高中数学学业水平考知识点总结

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高中数学学业水平考知识点总结篇1

1、向量的加法

向量的加法满意平行四边形法那么和三角形法那么。

AB+BC=AC。

a+b=(*+*，y+y)。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法

假如a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(*,y)b=(*,y)那么a-b=(*-*,y-y).

3、数乘向量

实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ0时，λa与a同方向;

当λ0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，假如λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满意下面的运算律

结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的安排律(第一安排律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的安排律(第二安排律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：①假如实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②假如a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积

定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a·b。假设a、b不共线，那么a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉;假设a、b共线，那么a·b=+-∣a∣∣b∣。

向量的数量积的坐标表示：a·b=*·*+y·y。

向量的数量积的运算率

a·b=b·a(交换率);

(a+b)·c=a·c+b·c(安排率);

向量的数量积的性质

a·a=|a|的平方。

a⊥b〈=〉a·b=0。

|a·b|≤|a|·|b|。

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考点一、映射的概念

1、了解对应大千世界的对应共分四类，分别是：一对一多对一一对多多对多

2、映射：设A和B是两个非空集合，假如根据某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素*，在集合B中都存在的一个元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射〔mapping〕、映射是非常的对应，简称“对一”的对应、包括：一对一多对一

考点二、函数的概念

1、函数：设A和B是两个非空的数集，假如根据某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数*，在集合B中都存在确定的数y与之对应，那么，就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个函数、记作y=f〔*〕，*A、其中*叫自变量，*的取值范围A叫函数的定义域；与*的值相对应的y的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域、函数是非常的映射，是非空数集A到非空数集B的映射、

2、函数的三要素：定义域、值域、对应关系、这是判断两个函数是否为同一函数的依据、

3、区间的概念：设a，bR，且a

①〔a，b〕={*a

⑤〔a，+∞〕={a}⑥[a，+∞〕={≥a}⑦〔—∞，b〕

考点三、函数的表示方法

1、函数的三种表示方法列表法图象法解析法

2、分段函数：定义域的不同部分，有不同的对应法那么的函数、留意两点：①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数、②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集、

考点四、求定义域的几种状况

①假设f〔*〕是整式，那么函数的定义域是实数集R；

②假设f〔*〕是分式，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

③假设f〔*〕是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；

④假设f〔*〕是对数函数，真数应大于零、

⑤由于零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零、

⑥假设f〔*〕是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

⑦假设f〔*〕是由实际问题抽象出来的函数，那么函数的定义域应符合实际问题

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1、定义法：

判断B是A的条件，事实上就是判断B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按规律关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可、

2、转换法：

当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断、

3、集合法

在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，那么：

假设A∩B，那么p是q的充分条件、

假设A∪B，那么p是q的须要条件、

假设A=B，那么p是q的充要条件、

假设A∈B，且B∈A，那么p是q的既不充分也不须要条件、

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1、求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数yf〔*〕在区间〔a，b〕内可导，

〔1〕假如恒f〔*〕0，那么函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为增函数；

〔2〕假如恒f〔*〕0，那么函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为减函数；

〔3〕假如恒f〔*〕0，那么函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为常数函数、

利用导数求函数单调性的基本步骤：

①求函数yf〔*〕的定义域；

②求导数f〔*〕；

③解不等式f〔*〕0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；

④解不等式f〔*〕0，解集在定义域内的不间断区间为减区间、

反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题〔如确定参数的取值范围〕：设函数yf〔*〕在区间〔a，b〕内可导，

〔1〕假如函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为增函数，那么f〔*〕0〔其中使f〔*〕0的*值不构成区间〕；

〔2〕假如函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为减函数，那么f〔*〕0〔其中使f〔*〕0的*值不构成区间〕；

〔3〕假如函数yf〔*〕在区间〔a，b〕上为常数函数，那么f〔*〕0恒成立、

2、求函数的极值：

设函数yf〔*〕在*0及其四周有定义，假如对*0四周的全部的点都有f〔*〕f〔*0〕〔或f〔*〕f〔*0〕〕，那么称f〔*0〕是函数f〔*〕的微小值〔或极大值〕、

可导函数的极值，可通过讨论函数的单调性求得，基本步骤是：

〔1〕确定函数f〔*〕的定义域；

〔2〕求导数f〔*〕；

〔3〕求方程f〔*〕0的全部实根，*1*2*n，顺次将定义域分成假设干个小区间，并列表：*改变时，f〔*〕和f〔*〕值的改变状况：

〔4〕检查f〔*〕的`符号并由表格判断极值、

3、求函数的值与最小值：

假如函数f〔*〕在定义域I内存在*0，使得对任意的*I，总有f〔*〕f〔*0〕，那么称f〔*0〕为函数在定义域上的值、函数在定义域内的极值不肯定，但在定义域内的最值是的、

求函数f〔*〕在区间[a，b]上的值和最小值的步骤：

〔1〕求f〔*〕在区间〔a，b〕上的极值；

〔2〕将第一步中求得的极值与f〔a〕，f〔b〕比较，得到f〔*〕在区间[a，b]上的值与最小值

4、解决不等式的有关问题：

〔1〕不等式恒成立问题〔绝对不等式问题〕可考虑值域、

f〔*〕〔*A〕的值域是[a，b]时，

不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是f〔*〕ma*0，即b0；

不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是f〔*〕min0，即a0、

f〔*〕〔*A〕的值域是〔a，b〕时，

不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是b0；不等式f〔*〕0恒成立的充要条件是a0、

〔2〕证明不等式f〔*〕0可转化为证明f〔*〕ma*0，或利用函数f〔*〕的单调性，转化为证明f〔*〕f〔*0〕0、

5、导数在实际生活中的应用：

实际生活求解〔小〕值问题，通常都可转化为函数的最值、在利用导数来求函数最值时，肯定要留意，极值点的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明、

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1、万能公式令

tan(a/2)=tsina=2t/(1+t^2)cosa=(1-t^2)/(1+t^2)tana=2t/(1-t^2)

2、帮助角公式

asint+bcost=(a^2+b^2)^(1/2)sin(t+r)cosr=a/[(a^2+b^2)^(1/2)]sinr=b/[(a^2+b^2)^(1/2)]tanr=b/a

3、三倍角公式

sin(3a)=3sina-4(sina)^3cos(3a)=4(cosa)^3-3cosatan(3a)=[3tana-(tana)^3]/[1-3(tana^2)]sina_cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2cosa_sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2cosa_cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2sina_sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

向量公式：

1、单位向量：单位向量a0=向量a/|向量a|

2、P(*,y)那么向量OP=*向量i+y向量j|向量OP|=根号(*平方+y平方)

3、P1(*1,y1)P2(*2,y2)那么向量P1P2={*2-*1,y2-y1｝|向量P1P2|=根号[(*2-*1)平方+(y2-y1)平方]

4、向量a={*1,*2｝向量b={*2,y2｝向量a_向量b=|向量a|_|向量b|_Cosα=*1*2+y1y2Cosα=向量a_向量b/|向量a|_|向量b|(*1*2+y1y2)根号(*1平方+y1平方)_根号(*2平方+y2平方)

5、空间向量：同上推论(提示：向量a={*,y,z｝)

6、充要条件：假如向量a向量b那么向量a_向量b=0假如向量a//向量b那么向量a_向量b=|向量a|_|向量b|或者*1/*2=y1/y2

7、|向量a向量b|平方=|向量a|平方+|向量b|平方2向量a_向量b=(向量a向量b)平方

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1、“包含”关系—子集

留意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2、“相等”关系(5≥5，且5≤5，那么5=5)

实例：设A={2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集：假如AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③假如AíB,BíC,那么AíC

④假如AíB同时BíA那么A=B

3、不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集

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1、一些基本概念：

(1)向量：既有大小，又有方向的量、

(2)数量：只有大小，没有方向的量、

(3)有向线段的三要素：起点、方向、长度、

(4)零向量：长度为0的向量、

(5)单位向量：长度等于1个单位的向量、

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量、

※零向量与任一向量平行、

(7)相等向量：长度相等且方向相同的向量、

2、向量加法运算：

⑴三角形法那么的特点：首尾相连、

⑵平行四边形法那么的特点：共起点

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有界性

设函数f〔*〕在区间*上有定义，假如存在M0，对于一切属于区间*上的*，恒有|f〔*〕|≤M，那么称f〔*〕在区间*上有界，否那么称f〔*〕在区间上无界、

单调性

设函数f〔*〕的定义域为D，区间I包含于D、假如对于区间上任意两点*1及*2，当*1f〔*2〕，那么称函数f〔*〕在区间I上是单调递减的、单调递增和单调递减的函数统称为单调函数、

奇偶性

设为一个实变量实值函数，假设有f〔—*〕=—f〔*〕，那么f〔*〕为奇函数、

几何上，一个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会转变、

奇函数的例子有*、sin〔*〕、sinh〔*〕和erf〔*〕、

设f〔*〕为一实变量实值函数，假设有f〔*〕=f〔—*〕，那么f〔*〕为偶函数、

几何上，一个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会转变、

偶函数的例子有|*|、*2、cos〔*〕和cosh〔*〕、

偶函数不可能是个双射映射、

连续性

在数学中，连续是函数的一种属性、直观上来说，连续的函数就是当输入值的改变足够小的时候，输出的改变也会随之足够小的函数、假如输入值的某种微小的改变会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，那么这个函数被称为是不连续的函数〔或者说具有不连续性〕、

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〔1〕不等关系

感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式〔组〕的实际背景。

〔2〕一元二次不等式

①经受从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

〔3〕二元一次不等式组与简约线性规划问题

①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组〔参见例2〕。

③从实际情境中抽象出一些简约的二元线性规划问题，并能加以解决〔参见例3〕。

〔4〕基本不等式

①探究并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简约的〔小〕值问题。

高中数学学业水平考知识点总结篇10

空间几何体表面积体积公式：

1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h〔R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高〕。