面抽象函数解题方法与技巧(精华版)

欢迎下载——精品资料精品资料精品资料抽象函数解题方法与技巧古语云：授人以鱼，只供一饭。授人以渔，则终身受用无穷。学知识，更要学方法。清华网校的学习方法栏目由清华附中名师结合多年教学经验和附中优秀学生学习心得组成，以帮助学生培养良好的学习习惯为目的，使学生在学习中能够事半功倍。所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos²x,求f(x)故f(x)=-x²+3x+1(0≤u≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例2.设y=f(x)是实数函数(即x,f(x)为实数),,求证：1例3.已知,(x≠0且x≠1),求f(x).用代换x即.由得：(x≠0且x≠1)3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x²-4x,求f(x).解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax²+bx+c(a≠0)欢迎下载——精品资料精品资料精品资料有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例5.对任意实数x,y,均满足f(x+y²)=f(x)+2[f(y)]²且f(1)≠0.则f(2001)=.例6.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例7.设函数f(x)对任意实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.所以f(x)是R上的减函数，又f(3)=f(1)+f(2)=-6,f(-3)=6.例8.定义在R+上的函数f(x)满足：①对任意实数m,f(x")=mf(x);②f(2)=1.(3)若f(x)+f(x-3)≤2,求x的取值范围.又f(x)+f(y)=f(2m)+f(2")=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)(2)证明：设O<x₁<x2,可令m<n且使x₁=2Ⅲ,x₂=2",(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质解得3<x≤4.6.递推法对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件：①f(n)>0,n∈N:②f(ni+nz)=f(n₁)f(n₂),n₁,n₂∈N*;欢迎下载——精品资料精品资料精品资料又f(2)=4=2²,f(3)=2³,…,由此猜想：f(x)=2×(x∈N*)(数学归纳证明略)若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002):即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).又g(1)=1,故g(2002)=1.7.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。应掌握下面常见的特殊模型：特殊模型抽象函数正比例函数f(X)=kx(k≠0)幂函数f(x)=x”指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cOsx正切函数f(x)=tanx余切函数f(x)=cotx(1)解不等式F(3x-x²)>4.;(2)解方程,假设存在某个x。∈R,使f(x。)=0,则f(x)=f[(x-x₀)+xσ]=f(x-x₀)f(x₀)=0,与已知矛盾，故f(x)>0(2)f(1)=2,f(2)=2,f(3)=8,原方程可化为：[f(x)]²+4f(x)-5=0,解得欢迎下载——精品资料精品资料精品资料在所以f(xi)>f(x₂),故f(x)在R+上为减函数.能力训练A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数的值为精品资料精品资料<0恒成立令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0(2)设任意x₁,X₂∈R且x₁<x₂,则x₂-x₁>0,由已知f(x₂-x₁)<0(1)由(1)(2)得f(x₁)>f(x₂又∵f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=-3f(1),→