射的频率满足条件：2.Bohr假设vnEn+e-emmprn每一个定态对应于原子的一个能级第58页，共148页，2023年，2月20日，星期五n=1，2，3…量子数（3）角动量量子化条件：电子绕核作圆周运动时角动量是量子化的，取值为：第59页，共148页，2023年，2月20日，星期五三、氢原子轨道半径和能量的计算经典理论结合Bohr理论氢原子的半径和玻尔半径Bohr半径vnEn+e-emmprn第60页，共148页，2023年，2月20日，星期五氢原子各定态电子轨道几跃迁图第61页，共148页，2023年，2月20日，星期五氢原子的能量、基态能（电离能）氢原子（电子）能量基态能（电离能）能量是量子化的，称为能级。第62页，共148页，2023年，2月20日，星期五实验值：根据氢原子的能级及玻尔假设得到氢原子光谱的Rydberg公式：第63页，共148页，2023年，2月20日，星期五-13.6-3.39-1.51-0.85-0.540En(eV)12354氢原子能级图赖曼系巴尔末系帕邢系布喇开系普芳德系第64页，共148页，2023年，2月20日，星期五四、玻尔理论的缺陷玻尔理论仍然以经典理论为基础，定态假设又和经典理论相抵触。量子化条件的引进没有适当的理论解释。对谱线的强度、宽度、偏振等无法处理。反映了早期量子论的局限性。第65页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-7如用能量为12.6eV的电子轰击氢原子，将产生那些光谱线？解：可取n=3第66页，共148页，2023年，2月20日，星期五可能的能级跃迁：31，32，21第67页，共148页，2023年，2月20日，星期五基态氢原子受到12.8eV的电子轰击后，氢原子能具有的最高能量：

例13-8氢原子的基态能量E1=-13.6eV。在气体放电管中受到12.8eV的电子轰击，使氢原子激发，问此放电管中的氢原子从激发态向低能态跃迁时一共能产生几条谱线？其中波长最长的光谱线、最短的光谱线及可见光光谱线的波长各为多少？解：取4第68页，共148页，2023年，2月20日，星期五共六条谱线，如图第69页，共148页，2023年，2月20日，星期五可见光光谱是巴尔末系：第70页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-5德布罗意波微观粒子的波粒二象性一、德布罗意波光具有波粒二象性，那么实物粒子是否也应具有波粒二象性？或实物粒子具有波动性吗？德布罗意（L.V.deBroglie1892-1986，法国）从光具有波粒二象性出发，认为实物粒子（如电子、质子等）也应具有波动性。第71页，共148页，2023年，2月20日，星期五这种波既不是机械波也不是电磁波，称为德布罗意波(deBrogliewave)或物质波(matterwave)。具有能量E和动量p的实物粒子所联系的波的频率和波长有关系：具有静止质量m0的实物粒子以速度v

运动，则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：德布罗意公式时第72页，共148页，2023年，2月20日，星期五

例13-9（1）估算：m=5g，v=300m/s的子弹的波长。子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！（2）电子质量m0=9.110-31kg，Ek

=100

eV的电子的物质波波长：第73页，共148页，2023年，2月20日，星期五德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足——玻尔轨道角动量量子化条件德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨道量子化条件。第74页，共148页，2023年，2月20日，星期五二、戴维孙-革末实验贝耳电话公司实验室的戴维逊（C．J．Davisson）和革末（L．H．Germer）研究电子在镍单晶上的衍射（1927）。实验装置示意图第75页，共148页，2023年，2月20日，星期五假如电子具有波动性，当满足布喇格公式

此时，电表中应出现电流的极大值。d镍：方向上测到电流的第一次峰值。解释：第76页，共148页，2023年，2月20日，星期五G.P.汤姆逊实验1928年英国物理学家G.P.汤姆逊做了电子通过金多晶薄膜的衍射实验1929年德布洛意获诺贝尔物理奖。1937年戴维逊与G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。第77页，共148页，2023年，2月20日，星期五量子围栏镶嵌了48个Fe原子的Cu表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波。电子双缝干涉实验约恩孙(C.Jonsson)1961年第78页，共148页，2023年，2月20日，星期五德国的鲁斯卡（E.Ruska）等人研制成功第一台电子显微镜。分辨率：～10nm微观粒子波动性的应用鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界上第一台电子显微镜，1986年诺贝尔物理学奖。1933年第79页，共148页，2023年，2月20日，星期五少女？老妇？两种图象不会同时出现在你的视觉中。三、微观粒子的波粒二象性第80页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-10试估算热中子的得布罗意波长(中子的质量mn=1.67×10-27㎏)。热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热平衡的中子，平均动能：方均根速率：德布罗意波长：解：第81页，共148页，2023年，2月20日，星期五第一级最大的条件是：按德布罗意公式：解：

例13-11电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角为，铝的晶格常数a为4.05×10-10m，求电子速度。第82页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-6不确定关系动量的不确定量：坐标的不确定量：按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色的—不可能具有唯一的波长。这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值。由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置是不确定的。位置和动量的不确定量存在一个关系—不确定关系。第83页，共148页，2023年，2月20日，星期五以电子的单缝衍射为例说明（d为缝宽）对落在中央明纹范围内的电子：海森伯（W.Heisenberg）位置—动量不确定关系第84页，共148页，2023年，2月20日，星期五考虑到落在其他明纹内的电子：故有：三维情形：严格的不确定关系应该是：海森伯获1932年诺贝尔物理学奖。第85页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒二象性的体现。3.当(即L>>)时，可作为经典粒子处理。2.对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。因此，微观粒子：(1)没有“轨道”，(2)不可能静止（对任何惯性系）。说明4.能量和时间的不确定关系：称为原子激发态的能级宽度为原子处于该激发态的平均寿命第86页，共148页，2023年，2月20日，星期五枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定量：和子弹飞行速度每秒几百米相比，这速度的不确定性是微不足道的，所以子弹的运动速度是确定的。例13-12设子弹的质量为0.01kg枪口的直径为0.5cm。试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。解：第87页，共148页，2023年，2月20日，星期五

例13-13电视显象管中电子的加速度电压为10kV，电子枪的枪口的直径为0.01cm。试求电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。电子横向位置的不确定量所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的，波动性不起什么实际影响。解：第88页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-14氢原子中的电子的轨道运动速度为106m/s，求电子速度的不确定度。可见波动性十分明显，原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度，也没有确定的轨道，不能看成经典粒子。解：原子中电子位置的不确定量：第89页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-15估算禁闭在原子核中的电子动能。理论证明，具有这样大的动能电子足以把原子核击碎，所以电子不可能禁闭在原子核中。原子核线度的数量级为解：第90页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-7波函数及其统计诠释薛定谔方程一、物质波波函数及其统计诠释奥地利物理学家薛定谔（E．Schrodinger）1925年提出用物质波波函数描述微观粒子运动状态。平面波波函数沿x轴正方向运动、能量E、动量p的自由粒子对应的平面物质波波函数应为：由于第91页，共148页，2023年，2月20日，星期五若粒子为三维自由运动，波函数可表示为物质波波函数的物理意义？爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。玻恩(M．Born)在这个观念的启发下，将其推广到物质波波函数的物理意义：在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方。1954年，玻恩获诺贝尔物理奖。第92页，共148页，2023年，2月20日，星期五对单个粒子，给出粒子的概率密度；对N个粒子，给出粒子数的分布密度。在时刻t、空间

点处，体积元dV

中发现微观粒子的概率为：对N个

粒子系，在体积元dV中发现的粒子数为：说明第93页，共148页，2023年，2月20日，星期五让入射电子几乎一个一个地通过单缝随着电子数增大，逐渐形成衍射图样——衍射图样来源于“单个电子”所具有的波动性——统计规律。底片上出现一个一个的点子，开始时点子无规则分布——说明电子具有“粒子性”，但不满足经典的决定论。一个电子重复许多次相同实验，将表现出相同的统计结果。数百个电子少数几个电子数万个电子物质波也称为概率波。用几率波说明弱电子流单缝衍射第94页，共148页，2023年，2月20日，星期五波函数应满足的条件1.自然条件：单值、有限和连续2.归一化条件粒子出现在dV体积内的几率为：粒子在空间各点的概率总和应为l，第95页，共148页，2023年，2月20日，星期五xxxx上述四种曲线哪种可能是表示波函数？第96页，共148页，2023年，2月20日，星期五二、薛定谔方程描述运动状态的量动力学方程经典粒子：等力学量牛顿运动定律微观粒子：波函数?经典波：y波动方程薛定谔（Schrödinger1887-1961）1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。奥地利物理学家，提出量子力学最基本的方程。薛定谔方程（1926年）第97页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.自由粒子的薛定谔方程自由粒子波函数：对波函数微分得：由一维运动自由粒子(v<<c)的薛定谔方程第98页，共148页，2023年，2月20日，星期五2.在势场中粒子的薛定谔方程对处于保守力场U(x,t)中的粒子：薛定谔方程变为：推广到三维势场中：第99页，共148页，2023年，2月20日，星期五拉普拉斯算符薛定谔方程又写为：薛定谔方程描述非相对论实物粒子在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。说明第100页，共148页，2023年，2月20日，星期五3.定态薛定谔方程若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数U与时间无关，自由运动粒子

例如：氢原子中的电子此时，哈密顿算符与时间无关，薛定谔方程可用分离变量法求解：波函数

可以分离为空间坐标函数和时间函数的乘积代入薛定谔方程…第101页，共148页，2023年，2月20日，星期五得到：等式两端应等于同一常数—定态薛定谔方程—E代表粒子的能量第102页，共148页，2023年，2月20日，星期五定态时，粒子的波函数：粒子出现在空间的几率与时间无关—定态。粒子出现在空间的几率密度：可见，定态问题最后归结为求解定态薛定谔方程。第103页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-8一维定态薛定谔方程的应用一、一维无限深势阱粒子在保守力场的作用下，被限制在有限的空间范围内运动，其势函数称为势阱（potentialwell）。如金属中的电子。如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为无限深方势阱。如果只考虑一维运动，就是一维无限深方势阱。势能函数为：U=0∞∞U(x)无限深方势阱第104页，共148页，2023年，2月20日，星期五阱内：阱外：定态薛定谔方程及其解方程的解只能是：解为：令U=0∞∞U(x)无限深方势阱第105页，共148页，2023年，2月20日，星期五待定常数C

和δ解由波函数的自然条件确定。波函数在阱壁上的连续条件第106页，共148页，2023年，2月20日，星期五定态波函数为：归一化常数C和定态波函数第107页，共148页，2023年，2月20日，星期五粒子的波函数为：（1）粒子的能量量子化

En为粒子的能级，也称能量本征值，n为能量量子数。一维势箱中粒子的运动特征讨论第108页，共148页，2023年，2月20日，星期五（2）粒子的最低能量不等于零在阱内不可能有静止的粒子—波动性。（基态能、零点能）零点能的存在与不确定度关系协调一致。n=132第109页，共148页，2023年，2月20日，星期五能量间隔能级增大,能级间隔递增阱变宽,能级间隔下降大质量粒子的能级间隔小

a

很大或m

很大，能级几乎连续。量子经典当n很大时，能级可视为是连续的。量子经典n=132第110页，共148页，2023年，2月20日，星期五（3）粒子在势阱内出现的概率是不均匀的阱内的几率分布有起伏，n越大，起伏次数越多。当n时，阱内的几率分布趋向均匀，量子经典。第111页，共148页，2023年，2月20日，星期五（4）粒子的物质波在阱内形成驻波波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加——形成驻波。由：

ka=n,

满足驻波条件：第112页，共148页，2023年，2月20日，星期五（5）有限深势阱，粒子出现的概率分布如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于阱璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。经典理论无法解释，实验得到证实。第113页，共148页，2023年，2月20日，星期五两相邻能级的能量差：例13-16设想一电子在无限深势阱中，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两种情况下相邻能级的能量差。解：第114页，共148页，2023年，2月20日，星期五a=10-10m，此时，相邻能级间的距离非常大，电子能量的量子化就明显表现出来。a=1cm，此时，相邻能级间的距离非常小，电子的能级可以看作是连续的。第115页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-17一质量为m的粒子处在宽为L的一维无限深势阱中，求：(1)粒子在区间内出现的几率，并在n=1和n=分别求出几率值；(2)哪些量子态在L/4处出现的几率最大？(3)n=2时何处发现粒子的几率最大？(1)粒子的定态波函数为解：第116页，共148页，2023年，2月20日，星期五(2)粒子在L/4处的几率密度为：其极大值对应第117页，共148页，2023年，2月20日，星期五(3)n=2时粒子的几率密度分布为：其极大值对应第118页，共148页，2023年，2月20日，星期五二、一维势垒隧道效应一维方势垒（potentialbarrier）按照经典力学：当E>U0时，粒子可以进入x>0的Ⅱ区；当E<U0时，粒子不可能进入x>0的Ⅱ区，在垒壁处粒子被反弹回x<0区。对于从Ⅰ区沿x方向运动的粒子，ⅠⅡⅢ第119页，共148页，2023年，2月20日，星期五量子力学结果如何？(E<U0时)定态薛定谔方程令ⅠⅡⅢ第120页，共148页，2023年，2月20日，星期五解为：ⅠⅡⅢ第121页，共148页，2023年，2月20日，星期五III区无反射波，其他待定常数A'、B、B'、C由下列边界条件确定xU=U0U=0Oa(x）在粒子总能量低于势垒壁高的情况下，粒子有一定的概率穿透势垒，称为隧道效应（tunneleffect）。第122页，共148页，2023年，2月20日，星期五贯穿系数可见：m、a、(U0–E)越小，则穿透率T越大。例如：电子a=2×10-10

m,(U0-E)

=1

eV→

T≈0.51a=5×10-10

m,(U0-E)

=1

eV→

T≈0.024原子核的衰变、超导体中的隧道结等是隧道效应的结果。第123页，共148页，2023年，2月20日，星期五1.STM原理利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间间距有间隙，形成了电子的势垒，间隙越小势垒宽度越窄，隧道电流I越大。扫描隧道显微镜（STM）扫描隧道显微镜(ScanningTunnelingMicroscope)是可以观测原子的超高倍显微镜。扫描隧道显微镜原理图第124页，共148页，2023年，2月20日，星期五隧道电流I与样品和针尖间距离S的关系：S—样品和针尖间的距离U—加在样品和针尖间的微小电压A—常数—平均势垒高度通过测量电路中的电流，反推出距离S，绘出样品表面形貌图（立体图）高分辨率：横向0.1nm，纵向0.01nm，可分辨单个原子第125页，共148页，2023年，2月20日，星期五CarbonMonoxideonPlatinum(111)5nmhigh0509030(nm)70硅晶体表面的STM扫描图象STM扫描图象第126页，共148页，2023年，2月20日，星期五三、谐振子一维谐振子的势能：定态薛定谔方程：其能量本征值为：能级间隔均匀能量是量子化的第127页，共148页，2023年，2月20日，星期五基态能(零点能)不为零与Planck假设不同！E0E1E2E3U(x)E0x第128页，共148页，2023年，2月20日，星期五§13-9量子力学中的氢原子问题一、氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程采用球坐标（r、、）第129页，共148页，2023年，2月20日，星期五设波函数定态薛定谔方程变为采用分离变量法可得到三个常微分方程。第130页，共148页，2023年，2月20日，星期五三个常微分方程：解三个方程，考虑到波函数应满足的标准条件，可得波函数(r，，)，并很自然地得到氢原子的量子化特征。第131页，共148页，2023年，2月20日，星期五二、量子化条件和量子数1.能量量子化--主量子数n得到氢原子能量必须满足量子化条件：称为主量子数。须满足标准条件，当时，En连续值。同玻尔得到的氢原子的能量公式一致；第132页，共148页，2023年，2月20日，星期五2.电子轨道角动量(大小)的量子化--角量子数l

s,p,d,f,…玻尔理论：

l受n

限制常表示为：1s2s,2p称为角量子数电子轨道角动量大小必须满足量子化：第133页，共148页，2023年，2月20日，星期五3.电子轨道角动量的空间量子化--磁量子数ml即角动量在空间的取向也是量子化的。对于一定的角量子数l，磁量子数ml可取(2l+1)个值，角动量在空间z方向的取向只有(2l+1)种可能。(2l+1)个电子轨道角动量在外磁场方向（z轴）的投影须满足量子化：第134页，共148页，2023年，2月20日，星期五0-2Lz=2-z角动量空间量子化的示意图第135页，共148页，2023年，2月20日，星期五例13-18设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小及角动量的空间取向。解：角动量的大小：

l=1，ml的