四年级奥数讲义151学子教案库8.第三讲巧求周长与面积

第三讲知识点拨一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式①长方形的周长2(长宽)，面积长宽．②正方形的周长4边长，正方形的面积边长边长．三、常用方法对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．1、转化是一种重要的数学思想方法在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．2、化归思想寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧5、旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．6、对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．7、代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体例题精讲1如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．例题1243122如图，正方形的边长为4，被分割成如下12个小长方形，求这12个小长方形的所有周长之和．例题23下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长17米，南边篱笆长23米．四周篱笆长多少米？例题3北西17东23南【巩固】下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长2厘米，求这个零件的周长．【巩固】下图中标出的数表示每边长，单位是厘米．它的周长是多少厘米？【巩固】如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？6一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长是．(写出所有可能的结果)例题6【巩固】右图是由七个长5厘米、宽3厘米的相同长方形经过竖放、横放而成的图形．求这个图形的周长？【巩固】求下图的周长【巩固】(第七届“小机灵杯”数学竞赛初赛)下面两张图中，周长较大的是．(在横线上填写表示图名的字母)5如图是一个机器零件的侧面图，图中每一条最短线段长5厘米，这个零件高30例题5厘米，求这个零件侧面的周长是多少厘米？6下图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…例题6一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？【巩固】把长2厘米、宽1厘米的长方形砖块摆成如图的形状，求该图形的周长？7右图是由16个同样大小的正方形组成的，如果这个图形的面积是400平方厘米，例题7那么它的周长是多少厘米？【巩固】图中是由周长都是20厘米的小正方形组成的，它的周长是多少厘米？8图⑴、图⑵都是由完全相同的正方形拼成的，并且图⑴的周长是22厘米，那么图例题8⑵的周长是多少厘米？(1)(2)9边长是15厘米的3个正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是多少？例题94分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形纸板拼成一个正方形．拼成的841011两个大小相同的正方形拼成了一个长方形，长方形的周长比原来的两个正方形周例题10长的和减少了6厘米，原来一个正方形的周长是多少厘米？(2007年”希望杯”第一试)右图中的阴影部分BCGF是正方形，线段FH长18厘例题11米，线段长24厘米，则长方形的周长是厘米．ACADHEEFGHCDAB12如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，L例题12这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和形区域乙和丙．甲的周长为4厘米，乙的边长是甲的周长的1.5倍，丙的周长是乙的周长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF长多少厘米？DC丙EFI甲AGHB13用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是244厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？例题13【巩固】用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形(如右图)拼接成一个大的平行四边形，已知大平行四边形的周长是236厘米，那么平行四边形和三角形各有多少个？14有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个小长方形拼成的大长方形(如例题14图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长．【巩固】右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120平方厘米，求原长方形的长与宽．15冯大叔给儿子做玩具用、乙的两种图8个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲例题15案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．求小长方形的长和宽？甲乙16用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知例题16外面大正方形的周长是264厘米，里面小正方形的面积是900平方厘米，每块长方形条砖的长是_________厘米，宽是______厘米．17(第二届希望杯复试)将若干个边长为1的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得到一个拼接图形，如图：例题17周长=14周长=6周长=10周长=12那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形．模块二、巧求面积18有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么例题18这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？19下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.例题1920－5588202020如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚例题20点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的点出发，沿最短路线(图中虚A线)走，走过88米到达点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少B平方米？1米1米AB21(第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛例题21初赛)右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米甲4厘米乙8厘米224ABF右图中，矩形ABCD的边AB为厘米，BC为6厘米，三角形比三角形EDF例题22的面积大9平方厘米，求的长．EDEDFABC23如图，ABCD是74的长方形，DEFG是102的长方形，求BCO与EFO的面例题23积差．ABABCOECOEFDGDGF24有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？例题245060680平方米2720平方米【巩固】有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？3225如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大34平方厘米，求阴影例题25部分的面积．10cm18cm26一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积例题262的；再把左下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的____7________(答案用分数表示)．甲乙【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍．已知阴影部分面积之和为1，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？7527如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？例题276A444FBCD6628已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？例题28【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为26cm2，最小的正方形的边长为多少厘米？ACBD29有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边例题29的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？30(2008年全国小学生”我爱数学夏令营”数学竞赛)如图，边长为10的正方形中有例题30一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．第2题31下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？例题31(单位：厘米)66332甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的例题32中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？66甲甲乙乙88丙丙1010【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸(右图表示已片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分经摆好的5张)．地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？33有2个大小不同的正方形和．如下左图所示的那样，在将正方形的对角线BAB例题33的1交点与正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为正方形面积的AA．求A与B的边长之比．如果当按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重9叠部分的面积是的几分之几？BBBAAAB34用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2的大正方形，每个长方形的周长是多例题34少平方厘米？【巩固】如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是36平方分米，求一个小长方形的面积及周长．35四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？例题35【巩固】(2008年”陈省身杯”国际青少年数学邀请赛)如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．第19题36用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为例题3644平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？37一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加30米(如图虚线所示)，则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？例题3738从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形例题38的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？0.5550.550.555图a图b39图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40例题39平方厘米．求乙正方形的面积．40AFED（第十二届“迎春杯”刊赛试题）如图，边长是整数的四边形的面积是488厘米．那么，正方形的面积例题40平方厘米，为FBABCD是平方厘米．8FBADCE4111如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方例题4110532米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多105少平方米？42长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方例题42形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形的面积是ABCD多少平方厘米？ED1C11DECAAB1【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形ABCD的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD的面积？IHDGFABCE437个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘例题43米？24【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？44(第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．例题44DC6BA1445若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘例题45米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？46一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面例题46一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形和的边长分别AB是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？DCEFBBAAGH【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为81cm2，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？jigfehadcb第2题47图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积例题47是．125125？A151548如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平例题48方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？GG363616S1AADD16203020CCBB30SE2E1212S3FF【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？482430(南京市第三届)如图，矩形ABCD被分割成9个小矩形．其中有．AD122416BC49有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，是10．求正方形例题49之间相互叠合(见下图绿色面积盒底的面积．黄黄红绿红绿50如图所示，在正方形ABCD内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角例题50线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是．AD红黄绿BC123如图所示，在正方形ABCD中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的形两条对角线的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方求黄色正方形面积.AB红黄绿DC51如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A和B是两个正方形的ABC叠部分，C、D、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是：：：D：E=1：2：3：4：5，那么这个长方形的重例题51长与宽之比是________．家庭作业1（“希望杯”第一试）如右图，正方形ABCD的边长是6厘米，过正方形内的任意之和是多少两点画直线，可把正方形分成练习9个小长方形。这9个小长方形的周长1厘米？DCAB2计算右边图形的周长单位：厘米。()练习2101534下图的小正方形边长为1厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？练习3求右图所示图形的周长单位：分米()练习45050105l如图，每个小方格是一个正方形，如果该图总面积是52个平方单位，试求这个图形的外沿周长是多少个长度单位？练习56l如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形．已知AF10cm，HC7cm，求长方形ABC