2022年中考数学真题分类汇编：22图形的相似（含真题解析）

2022

年中考数学真题分类汇编：22

图形的相似一、单选题1．如图，点𝐴(0，3)、𝐵(1，0)，将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐷𝐶，若∠𝐴𝐵𝐶

=90°，𝐵𝐶=2𝐴𝐵，则点

D

的坐标是（ ）A．(7，2) B．(7，5) C．(5，6) D．(6，5)【答案】D【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；图形的平移；用坐标表示平移【解析】【解答】如图过点

C

作𝑥轴垂线，垂足为点

E，∵∠𝐴𝐵𝐶=

90°∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵E=

90°∵∠𝐶𝐵E+𝐵𝐶E=

90°∴∠𝐴𝐵𝑂=

∠𝐵𝐶E在𝛥𝐴𝐵𝑂和𝛥𝐵𝐶E中，∠𝐴𝐵𝑂=

∠𝐵𝐶E∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵E𝐶=

90°，∴𝛥𝐴𝐵𝑂∽

𝛥𝐵𝐶E，𝐴𝐵

𝐴𝑂

𝑂𝐵

1∴ = = = ，𝐵𝐶 𝐵E E𝐶 2则𝐵E

=

2𝐴𝑂

=

6

，E𝐶

=

2𝑂𝐵

=

2∵点

C

是由点

B

向右平移

6

个单位，向上平移

2

个单位得到，∴点

D

同样是由点

A

向右平移

6

个单位，向上平移

2

个单位得到，∵点

A

坐标为(0，3)，∴点

D

坐标为(6，5)，选项

D

符合题意，故答案为：D【分析】过点

C

作

x

轴垂线，垂足为点

E，利用余角的性质可证得∠ABO=∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABO∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出

BE，EC

的长利用点的坐标平移规律可知点

D

同样是由点

A

向右平移

6

个单位，向上平移

2

个单位得到即可得到点

D

的坐标.2．在△ABC

中（如图），点

D、E

分别为

AB、AC

的中点，则

S△ADE：S△ABC＝（ ）A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】D【知识点】相似三角形的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵点

D、E

分别为

AB、AC

的中点，∴DE

是△ABC

的中位线，∴DE∥BC，DE=1BC，2∴△ADE∽△ABC，∴𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶2𝑆△𝐴𝐷E

𝐷E2 14＝ =

.故答案为：D.2【分析】根据中位线定理得出

DE∥BC，DE=1BC，则可证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质得出𝑆△𝐴𝐷E＝𝐷E2，即可解答.𝑆△𝐴𝐵𝐶 𝐵𝐶23．如图所示，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，过点𝐶作𝐶E

∥

𝐵𝐷交𝐴𝐵的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）12A．𝑂𝐵=

𝐶EB．

△

𝐴𝐶E是直角三角形2C．𝐵𝐶=

1𝐴ED．𝐵E=

𝐶E【答案】D【知识点】平行线的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵在菱形

ABCD

中，对角线

AC

与

BD

相交于点

O，∴𝐴𝐶⊥𝐷𝐵，𝐴𝑂=

𝑂𝐶，∴∠𝐴𝑂𝐵=

90°，∵𝐶E∥

𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐶E=∠𝐴𝑂𝐵=

90°，∴△ACE

是直角三角形，故

B

选项正确；∵∠𝐴𝐶E=∠𝐴𝑂𝐵=90°，∠𝐶𝐴E=

∠𝑂𝐴𝐵，∴R𝑡△𝐴𝐶E∼R𝑡△

𝐴𝑂𝐵，𝑂𝐵

𝐴𝐵

𝑂𝐴

1∴ = = =

，𝐶E 𝐴E 𝐴𝐶 21∴𝑂𝐵=

𝐶E12 2，𝐴𝐵

=

𝐴E，故

A

选项正确；∴BC

为

Rt△ACE

斜边上的中线，12∴𝐵𝐶

=

𝐴E，故

C

选项正确；现有条件不足以证明

BE=CE，故

D

选项错误.故答案为：D.【分析】根据菱形的性质可得

AC⊥BD，AO=OC，由平行线的性质可得∠ACE=∠AOB=90°，据此判断

B；易证△ACE∽△AOB，根据相似三角形的性质可判断

A；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断

C.4．如图，在四边形

𝐴𝐵𝐶𝐷

中，∠𝐵=90°

，𝐴𝐶=6

，

𝐴𝐵∥𝐶𝐷

，𝐴𝐶

平分∠𝐷𝐴𝐵

.设𝐴𝐵=𝑥

，𝐴𝐷=𝑦

，则𝑦

关于𝑥

的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】反比例函数的实际应用；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】∵𝐴𝐵

∥

𝐶𝐷

，∴∠𝐴𝐶𝐷=

∠𝐵𝐴𝐶

，∵𝐴𝐶平分

∠𝐷𝐴𝐵，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷，∴∠𝐴𝐶𝐷

=∠𝐶𝐴𝐷

，则

𝐶𝐷

=𝐴𝐷=

𝑦

，即△

𝐴𝐶𝐷

为等腰三角形，过

𝐷

点做

𝐷E

⊥𝐴𝐶

于点

E

.∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴E𝐷

，𝐴𝐷

𝐴E𝑦 3∴𝐴𝐶

=𝐴𝐵

，∴6

=𝑥

，∴𝑦=18

，𝑥∵在

△𝐴𝐵𝐶

中，

𝐴𝐵✈𝐴𝐶

，∴𝑥✈6

，故

𝑦

关于

𝑥

的函数图象是

D.故答案为：D.【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义可证得∠ACD=∠CAD，利用等角对等边可证得

CD=AD=y，过点D

作

DE⊥AC于点

E，由等腰三角形的性质，可推出

DE

垂直平分

AC，可求出

AE

的长；再证明是△ABC∽△AED，利用相似三角形的对应边成比例，可得到关于

x，y

的方程，然后将方程转化为函数解析式，可知此函数是反比例函数且

x＜6，观察各选项中的图象，可得到符合题意的选项.5．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为

2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到

0.01𝑚

.参考数据： 2≈

1.414

， 3≈

1.732

， 5≈2.236

）A．0.73𝑚 B．1.24𝑚 C．1.37𝑚 D．1.42𝑚【答案】B【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：设该雕像的下部设计高度约是

xm，则上部的高度为（2-x）m，∵使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，𝑥∴2―𝑥

=

𝑥2解之：𝑥1

=

5

―1

≈

1.24，𝑥2

=

―

5

―1（舍去）经检验，x1

是方程的根，故答案为：B.【解答】设该雕像的下部设计高度约是

xm，则上部的高度为（2-x）m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，建立关于

x

的方程，解方程求出符合题意的

x

的值.6．如图，在

△ABC

中，D、E

分别为线段

BC、BA的中点，设△ABC

的面积为

S1，

△EBD的面积为

S2．则𝑆2

=（ ）𝑆1A．B．C．则𝐷E

垂直平分𝐴𝐶，𝐴E=𝐶E=

1𝐴𝐶2=3

，∠𝐴E𝐷=

90°，113D．72448∵∠𝐵𝐴𝐶=

∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐴E𝐷=

90°，【答案】B【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】解：∵D、E

分别为线段

BC、BA

的中点，∴DE

是△ABC

的中位线，∴DE=1AC，DE∥AC，2∴△BED∽△BAC，∴𝑆1𝐴𝐶2𝑆2

=𝐷E2

=241

2=

1，故答案为：B.2【分析】根据中位线定理得出

DE=1AC，DE∥AC，则可证明△BED∽△BAC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答.𝐷𝐹7．若

△𝐴𝐵𝐶

∼△𝐷E𝐹

，

𝐵𝐶=6

，

E𝐹

=4

，则

𝐴𝐶

=

（）A．9B．4

94C．23D．32【答案】D【知识点】相似三角形的性质【解析】【解答】解：∵

△

𝐴𝐵𝐶

∼△

𝐷E𝐹∴𝐵𝐶

=

𝐴𝐶，E𝐹 𝐷𝐹∵𝐵𝐶=6，E𝐹=4

，∴= =𝐴𝐶

6

3𝐷𝐹 4 2故答案为：D.【分析】直接根据相似三角形对应边成比例进行计算即可.8．将一张以

AB

为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片

𝐴𝐵𝐶𝐷

，其中∠𝐴=90°

，

𝐴𝐵=9

，

𝐵𝐶=7

，

𝐶𝐷

=6

，

𝐴𝐷=2

，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）A．25

B．452 4【答案】AC．10D．354【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图

1，∵剪掉的是两个直角三角形，∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，∴∠FED=∠CBE，∴△FED∽△CBE，∴𝐷𝐹

=𝐹E

=

𝐷E𝐶E 𝐵𝐶

𝐵E∵矩形

ABEF，∴AB=EF=9，设

DF=x，则

AF=BE=x+2，CE=y，则

DE=6+y𝑥9

6+

𝑦∴𝑦=7=𝑥+

2解之：𝑥=

274𝑦=

21经检验𝑦=

2144𝑥=

274

是有原方程组的解4 4∴𝐷E

=

6

+

21

=

45，故

B

不符合题意；427

354𝐵E= +2= ，故

D

不符合题意；如图

2同理可知△CFD∽△EFB，∴𝐷𝐹

=𝐷𝐶

=

𝐶𝐹𝐵𝐹 E𝐹 𝐵E设

FC=m，则

BF=7+m，DF=n，则

AF=BE=n+2，9

𝑛

𝑚

∴ =6

=7

+

𝑚 𝑛+

2解之：𝑚=

8𝑛=

10𝑛=

10经检验

𝑚

=

8

是原方程组的解，∴DF=10，故

C

不符合题意；BF=7+8=15，故

A

符合题意；故答案为：A.【分析】分情况讨论：如图

1，易证△FED∽△CBE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式，设DF=x，则

AF=BE=x+2，CE=y，则

DE=6+y，可得到关于

x，y

的方程组，解方程组求出

x，y

的值；再求出DE，BE

的长，可对

B，D

作出判断；如图

2，同理可知△CFD∽△EFB，利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，设

FC=m，则

BF=7+m，DF=n，则

AF=BE=n+2，可得到关于

m，n

的方程组，解方程组求出

m，n的值；再求出

DF，BF

的长，可对

A，C

作出判断.9．如图，点

E在矩形

𝐴𝐵𝐶𝐷

的

𝐴𝐵

边上，将

△𝐴𝐷E

沿

𝐷E

翻折，点

A

恰好落在

𝐵𝐶

边上的点

F

处，若𝐶𝐷

=3𝐵𝐹

，𝐵E

=4

，则𝐴𝐷

的长为（ ）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵矩形

ABCD，∴∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，∵△ADE

沿

DE

翻折，点

A

恰好落在

BC

边上的点

F

处，∴AE=EF，∠A=∠DFE=90°，∴∠BEF=∠DFC，∴△FCD∽△EBF，∴CD：BF=FC：EB，又∵CD=3BF，∴FC：EB=3：1，∵BE=4，∴FC=12，设

AE=EF=a，则

AB=CD=a+4，∴BF=𝑎+

43，在

Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2，∴（𝑎+

4）2+42=a2，3整理，解得：a=-4（舍去）或

a=5，∴BF=3，∴AD=BC=BF+FC=3+12=15.故答案为：C.【分析】由矩形性质得∠B=∠C=∠A=90°，BC=AD，AB=CD，由折叠得

AE=EF，∠A=∠DFE=90°，可得∠BEF=∠DFC，继而证出△FCD∽△EBF，由相似三角形对应比比例关系结合

CD=3BF

求得

FC=12，设AE=EF=a，则

AB=CD=a+4，从而得

BF=𝑎

+

4，由勾股定理得到

a

的方程（𝑎

+

4）2+42=a2，解得

a=5，求得3 3BF

的长，进而求出

AD

的长.10．如图，将矩形

𝐴𝐵𝐶𝐷

沿着

𝐺E

、

E𝐶

、

𝐺𝐹

翻折，使得点𝐴

、

𝐵

、

𝐷

恰好都落在点

𝑂

处，且点𝐺

、

𝑂

、

𝐶

在同一条直线上，同时点

E

、

𝑂

、

𝐹

在另一条直线上.小炜同学得出以下结论：①𝐺𝐹∥E𝐶；②𝐴𝐵=43𝐴𝐷；③𝐺E=6𝐷𝐹；④𝑂𝐶=22𝑂𝐹；⑤△𝐶𝑂𝐹∽△𝐶E𝐺

.5其中正确的是（ ）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④【答案】B【知识点】平行线的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵矩形

ABCD

沿着

GE、EC、GF

折叠，使得点

A、B、D

恰好落在点

O

处，∴DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，∴①符合题意；设

AD＝2a，AB＝2b，则

DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝3a，在

Rt△AGE

中，由勾股定理得

GE2=AG2+AE2，即

GE2=a2+b2，在

Rt△EBC中，由勾股定理得

CE2=EB2+BC2，即

CE2=b2+（2a）2，在

Rt△CGE中，由勾股定理得

CG2＝GE2+CE2，（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，整理，解得：b＝

2a，∴AB＝

2AD，∴②不符合题意；设

OF＝DF＝x，则

CF＝2b-x＝2

2a-x，在

Rt△COF中，由勾股定理得

OF2+OC2=CF2，∴x2+（2a）2＝（2

a-x）2，解得：x＝

2a，2∴OF＝DF＝

2a，2∴6DF＝6×

2a＝

3a，2又∵GE2=a2+b2，∴GE=

3a，∴GE=

6DF，∴③符合题意；∵22OF＝22×

2a＝2a，2∴OC=2

2OF，∴④符合题意；∵无法证明∠FCO＝∠GCE，∴无法判断△COF∽△CEG，∴⑤不符合题意；∴正确的有①③④.故答案为：B.【分析】由矩形性质和折叠的性质可得

DG＝OG＝AG，AE＝OE＝BE，OC＝BC，∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，从而可得∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，得∠FGE+∠GEC＝180°，可判定

GF∥CE；设

AD＝2a，AB＝2b，则

DG＝OG＝AG＝a，AE＝OE＝BE＝b，得

CG＝OG+OC＝3a，由勾股定理得

GE2=a2+b2，CE2=b2+（2a）2，CG2＝GE2+CE2，即得（3a）2＝a2+b2+b2+（2a）2，解得

b＝

2a，从而得

AB＝

2AD；设

OF＝DF＝x，则

CF＝2b-x＝2

2a-x，由勾股定理得OF2+OC2=CF2，即

x2+（2a）2＝（2a-x）2，解得

x＝

2a，从而得

OF＝DF＝

2a，进而求得

GE=

6DF；又

2

22 2OF＝2

2×

2a＝2a，从而可得∴OC=2

2OF；因条件不足，无法证明∠FCO＝∠GCE，因而无法判断2△COF∽△CEG.据此逐项分析即可得出正确答案.11．△ABC

的三边长分别为

2，3，4，另有一个与它相似的三角形

DEF

，其最长边为

12，则

△DEF

的周长是（ ）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【知识点】相似三角形的性质12 3【解析】【解答】∵△ABC∽△DEF，相似比=

4

=

1，∴

△

𝐴𝐵𝐶的周长

1△

𝐷E𝐹的周长

3=

，∴△DEF

的周长=3（2+3+4）=27.故答案为：C.【分析】先求出△ABC∽△DEF

的相似比=1，从而得出

△

𝐴𝐵𝐶的周长=

1，即可得出△DEF的周长=33 △

𝐷E𝐹的周长 3（2+3+4）=27.12．如图，D，E，F

分别是△ABC三边上的点，其中

BC＝8，BC

边上的高为

6，且

DE∥BC，则△DEF

面积的最大值为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【知识点】平行线的性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；偶次幂的非负性【解析】【解答】解：如图，过点

A

作

AM⊥BC

于

M，交

DE

于点

N，则

AN⊥DE，设

AN＝a，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴𝐷E

=

𝐴𝑁𝐵𝐶

𝐴M8∴𝐷E

=

𝑎643∴DE＝ a，2∴△DEF

面积

S＝

1

×DE×MN2 3＝1

×4

a•（6﹣a）3＝﹣2

a2+4a＝﹣2

（a﹣3）2+6，3∴当

a＝3

时，S

有最大值，最大值为

6.故答案为：A.【分析】过点

A

作

AM⊥BC于

M，交

DE于点

N，设

AN＝a，根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，43∠AED=∠C，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得

DE＝

a，然后根据三角形的面积公式以及偶次幂的非负性进行解答.13．如图，正方形

ABCD

与正方形

BEFG

有公共顶点

B，连接

EC、GA，交于点

O，GA

与

BC

交于点

P，连接

OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ）①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB

平分∠CBG；④∠AOD＝45°；A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④【答案】D【知识点】正方形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵四边形

ABCD、四边形

BEFG

是正方形，∴AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，∴∠ABC+∠CBG＝∠GBE+∠CBG，即∠ABG＝∠EBC，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴∠BAG＝∠BCE，∵∠BAG+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠APB＝90°，∴∠BCE+∠OPC＝90°，∴∠POC＝90°，∴EC⊥AG，故①正确；取

AC

的中点

K，如图：在

Rt△AOC

中，K

为斜边

AC

上的中点，∴AK＝CK＝OK，在

Rt△ABC

中，K

为斜边

AC

上的中点，∴AK＝CK＝BK，∴AK＝CK＝OK＝BK，∴A、B、O、C

四点共圆，∴∠BOA＝∠BCA，∵∠BPO＝∠CPA，∴△OBP∽△CAP，故②正确，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，∴∠AOC+∠ADC＝180°，∴A、O、C、D

四点共圆，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，故④正确，由已知不能证明

OB

平分∠CBG，故③错误，故正确的有：①②④.故答案为：D.【分析】根据正方形的性质可得

AB＝BC，BG＝BE，∠ABC＝90°＝∠GBE，由角的和差关系可得∠ABG＝∠EBC，证明△ABG≌△CBE，得到∠BAG＝∠BCE，结合∠BAG+∠APB＝90°可得∠POC＝90°，据此判断①；取

AC的中点

K，根据直角三角形斜边上中线的性质可得

AK＝CK＝OK，AK＝CK＝BK，推出

A、B、O、C四点共圆，根据圆周角定理可得∠BOA＝∠BCA，然后利用相似三角形的判定定理可判断②；易得

A、O、C、D

四点共圆，根据等弦所对的圆周角相等可得∠AOD＝∠DOC＝45°，据此判断④.𝐷𝐵

314．如图，在△ABC中，点

D、E分别在边

AB、AC

上，若

DE∥BC，

𝐴𝐷

=

2

，DE＝6cm，则

BC的长为（ ）A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm【答案】C【知识点】平行线分线段成比例𝐴𝐷

2【解析】【解答】解：∵ = ，𝐷𝐵 3∴𝐴𝐷

=

2，𝐴𝐵 5∵DE∥BC，𝐵𝐶

𝐴𝐵

5∴𝐷E

=𝐴𝐷

=

2，5∴BC=DE×

=15cm.2故答案为：C.【分析】根据比例的性质得出𝐴𝐷

=

2，然后根据平行线分线段成比例的性质求出𝐷E

=

𝐴𝐷

=

2，则可解答.𝐴𝐵 5 𝐵𝐶 𝐴𝐵 515．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点

A，B，C

都在横线上：若线段

AB=3，则线段

BC的长是（ ）A．2

B．13【答案】CC．32D．2【知识点】平行线分线段成比例【解析】【解答】解：过

A

作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于

D、E，∵AD=2DE，∵BD∥CE，𝐴𝐵

𝐴𝐷∴ = =

2，𝐴𝐶 𝐴E∵AB=3，∴BC=1AB=3.2 2故答案为：C.【分析】过

A

作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线于

D、E，根据平行线分线段成比例的性质列比例式，结合

AB=3，即可求出

BC长.二、填空题16．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度.如图，木杆

EF

长

2

米，它的影长

FD是

4

米，同一时刻测得

OA是

268

米，则金字塔的高度

BO

是

米.【答案】134【知识点】相似三角形的应用【解析】【解答】解：∵𝐵𝐹

∥

E𝐷

，∴∠𝐵𝐴𝑂=∠E𝐷𝐹

，∵∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐷E𝐹=90°

，∴△𝐴𝐵𝑂∽△𝐷E𝐹

，∴𝐵𝑂∶E𝐹=𝐴𝑂∶𝐹𝐷

，∴𝐵𝑂∶2=268∶4

，∴𝐵𝑂=134

.故答案为：134.【分析】根据平行线的性质可得∠BAO=∠EDF，易证△ABO∽△DEF，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出

BO

的值.17．在矩形

ABCD中，𝐴𝐵=9，𝐴𝐷=12，点

E

在边

CD

上，且𝐶E

=4，点

P是直线

BC上的一个动点．若△𝐴𝑃E是直角三角形，则

BP

的长为

．【答案】31或15或

63 4【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合【解析】【解答】解：在矩形

ABCD

中，𝐴𝐵=𝐶𝐷

=9，𝐴𝐷=𝐵𝐶=12，∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°，如图，当∠APE=90°时，∴∠APB+∠CPE=90°，∵∠BAP+∠APB=90°，∴∠BAP=∠CPE，∵∠B=∠C=90°，∴△ABP∽△PCE，∴𝐴𝐵

=

𝐵𝑃，即

9 =

𝐵𝑃，𝑃𝐶

𝐶E

12−𝐵𝑃

4解得：BP=6；如图，当∠AEP=90°时，∴∠AED+∠PEC=90°，∵∠DAE+∠AED=90°，∴∠DAE=∠PEC，∵∠C=∠D=90°，∴△ADE∽△ECP，∴𝐴𝐷

=

𝐷E，即12

=

9−4，𝐶E 𝑃𝐶 4 𝑃𝐶3解得：𝑃𝐶

=

5，31∴𝐵𝑃=𝐵𝐶−𝑃𝐶=3

；如图，当∠PAE=90°时，过点

P

作

PF⊥DA

交

DA

延长线于点

F，根据题意得∠BAF=∠ABP=∠F=90°，∴四边形

ABPF

为矩形，∴PF=AB=9，AF=PB，∵∠PAF+∠DAE=90°，∠PAF+∠APF=90°，∴∠DAE=∠APF，∵∠F=∠D=90°，∴△APF∽△EAD，𝐷E

𝐴𝐷

9−4

12∴𝐴𝐹

=

𝑃𝐹，即

𝐴𝐹

=

9

，15

154 4解得：𝐴𝐹= ，即𝑃𝐵= ；综上所述，BP

的长为31或15或

6．3 43 4故答案为：31或15或

6【分析】分三种情况：①当∠APE=90°时，②当∠AEP=90°时，③当∠PAE=90°时，过点

P

作

PF⊥DA

交

DA延长线于点

F，分别画出图象并利用相似三角形的判定和性质求解即可。18．如图，

△

𝐴𝐵𝐶中，点E、𝐹分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，∠1

=

∠2.若𝐵𝐶

=

4，𝐴𝐹

=

2，𝐶𝐹=

3，则E𝐹=

.【答案】85【知识点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：

∵

∠1

=

∠2，∠𝐴

=

∠𝐴，∴△𝐴E𝐹∽△

𝐴𝐵𝐶，∴E𝐹

=

𝐴𝐹，𝐵𝐶 𝐴𝐶∵𝐵𝐶=4，𝐴𝐹=2，𝐶𝐹=

3，E𝐹

2

∴4=2+

3，5∴E𝐹=

8.故答案为：8.5【分析】易证△AEF∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行计算.19．如图

1，在△

𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵

=

36°，动点𝑃从点𝐴出发，沿折线𝐴→𝐵→𝐶匀速运动至点𝐶停止.若点𝑃的运动速度为1𝑐𝑚/𝑠，设点𝑃的运动时间为𝑡(𝑠)，𝐴𝑃的长度为𝑦(𝑐𝑚)，𝑦与𝑡的函数图象如图

2

所示.当𝐴𝑃恰好平分∠𝐵𝐴𝐶时𝑡的值为

.【答案】2

5

+2【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；动点问题的函数图象；角平分线的定义【解析】【解答】解：如图，连接

AP，由图

2

可得𝐴𝐵

=

𝐵𝐶

=

4𝑐𝑚，∵∠𝐵=36°，𝐴𝐵=

𝐵𝐶，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐶=

72°，∵

𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵=

36°，∴𝐴𝑃=𝐵𝑃，∠𝐴𝑃𝐶=72°=

∠𝐶，∴𝐴𝑃=𝐴𝐶=

𝐵𝑃，∵∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵，∠𝐶=

∠𝐶，∴△𝐴𝑃𝐶∽△

𝐵𝐴𝐶，∴𝐴𝑃

=

𝑃𝐶，𝐴𝐵 𝐴𝐶∴𝐴𝑃2=𝐴𝐵⋅𝑃𝐶=

4(4−𝐴𝑃)，∴

𝐴𝑃

=

2

5−2

=

𝐵𝑃，(负值舍去)，∴𝑡=4+25−2

=25

+2.1故答案为：2

5

+2.【分析】连接

AP，由图

2

可得

AB=BC=4cm，根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠C=72°，根据角平分线的概念可得∠BAP=∠PAC=36°，推出

AP=AC=BP，证明△APC∽△BAC，根据相似三角形的性质可得

AP，据此求解.20．九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是𝐴𝐷的黄金分割点，即𝐷E

≈

0.618𝐴𝐷.延长𝐻𝐹与𝐴𝐷相交于点𝐺，则E𝐺

≈

𝐷E.（精确到

0.001）【答案】0.618【知识点】矩形的判定与性质；黄金分割【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为

x，宽为

y，则

DE＝AD－AE＝x－y，由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，∴四边形

EFGM

是矩形，∴EG＝MF＝y，∵𝐷E≈

0.618𝐴𝐷，∴x－y≈0.618x，解得

y≈0.382x，𝑥−𝑦𝐷E

𝑥−0.382𝑥∴E𝐺

=

𝑦

≈

0.382𝑥

≈

0.618，∴EG≈0.618DE.故答案为：0.618.【分析】设每个矩形的长为

x，宽为

y，则

DE＝x-y，易得四边形

EFGM

是矩形，EG＝MF＝y，根据𝐷E𝑥―

𝑦DE≈0.618AD

可得

y≈0.382x，然后根据E𝐺

=

𝑦

进行解答.三、综合题21．如图

1，抛物线𝑦

=

𝑎𝑥2

+2𝑥

+

𝑐经过点𝐴(−1，0)、𝐶(0，3)，并交

x

轴于另一点

B，点𝑃(𝑥，𝑦)在第一象限的抛物线上，𝐴𝑃交直线𝐵𝐶于点

D.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点

P

的坐标为(1，4)时，求四边形𝐵𝑂𝐶𝑃的面积；𝑃𝐷（3）点

Q在抛物线上，当 的值最大且△

𝐴𝑃𝑄是直角三角形时，求点

Q

的横坐标；𝐴𝐷【答案】（1）解：∵抛物线𝑦

=

𝑎𝑥2

+2𝑥

+

𝑐经过点𝐴(−1，0)、𝐶(0，3)，∴

𝑎−2+𝑐

=0解得

𝑎=−1𝑐=3 𝑐=

3∴该抛物线的函数表达式为𝑦

=

−𝑥2

+2𝑥

+

3（2）解：如图，连接𝑂𝑃，令𝑦

=

−𝑥2

+2𝑥

+

3

=

0，∴𝑥1=−1，𝑥2=

3.∴𝐵(3，0)∵𝐶(0，3)，𝑃(1，4)，∴𝑂𝐶=3，𝑂𝐵=3，𝑥𝑃=1，𝑦𝑃=

4.∴𝑆△𝑃𝑂𝐶

=2𝑂𝐶⋅𝑥𝑃

=2，𝑆△𝐵𝑂𝑃

=1

3

12𝑂𝐵⋅𝑦𝑃=

6.∴𝑆四边形𝐵𝑂𝐶𝑃

=

𝑆△𝑃𝑂𝐶+𝑆△𝐵𝑂𝑃

=

152（3）解：如图，作𝑃𝐹

∥

𝑥轴，交直线𝐵𝐶于点

F，则△

𝑃𝐹𝐷

∽△

𝐴𝐵𝐷.∴ =𝑃𝐷

𝑃𝐹𝐴𝐷

𝐴𝐵.∵𝐴𝐵

=

4是定值，∴当𝑃𝐹最大时，𝑃𝐷

=𝑃𝐹最大.𝐴𝐷 𝐴𝐵设𝑦𝐵𝐶

=𝑘𝑥

+𝑏，∵𝐶(0，3)，𝐵(3，0)，∴𝑦𝐵𝐶=−𝑥+

3.设𝑃(𝑚，−𝑚2

+2𝑚

+

3)，则𝐹(𝑚2−2𝑚，−𝑚2

+2𝑚

+

3).(𝑚−2

)4∴𝑃𝐹=𝑚−(𝑚2−2𝑚)=−𝑚2+3𝑚

=− 3

2+

9.2 4∴当𝑚

=

3时，𝑃𝐹取得最大值9，此时𝑃(

， )2 43

15

.设点𝑄(𝑡，−𝑡2

+2𝑡

+

3)，若△

𝐴𝑃𝑄是直角三角形，则点

Q

不能与点

P、A

重合，∴𝑡≠3

𝑡

≠

−1，下面分三类情况讨论：，2①若∠𝐴𝑃𝑄

=

90°，如图，过点

P

作𝑃𝑃2

⊥

𝑥轴于点𝑃2，作𝑄𝑃1

⊥

𝑃2𝑃交𝑃2𝑃的延长线于点𝑃1，则△

𝑃𝑃1𝑄∽△

𝐴𝑃2𝑃.𝑃𝑃1 𝐴𝑃2𝑄𝑃1

𝑃𝑃2∴ = .∴23

−𝑡15

=3

4−𝑡2+2𝑡+

3−

4 2+

115.32∵𝑡≠

，𝑡−

122

1

∴ =

3.∴𝑡=

7.6②若∠𝑃𝐴𝑄

=90°，如图，过点

P作直线𝑃𝐴1

⊥𝑥轴于点𝐴1，过点

Q

作𝑄𝐴2

⊥

𝑥轴于点𝐴2，

△𝐴𝑃𝐴1

∽△𝑄𝐴𝐴2.∴𝑃𝐴1

𝐴𝐴22𝐴𝐴1=𝑄𝐴

.1523

+

1 𝑡2−2𝑡−3∴

4

=

𝑡+1

.∵𝑡≠

−1，3

1

2 𝑡−3∴

= .∴𝑡

=113.③若∠𝐴𝑄𝑃

=90°，如图，过点

Q

作𝑄𝑄1

⊥𝑥轴于点𝑄1，作𝑃𝑄2

⊥𝑄1𝑄交𝑄1𝑄的延长线于点𝑄2，则△

𝑃𝑄𝑄2

∽△𝑄𝐴𝑄1.𝑃𝑄 𝑄𝑄𝑄𝑄2 𝐴𝑄1∴

2

=

1.∴3𝑡−

2415

−(−𝑡2+2𝑡+

3)𝑡+

1=−𝑡2+2𝑡+

3.32∵𝑡≠，𝑡≠

−1，∴

2

2𝑡−1=

3−𝑡.∴𝑡122=1，𝑡=

5.综上所述，当𝑃𝐷的值最大且△𝐴𝑃𝑄是直角三角形时，点

Q

的横坐标为7，11，5，1.𝐴𝐷 6 3 2【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）将

A（-1，0）、C（0，3）代入

y=ax2+2x+c

中可求出

a、c

的值，进而可得抛物线的解析式；（2）连接

OP，令

y=0，求出

x

的值，可得点

B

的坐标，然后根据

S=S +S四边形

BOCP △POC △BOP结合三角形的面积公式进行解答；（3）作

PF∥x轴，交直线

BC

于点

F，则△PFD∽△ABD，可得：当

PF最大时，𝑃𝐷

=

𝑃𝐹最大，利用待定系数𝐴𝐷 𝐴𝐵法求出直线

BC的解析式，设

P（m，-m2+2m+3），则

F（m2-2m，-m2+2m+3），表示出

PF，根据二次函数的性质可得

PF

的最大值以及对应的点

P的坐标，设

Q（t，-t2+2t+3），①若∠APQ=90°，过点

P作

PP2⊥x

轴于点P2，作

QP1⊥P2P

交

P2P

的延长线于点

P1，则△PP1Q∽△AP2P，根据相似三角形的性质可得

t；②若∠PAQ=90°，如图，过点

P作直线

PA1⊥x

轴于点

A1，过点

Q作

QA2⊥x轴于点

A2，则△APA1∽△QAA2，根据相似三角形的性质可得

t；③若∠AQP=90°，过点

Q

作

QQ1⊥x轴于点

Q1，作

PQ2⊥Q1Q交

q1q

的延长线于点q2，则△PQQ2∽△QAQ1，根据相似三角形的性质可得

t.22．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究

y＝ax2（a＞0）型抛物线图象.发现：如图

1

所示，该类型图

1

1

4𝑎 4𝑎象上任意一点

M到定点F（0， ）的距离

MF，始终等于它到定直线

l：y＝﹣ 上的距离

MN（该结论不需

1

4𝑎要证明），他们称：定点

F为图象的焦点，定直线

l为图象的准线，y＝﹣ 叫做抛物线的准线方程.其中原点O

为

FH

的中点，FH=2OF=

1

，例如，抛物线

y＝1x2，其焦点坐标为

F（0，1），准线方程为

l：y＝﹣1.其中2𝑎 2 2 2MF=MN，FH=2OH=1.（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线

y＝2x2的焦点坐标和准线

l的方程：

，

.（2）【技能训练】8如图

2

所示，已知抛物线

y＝1x2

上一点

P

到准线

l

的距离为

6，求点

P

的坐标；（3）【能力提升】如图

3

所示，已知过抛物线

y＝ax2（a＞0）的焦点

F

的直线依次交抛物线及准线

l

于点

A、B、C.若

BC＝2BF，AF＝4，求

a

的值；（4）【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点

C

将一条线段

AB

分𝐴𝐵

𝐴𝐶2为两段

AC和

CB，使得其中较长一段

AC是全线段

AB

与另一段

CB

的比例中项，即满足：𝐴𝐶＝𝐵𝐶＝

5−1.后人把

5−1这个数称为“黄金分割”把点

C

称为线段

AB

的黄金分割点.24如图

4

所示，抛物线

y＝1x2

的焦点

F（0，1），准线

l

与

y

轴交于点

H（0，﹣1），E

为线段

HF

的黄金分割M𝐻M𝐹点，点

M为

y轴左侧的抛物线上一点.当 ＝

2时，请直接写出△HME

的面积值.【答案】（1）（0，1）；𝑦

=

−1，8 8（2）解：由题意得抛物线

y＝1x2

的准线方程为𝑦

=

−

1

=

−2，8 4𝑎∵点

P

到准线

l

的距离为

6，∴点

P

的纵坐标为

4，1

2∴当𝑦

=

4时，

𝑥

=

4，8解得𝑥

=±

4

2，∴点

P

的坐标为（4

2，4）或（−4

2，4

）（3）解：如图所示，过点

B

作

BD⊥y轴于

D，过点

A

作

AE⊥y轴于

E，4𝑎

1

1

4𝑎由题意得点

F的坐标为

F（0， ）直线

l的解析式为：y＝﹣ ，2𝑎∴𝐵𝐷∥𝐴E∥𝐶𝐻，𝐹𝐻=

1

，∴△FDB∽△FHC，∴𝐵𝐷

=𝐹𝐷

=

𝐹𝐵，𝐻𝐶 𝐹𝐻 𝐹𝐶∵BC=2BF，∴CF=3BF，∴𝐵𝐷

=𝐹𝐷

=𝐹𝐵

=

1，𝐻𝐶 𝐹𝐻 𝐹𝐶 36𝑎∴𝐹𝐷=

1

，12𝑎∴𝑂𝐷=𝑂𝐹−𝐷𝐹=

1

，12𝑎∴点

B

的纵坐标为

1

，

1

∴ =

𝑎𝑥2，12𝑎解得𝑥

=

3

（负值舍去），6𝑎∴𝐵𝐷=

3

，6𝑎∵𝐴E∥

𝐵𝐷，∴△AEF∽△BDF，E𝐹 𝐷𝐹∴𝐴E

=𝐵𝐷

=3，∴𝐴E=

3E𝐹，∵𝐴E2+E𝐹2=

𝐴𝐹2，∴4E𝐹2=𝐴𝐹2=

16，∴EF=2，∴𝐴E=2

3，4𝑎∴点

A

的坐标为（−2

3，2

+

1

），∴2+

1

=12𝑎，4𝑎∴48𝑎2−8𝑎−1=

0，∴(12𝑎+1)(4𝑎−1)=

0，解得𝑎

=

1（负值舍去）4（4）解：𝑆△𝐻ME

=

2

5−2或𝑆△𝐻ME

=

3−

5【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用【解析】【解答】解：（1）由题意得抛物线

y＝2x2

的焦点坐标和准线

l

的方程分别为（0，1），𝑦

=

−1，8 8故答案为：（0，1），𝑦

=−1，8 8（4）如图，当

E

为靠近点

F

的黄金分割点的时候，过点

M

作

MN⊥l

于

N，则

MN=MF，M𝐻

M𝐻2∵在

Rt△MNH

中，sin∠M𝐻𝑁

=M𝑁

=

M𝐹

=

2，∴∠MHN=45°，∴△MNH

是等腰直角三角形，∴NH=MN，142设点

M

的坐标为（m，

𝑚

），12∴M𝑁=𝑚+1=−𝑚=

𝐻𝑁，4∴𝑚=

−2，∴HN=2，∵点

E

是靠近点

F

的黄金分割点，∴𝐻E=

5−1𝐻𝐹=

5−1，2∴𝑆△𝐻ME

=12𝐻E⋅𝑁𝐻=

5−1；同理当

E

时靠近

H

的黄金分割点点，E𝐹

=

5−1𝐻𝐹

=

5−1，2∴𝐻E=2−5+1=3−

5，∴𝑆△𝐻ME

=12𝐻E⋅𝑁𝐻=3−

5，综上所述，𝑆△𝐻ME

=

2

5−2或𝑆△𝐻ME

=

3−

5【分析】（1）根据

y=2x2

可得

a=2，则焦点坐标为（0，

1

），准线

l

的方程为

y=-

1

，据此解答；4𝑎 4𝑎（2）由题意得抛物线

y＝1x2

的准线方程为

y=-

1

=-2，结合点

P

到准线

l

的距离为

6

可得点

P

的纵坐标为

4，8 4𝑎令

y=4，求出

x的值，据此可得点

P的坐标；（3）过点

B

作

BD⊥y轴于

D，过点

A

作

AE⊥y轴于

E，由题意得

F（0，

1

），直线

l的解析式为：y＝-

1

，4𝑎 4𝑎

1

1

1

6𝑎 12 12易证△FDB∽△FHC，根据相似三角形的性质可得

CF=3BF，FD= ，OD= a，令

y= a，求出

x，据此可得BD，证明△AEF∽△BDF，根据相似三角形的性质可得

AE=

3EF，结合勾股定理求出

EF，进而可得

AE，然后表示出点

A

的坐标，据此求出

a

的值；（4）当

E

为靠近点

F

的黄金分割点的时候，过点

M

作

MN⊥l于

N，则

MN=MF，求出

sin∠MHN

的值，可得14∠MHN=45°，推出△MNH

是等腰直角三角形，设

M（m，

m2），根据

MN=HN可得

m

的值，根据黄金分割点△HME的特征求出

HE，利用三角形的面积公式求出

S ，同理可求出当

E

时靠近

H

的黄金分割点时△HME

的面积.23．如图，

△𝐴𝐵𝐶和

△𝐷𝐵E的顶点𝐵重合，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐵E

=90°，∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐷E

=

30°，𝐵𝐶=3，𝐵E=2.𝐶E（1）特例发现：如图

1，当点𝐷，E分别在𝐴𝐵，𝐵𝐶上时，可以得出结论：𝐴𝐷

=

，直线𝐴𝐷与直线𝐶E的位置关系是

；（2）探究证明：如图

2，将图

1

中的△

𝐷𝐵E绕点𝐵顺时针旋转，使点𝐷恰好落在线段𝐴𝐶上，连接E𝐶，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展运用：如图

3，将图

1

中的△

𝐷𝐵E绕点𝐵顺时针旋转𝛼(19°

✈

𝛼

✈60°)，连接𝐴𝐷、E𝐶，它们的延长线交于点𝐹，当𝐷𝐹

=

𝐵E时，求𝑡𝑎𝑛(60°−𝛼)的值.【答案】（1）

3；垂直（2）解：结论成立.理由：∵∠𝐴𝐵𝐶

=

∠𝐷𝐵E

=

90°，∴∠𝐴𝐵𝐷=

∠𝐶𝐵E，∵𝐴𝐵=3𝐵𝐶，𝐵𝐷=

3𝐵E，𝐴𝐶

𝐷𝐵∴ = ，𝐵𝐶 E𝐵∴

△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵E，E𝐶 𝐵𝐶∴𝐴𝐷

=𝐴𝐵

=3，∠𝐴𝐷𝐵=

∠𝐵E𝐶，∵∠𝐴𝐷𝐵+∠𝐶𝐷𝐵=

180°，∴∠𝐶𝐷𝐵+∠𝐵E𝐶=

180°，∴∠𝐷𝐵E+∠𝐷𝐶E=

180°，∵∠𝐷𝐵E=

90°，∴∠𝐷𝐶E=

90°，∴𝐴𝐷⊥

E𝐶（3）解：如图

3

中，过点𝐵作𝐵𝐽

⊥

𝐴𝐶于点𝐽，设𝐵𝐷交𝐴𝐾于点𝐾，过点𝐾作𝐾𝑇

⊥

𝐴𝐶于点𝐾.∵∠𝐴𝐽𝐵=90°，∠𝐵𝐴𝐶=

30°，∴∠𝐴𝐵𝐽=

60°，∴∠𝐾𝐵𝐽=

60°−𝛼.∵𝐴𝐵=3

3，13

3292 2∴𝐵𝐽=

𝐴𝐵

= ，𝐴𝐽=3𝐵𝐽=

，当𝐷𝐹

=

𝐵E时，四边形𝐵E𝐹𝐷是矩形，∴∠𝐴𝐷𝐵=90°，𝐴𝐷=𝐴𝐵2−𝐵𝐷2

=(33)2−(23)2

=15，设𝐾𝑇

=

𝑚，则𝐴𝑇

=

3𝑚，𝐴𝐾=

2𝑚，∵∠𝐾𝑇𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=

90°，𝐵𝑇

𝐵𝐷∴tan𝛼=𝐾𝑇

=

𝐴𝐷，𝐵𝑇

𝑚

152

3∴ = ，∴𝐵𝑇=2

5𝑚，5∴3𝑚+25𝑚=33，5∴𝑚=45−6

15，11∴𝐴𝐾=2𝑚=90−12

15，1192∴𝐾𝐽=𝐴𝐽−𝐴𝐾=

−90−12

1511=24

15−8122，𝐾𝐽∴𝑡𝑎𝑛(60°−𝛼)=𝐵𝐽

=85−9

311【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（1）在R𝑡

△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵=90°，𝐵𝐶=3，∠𝐴=30°，∴𝐴𝐵=3𝐵𝐶=33，在R𝑡

△

𝐵𝐷E中，∠𝐵𝐷E

=

30°，𝐵E

=

2，∴𝐵𝐷=3𝐵E=2

3，∴E𝐶=1，𝐴𝐷=

3，E𝐶∴𝐴𝐷

=3，此时𝐴𝐷

⊥

E𝐶.故答案为：

3，垂直；【分析】（1）根据三角函数的概念可得

AB=

3BC=3

3，BD=

3BE=2

3，易得

EC=BC-BE=1，AD=AB-BD=3，据此求解；（2）根据同角的余角相等可得∠ABD=∠CBE，证明△ABD∽△CBE，由相似三角形的性质可得𝐴𝐷

𝐴𝐵E𝐶 𝐵𝐶= =

3，∠ADB=∠BEC，由邻补角的性质可得∠ADB+∠CDB=180°，结合∠DBE=90°可得∠DCE=90°，据此解答；（3）过

B作

BJ⊥AC

于点

J，设

BD交

AK

于点

K，过

K作

KT⊥AC

于点

K，易得∠ABJ=60°，∠KBJ=60°-α，根据三角函数的概念可得

BJ、AJ，当

DF=BE

时，四边形

BEFD

是矩形，利用勾股定理可得

AD，设

KT=m，则

AT=

3m，AK=2m，根据三角函数的概念可得

BT，由

AB=AT+BT可得

m，然后求出

AK、KJ，再根据三角函数的概念计算即可.24．回顾：用数学的思维思考（1）如图

1，在△ABC

中，AB＝AC．①BD，CE

是△ABC

的角平分线．求证：BD＝CE．②点

D，E

分别是边

AC，AB

的中点，连接

BD，CE．求证：BD＝CE．（从①②两题中选择一题加以证明）（2）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC

中，AB＝AC，D

为边

AC

上一动点（不与点

A，C

重合）．对于点

D

在边

AC

上的任意位置，在另一边

AB

上总能找到一个与其对应的点

E，使得

BD＝CE．进而提出问题：若点

D，E

分别运动到边

AC，AB

的延长线上，BD

与

CE

还相等吗？请解决下面的问题：如图

2，在△ABC

中，AB＝AC，点

D，E

分别在边

AC，AB

的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得

BD＝CE，并证明．（3）探究：用数学的语言表达如图

3，在△ABC

中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E

为边

AB

上任意一点（不与点

A，B

重合），