拱桥的计算课程

拱桥的计算课程第1页/共85页第二章拱桥的计算2-1

上承式拱桥的计算2-2

中下承式拱桥的计算2-3

其他类型拱桥的计算特点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------第2页/共85页第一节上承式拱桥的计算拱桥的计算拱轴线的选择与确定成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算施工阶段的内力分析和稳定验算恒载内力温度、收缩徐变拱脚变位活载内力内力调整拱上建筑的计算《桥梁施工》课程中讲解第3页/共85页一、拱轴线的选择与确定

一般以恒载压力线作为设计拱轴线。（一）实腹式悬链线拱

如图所示，设拱轴线为恒载压力线，则拱顶截面的内力为：弯矩

Md=0剪力

Qd=0恒载推力

Hg对拱脚截面取矩，有:半拱恒载对拱脚的弯矩1.拱轴方程的建立第4页/共85页对任意截面取矩，有：y1以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标；Mx任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值，以顺时针为正。对上式两边对x取两次导数，可得：对于实腹式拱，其任意截面的恒载可以用下式表示：gd拱顶处恒载强度

拱上材料的容重第5页/共85页取y1=f，可得拱脚处恒载强度gj

为：——称为拱轴系数。则：其中:引参数：则：第6页/共85页可得：令则解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为：上式为悬链线方程。第7页/共85页对于拱脚截面有：=1，y1=f，通常m为已知，则可以用下式计算k值：当m=1时gx=gj，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛物线，其方程变为：反双曲余弦函数对数表示当=1/2，y1=yl/4，有yl/4随m的增大而减小,即拱轴线随m增大而抬高。第8页/共85页2.拱轴系数m的确定拱顶恒载分布集度gd拱脚恒载分布集度gj其中拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重拱顶填料厚度拱圈厚度拱脚处拱轴线的水平倾角第9页/共85页

由上计算m值的公式可以看出，除φj为未知数外，其余均为已知,在具体计算m值时可采用试算法,做法如下：a)先假设mi;b)根据悬链线方程求φj

；c)根据计算出的φj计算出gj后，即可求得mi+1；d)比较mi和mi+1，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大，则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等。以上过程可以编制小程序计算！第10页/共85页拱轴线变化：空腹式拱中桥跨结构恒载分为两部分：分布恒载和集中恒载。恒载压力线不是悬链线，也不是一条光滑曲线。五点重合法：使悬链线拱轴线接近其恒载压力线，即要求拱轴线在全拱有5点（拱顶、拱脚和1/4点）与其三铰拱恒载压力线重合。（二）空腹式悬链线拱1.拱轴系数m的确定第11页/共85页五点弯矩为零的条件①拱顶弯矩为零条件：②拱脚弯矩为零：③1/4点弯矩为零：空腹拱的m值，任需采用试算法计算（逐次渐近法）。第12页/共85页2.拱轴线与压力线的偏离

以上确定m方法只保证全拱有5点与恒载压力线吻合，其余各点均存在偏离，这种偏离会在拱中产生附加内力。

由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为△X1，△X2

：第13页/共85页——其值较小——其值恒正（压）任意截面之偏离弯矩为：拱顶和拱脚弯矩为：空腹式无铰拱采用五点重合法确定拱轴线，偏离弯矩恰好与控制截面弯矩符号相反，因此偏离弯矩对拱脚及拱顶是有利的。

第14页/共85页【例3-2-1】某无铰拱桥，计算跨径l=80m，主拱圈及拱上建筑结构自重简化为图所示的荷载作用，主拱圈截面面积A=5.0m2，重力密度为γ＝25kN/m3，试应用“五点重合法”确定拱桥拱轴系数m，并计算拱脚竖向力Vg、水平推力Hg以及结构自重轴力Ng

。第15页/共85页解：半拱悬臂集中力荷载作用时：1)假定拱轴系数m=2.514,f/l=16/80=1/5,查表(III)-19得:所有荷载:所以需重新计算第16页/共85页2)假定拱轴系数m=2.24所有荷载:所以小于半级，因此取拱轴系数m=2.243)查表(III)-19得半拱悬臂自重对拱脚截面的竖向剪力为半拱悬臂集中力对拱脚截面的竖向剪力为:第17页/共85页作业某悬链线拱桥的拱轴系数m=2.814，f/l=1/6，且要求两个四分之一点的水平距离为55m，四分之一点竖向截面厚度为1.8m。求拱顶截面中心到拱腹两个四分之一点竖向截面下缘连线的垂直距离。第18页/共85页悬链线拱桥l=60m，f/l=1/6，m=2.814，ys=0.327f。其恒载压力线与拱桥轴线偏离在弹性中心产生的赘余力为：△X1=350kN·m，△X2=462kN。求在拱顶、拱脚、l/4截面产生的附加弯矩。如图为某空腹式拱桥的左半拱，它的恒载压力如图所示，f/l=1/5，用五点重合法求它的拱轴系数。第19页/共85页二、结构自重作用下的内力计算（一）等截面悬链线拱桥恒载（自重）内力计算恒载内力拱轴线与压力线相符(实腹拱)不考虑弹性压缩弹性压缩拱轴线与压力线不相符(空腹拱)拱轴线与压力线不相符产生次内力不考虑弹性压缩弹性压缩1.不考虑弹性压缩的恒载内力1）实腹拱

实腹式悬链线的拱轴线与压力线重和，恒载作用拱的任意截面存在轴力，而无弯矩。第20页/共85页恒载水平推力Hg：其中：拱脚的竖向反力：代到上式并积分，有其中第21页/共85页2）空腹拱不考虑偏离的影响：拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到（半拱恒载重力）考虑偏离的影响：首先计算出△X1、△X2，然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。半拱恒载对拱脚的弯矩在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离弯矩的影响。大跨径空腹式拱桥的恒载压力线与拱轴线一般比中、小跨径偏离大，一般要计入偏离的影响。第22页/共85页2、弹性压缩引起的内力

在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性变性表现为拱轴长度的缩短，引起赘余力S。由变形协调条件：其中：拱轴弹性压缩示意图第23页/共85页由S在拱内产生的弯矩、剪力和轴力：其中桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响：第24页/共85页3.恒载作用下拱圈各截面的总内力其中：第25页/共85页【例3-2-2】某无铰拱桥，计算跨径l=80m，主拱圈及拱上建筑结构自重简化为图所示的荷载作用，主拱圈截面面积A=5.0m2，重力密度为γ＝25kN/m3，由“五点重合法”确定拱桥拱轴系数m=2.24，截面抗弯惯矩I=1.0m4，计算考虑弹性压缩后，拱脚竖向力Vg、水平推力Hg以及结构自重轴力Ng，以及弹性压缩引起的拱脚截面弯矩。第26页/共85页解：(1)不考虑弹性压缩时Vg、Hg和Ng(2)由弹性压缩引起的Vg、Hg和Ng第27页/共85页(3)考虑弹性压缩时Vg、Hg和Ng第28页/共85页三、汽车和人群荷载的内力计算1.基本原理

一般公式计算对于肋拱桥：对于矩形或箱型板拱桥：

m和ζ系数的确定

对双肋拱桥（包括上、中、下承式），横向分布系数可以采用杆杠原理计算。对于多肋拱，拱上建筑一般为排架式，其荷载分布系数可按梁式桥计算。第29页/共85页2.内力影响线

赘余力影响线

根据弹性中心的性质,所有副变位均为零，则简支曲梁为基本结构查《拱桥（上）》第607页（III）-8、第581页（III）-5、第582页表（III）-6

第30页/共85页

为了计算变位，在计算MP时，可利用对称性，将单位荷载分解为正对称和反对称两组荷载，并设荷载作用在右半拱。

为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等分。当P＝1从左拱脚以l为部长（l=l/48）移到右拱脚时，得出X1、X2、X3影响线的竖坐标（如下图）。第31页/共85页第32页/共85页

内力影响线

有了赘余力影响线后，拱中任意截面影响线都可以利用静力平衡条件和叠加原理求得。①拱中任意截面水平推力H1的影响线

因此H1的影响线与赘余力X2的影响线相同。②拱脚竖向反力V的影响线V0—简支梁的影响线，上边符号适用于左半跨，下边符号适用于右半跨。第33页/共85页③任意截面弯矩的影响线M0为简支梁弯矩拱顶截面：④任意截面轴力和剪力影响线轴向力拱顶：拱脚：其它截面：剪力拱顶：数值很小，可不考虑拱脚：其它截面：数值较小，可不考虑第34页/共85页3.内力计算

拱是偏心受压构件，最大应力由弯矩M和轴力N共同决定,但布载往往不能使M、N同时达到最大，一般按最大（最小）弯矩布载，求出最大弯矩及其相应轴力及剪力等。利用拱脚处的弯矩及水平推力和支座竖向影响线，将等代荷载布置在影响线的正弯矩（或负弯矩）区段；可由拱桥手册查得影响线面积（可从公路桥涵设计手册《拱桥（上）》第732页表(III)-14查得)和影响线最大峰值。计算最大（或最小）弯矩，以及相应轴力和剪力。

不考虑弹性压缩影响的活载内力第35页/共85页【例3-2-3】等截面悬链线无铰拱,l=50m,f=10m,m=2.24，桥面宽度为净-7米，计算汽车20级荷载作用下拱脚最大正、负弯矩及相应轴力。解：1、拱脚最大正弯矩及相应轴力查《拱桥（上）》第1010页的拱脚水平倾角的正弦和余弦：2）根据拱脚最大正M及汽车-20查《基本资料》第74页的等代荷载：1）根据3）根据查《拱桥（上）》第774页的影响线面积：第36页/共85页4）拱脚最大弯矩：2、拱脚最大负弯矩及相应轴力拱脚最大负M及汽车-20查《基本资料》第79页的等代荷载：2）根据查《拱桥（上）》第774页的影响线面积：1）根据第37页/共85页3）拱脚最大负弯矩及相应轴力：第38页/共85页

考虑弹性压缩的活载内力

活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水平力H(受拉)，其大小为：取脱离体如下图，将各力投影到水平方向有：相对较小，可近似忽略，则有：弹压引起活内力第39页/共85页考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为：活载弹性压缩引起的内力为：弯矩：轴力：剪力：手算：不计弹压活载内力可用等代荷载计算，活载弹压内力则可根据查表直接求得。若将弹性压缩的影响一并考虑，则会使计算大为复杂。电算：求结构内力影响线并直接布载求出的内力，因考虑了弹性压缩的影响，故为最终活载内力。最终活载内力＝不考虑弹压的活载内力＋活载弹压内力第40页/共85页四、等截面悬链线拱其它内力计算温度变化产生的附加内力混凝土收缩、徐变产生的附加内力拱脚变位产生的附加内力水浮力引起的内力计算其它内力1.温度引起的内力计算

设温度变化引起拱轴在水平方向的变位为△lt,与弹性压缩同样的道理，必须在弹性中心产生一对水平力Ht：由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为：弯矩轴力剪力与合龙温度之差第41页/共85页2.混凝土收缩、徐变引起的内力

混凝土在结硬过程中的收缩变形，其作用与温度下降类似，通常等效于温度的额外降低。《桥规》规定：整体浇筑的混凝土收缩影响，一般相当于降低温度200C，干燥地区为300C；整体浇筑的钢筋混凝土收缩影响，相当于降低温度150C200C分段浇筑的混凝土或钢筋混凝土收缩影响，100C150C装配式钢筋混凝土收缩影响，50C100C

考虑混凝土徐变影响，可乘以下折减系数:●

温度变化效应折减系数：0.7●

混凝土收缩效应折减系数：0.45详见《公路圬工桥涵设计规范》JTGD61－2005：P58第42页/共85页特别注意的问题：拱桥设计必须说明合拢温度拱桥应在较低温度下合拢设计中必须计算温度内力【例3-2-4】一缆索吊装施工钢筋砼拱桥，主拱合拢温度为150C，最低气温00C，最高气温400C，混凝土收缩内力按温度降低100C考虑，计算考虑混凝土徐变的影响力。温降：温升：第43页/共85页3.拱脚变位引起的内力计算

拱脚相对水平位移引起的内力由△H在弹性中心产生的赘余力为：

拱脚相对垂直位移引起的内力由△V在弹性中心产生的赘余力为：第44页/共85页

拱脚相对角变位引起的内力其典型方程为：根据上图的几何关系:拱脚引起各截面的内力为：第45页/共85页4.水的浮力引起的内力

当拱有一部分淹没时，应考虑水浮力的作用，不计弹性压缩时，浮力产生的弯矩和轴力分别为：式中：kM,kN

弯矩及轴力系数

A拱圈外轮廓面积γ4水的容重l拱圈的计算跨度第46页/共85页五、内力调整

悬链线无铰拱桥在最不利荷载组合时，常出现拱脚负弯矩或拱顶正弯矩过大的情况。为了减小拱脚、拱顶过大的弯矩，可以从设计施工方面采取一些措施调整拱圈内力。内力调整假载法调整内力用临时铰调整内力改变拱轴线调整内力1.假载法

在计算跨径、计算矢高和拱圈厚度保持不变的情况下，通过改变拱轴系数的数值来改变拱轴线形状，m调整幅度一般为半级或一级。第47页/共85页

实腹拱的内力调整

qx是虚构的，实际上并不存在，仅在计算过程中加以考虑，所以称为假载。假载值qx可根据m′、gd、gj求得调整前：调整后：qx为负，m´>m，拱轴线抬高qx为正，m´<m，拱轴线降低第48页/共85页

空腹拱的内力调整空腹拱轴线的变化是通过改变1/4截面处的纵坐标实现的。当m´>m，qx为-，反之，为qx为+结构重力和假载共同作用下不计弹压的水平推力：计入弹压后的水平推力：假载法改善拱圈内力，不能同时改善拱顶、拱脚两个控制截面内力，对其他截面也会有影响，在调整时应全面考虑。第49页/共85页2.用临时铰调整内力拱圈施工时，在拱顶、拱脚用铅垫板做成临时铰，待拱上建筑完成后，再用高标号水泥沙浆封固，成为无铰拱。（不产生附加内力，从而减小拱中弯矩。）布置偏心临时铰，可改善拱顶拱脚弯矩，使拱顶产生负弯矩，拱脚产生正弯矩消除弹性压缩，砼收缩徐变产生的附加内力。国外大跨度钢筋混凝土拱桥，大多数采用千斤顶调整内力。即在砌筑拱上建筑之前，在拱顶预留接头处设置上下两排千斤顶，形成偏心力，使拱顶产生负弯矩，拱脚产生正弯矩，达到消除弹性压缩、收缩徐变产生的内力。实质是人为改变压力线，使拱顶拱脚产生有利弯矩！第50页/共85页3.改变拱轴线调整内力

在空腹式拱中，可在恒载压力线的基础上，根据桥的实际需要叠加一个正弦波的调整曲线作为拱轴线,使恒载、弹性压缩和混凝土收缩等固定因素作用下，拱顶、拱脚两截面的总弯矩趋近于零。拱轴线偏离压力线在弹性中心产生的赘余力为：第51页/共85页六、利用有限元进行拱桥计算★有限元程序专门程序：大型通用程序SAPADINANASTRANANSYS1.有限元法在拱桥计算中的应用桥梁博士,MIDAS有限元方法是为能够求解弹性力学的偏微分方程组（15个方程：3个平衡微分方程，6个几何方程和6个物理方程）而发展的一种数值方法，随着计算机的发展而得到迅速进步；用有限元方法计算三维空间的桥梁结构，可以实现多种非线性影响的计算，例如，几何非线性、材料非线性、动力问题及稳定问题等；第52页/共85页2.数据准备及计算分析简介结构离散(单元划分)组织数据文件：节点信息（节点编号和节点坐标）、单元信息（单元编号及单元与节点关系）、荷载信息（位置、类型及大小）、材料信息、截面特性信息、边界条件信息等；数据检查，图形显示。计算结果及分析（后处理）：判断各种工况计算结果及其总体计算结果；第53页/共85页第54页/共85页第55页/共85页第56页/共85页第57页/共85页第58页/共85页第59页/共85页七、主拱验算主拱验算控制截面强度刚度稳定（一）拱圈强度验算介绍《公路圬工桥涵设计规范》（JTGD61-2005）无铰拱和双铰拱的计算可不考虑拱上建筑与主拱圈的联合作用。计算由车道荷载引起的拱的正弯矩时，拱顶，拱跨1/4应乘以折减系数0.7，拱脚应乘以0.9，中间各个截面的正弯矩折减系数，可用直线插人法确定。一般无铰拱桥，拱脚和拱顶是主要控制截面；大跨度拱桥应验算拱顶、拱跨3l/8、拱跨l/4和拱脚四个截面；对于中、小跨径拱桥，拱跨l/4截面可不验算；特大跨径拱桥，除以上四个截面外，需视截面配筋情况，另行选择截面进行验算。Sd

——作用效应的组合设计值Rd——构件承载能力设计值γ0——结构的重要性系数，按下列要求取值ad——几何参数设计值，当无可靠数据时，可采用几何参数标准值ak第60页/共85页（二）稳定性验算拱的稳定性验算分为纵向(面内)和横向(面外)两方面。大、中跨径拱桥是否验算纵、横向稳定与施工过程有关：有支架施工，其稳定与落架时间有关，拱上建筑砌筑完后落架，可不验算纵向稳定;当主拱圈宽度较大（如大于跨度的1/20），则可不验算拱的横向稳定性；随拱桥所用材料性能的改善和施工技术的提高，拱桥跨径不断增大，主拱的长细比越来越大，施工和成桥运营状态稳定问题非常突出。第61页/共85页1.纵向稳定验算

对于长细比不大，且f/l在0.3以下的拱，其纵向稳定性验算一般可以表达为强度校核的形式:第62页/共85页2.横向稳定性检算

拱的横向稳定性验算，目前尚无成熟的计算办法，工程上常用与纵向稳定相似的公式来验算拱的横向稳定性：

NL——拱横向失稳时的平均临界轴力；Nj——按承载能力极限状态组合计算的平均轴力；γm——按承载能力极限状态组合计算的平均轴力；

板拱或采用单肋合龙时的拱肋:临界荷载系数K2值表f/l0.10.20.3K228.040.036.5

理论与实践证明：无铰拱的临界荷载比有铰供大得多。悬链线无铰拱的横向稳定，精确的方法是作空间有限元电算分析，手算时，可偏安全地采用两铰拱的计算公式，或者近似采用圆弧无铰拱的公式计算临界轴向力。第63页/共85页

肋拱或无支架施工时采用双肋合龙的拱肋

临界轴力：其中a——与支承条件相关的系数，无铰拱为0.5，两铰拱为1.0；S——拱轴线长度；ρ

—考虑剪力对稳定的影响系数：第64页/共85页八、拱上建筑的计算与主拱分开独立计算与主拱联合作用计算对主拱圈作用偏于安全对拱上建筑偏于不安全必须考虑施工程序一般采用程序计算1.拱上建筑与拱分开计算适用条件：拱上建筑刚度较小，腹孔部分用横断缝与拱断开，且腹孔墩顶底均为铰接。拱上建筑的计算拱式拱上建筑可按多跨连拱计算；连续梁式拱上建筑按多跨刚架计算；简支梁式拱上建筑按简支梁计算，拱上立柱帽梁按框架计算；第65页/共85页2.拱上建筑与主拱联合作用计算1）拱式拱上建筑与主拱联合作用的简化计算活载内力计算：忽略拱上填料及侧墙影响，边腹拱按两铰拱；或更保险地将其余腹拱按单铰拱计算。附加力计算：在计算均匀降温、材料收缩及拱座向外水平位移的附加力时，不考虑拱上建筑联合作用；温度升高时考虑拱上建筑联合作用。恒载内力计算：无支架施工的拱桥，拱上建筑全部重量均由裸拱承受计算。活载弯矩折减系数β法：β与腹拱矢跨比、腹拱与腹拱墩相对刚度有关，抗推刚度越大，β越小，拱上建筑对主拱相对刚度越大，β越小。第66页/共85页2）梁板式拱上建筑与主拱联合作用主拱活载弯矩折减近似计算：拱上建筑简化为一根弹性支撑连续梁，可推得：拱上建筑近似计算：联合作用，主拱变形将增加拱上建筑负担。附加力计算：考虑联合作用第67页/共85页第二节中下承式拱桥的计算中下承式拱桥的计算主拱内力计算及截面强度验算主拱纵、横稳定性验算桥面系计算吊杆计算与上承式拱桥类似重点强调简要介绍第68页/共85页一、拱肋横向稳定性验算具有横向风撑联接的肋拱稳定验算:无风撑联接且为柔性吊杆的抛物线肋拱稳定验算:第69页/共85页对于承受均布铅垂荷载等截面固端抛物线拱，提出了近似的侧倾临界均布荷载qcr的近似计算公式：①偏安全地:②考虑吊杆“非保向力效应”后的侧倾修正系数:供确定初步设计方案参考!第70页/共85页无横撑联结但具有刚性吊杆的肋拱稳定验算对于刚性吊杆铰支承失稳的的拱肋临界力为：μ—拱肋自由长度的弹力的折减，D—拱肋弹性的参变数，第71页/共85页

刚性吊杆：二、吊杆的计算

吊杆分类：①柔性吊杆（只承受轴力，不承受弯矩）；②刚性吊杆（与拱肋和横梁刚性连接，属偏心受拉构件）。

柔性吊杆:轴向抗拉承载能力计算承载能力极限状态正常使用极限状态区分大小偏心受拉，满足强度要求验算应力幅度和裂缝宽度,避免疲劳破坏和开裂第72页/共85页

中下承式拱桥面系的组成:①横梁(一般由吊杆支承);②纵梁(以横梁为支点的弹性支承连续梁);③桥面板(一般是简支板或连续板)三、桥面系的计算普通横梁：受桥面静、活载简化为简支梁；固定横梁：受力复杂，简化为固端梁。

横梁计算

纵梁计算

与吊杆和拱肋组成多次超静定的结构，一般用有限元程序进行空间内力分析。

桥面板计算跨中弯矩:支点弯矩:第73页/共85页第三节其他类型拱桥的计算特点

一、桁架拱桥主要的特点：拱上建筑参与拱圈的共同作用，使结构各个部分的材料都能得到充分利用；桁架部分各杆件主要承受轴向力；实腹段部分承受轴力和弯矩；桁架部分的上弦杆除了承受轴向力外，在运营时还要直接承受局部荷载产生的弯矩，尤其是第一个节间不但间距大，而且杆件长，局部荷载产生的弯矩最大，常是控制设计的杆件。第74页/共85页二、刚架拱桥边弦杆以受弯为主（有较小拉力），其余杆件（包括拱腿、内弦杆、斜撑及实腹段）均有轴向压力，属于压弯构件。刚架拱片的计算步骤及相应的计算图式应按施工程序、结构构造等确定。刚架拱桥的内力和变形一般采用平面杆系结构有限元法计算。在分析刚架拱桥内力时，亦应考虑活载横向分布系数的影响，目前常用弹性支承连接梁法计算。第75页/共85页三、钢管混凝土拱桥1.钢管砼拱桥的形成过程：受力与施工过程有关空钢管和未凝固的砼重力由空钢管承担，按钢结构计算（强度、变形和稳定）；砼凝固及强度提高后，砼与钢管一起受力。拱上建筑、二期恒载及活载均由钢管砼共同承担。2.计算方法：采用有限元建模计算，对于钢管砼采用“应力叠加法”更符合实际。3.砼考虑套箍效应影响的提高：钢管砼的承压能力比一般砼提高150％～175％，应考虑提高的影响。4.钢管砼拱桥内力计算：1）钢管砼