2022年中考数学真题分类汇编：20轴对称变换（含真题解析）

2022

年中考数学真题分类汇编：20

轴对称变换一、单选题1．孙权于公元

221

年

4

月自公安“都鄂”，在西ft东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、“以”不是轴对称图形，选项错误，不符合题意；B、“武”不是轴对称图形，选项错误，不符合题意；C、“而”不是轴对称图形，选项错误，不符合题意；D、“昌”是轴对称图形，选项正确，符合题意.故答案为：D.【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此一一判断得出答案.2．图

1

是光的反射规律示意图．其中，PO

是入射光线，OQ

是反射光线，法线

KO⊥MN，∠POK

是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图

2中，光线自点

P

射入，经镜面

EF

反射后经过的点是（ ）A．A点 B．B点 C．C点 D．D

点【答案】B【知识点】生活中的轴对称现象【解析】【解答】连接

EF，延长入射光线交

EF

于一点

N，过点

N

作

EF

的垂线

NM，如图所示：由图可得

MN

是法线，∠𝑃𝑁𝑀为入射角因为入射角等于反射角，且关于

MN

对称由此可得反射角为∠𝑀𝑁𝐵所以光线自点

P

射入，经镜面

EF

反射后经过的点是

B故答案为：B．【分析】连接

EF，延长入射光线交

EF

于一点

N，过点

N

作

EF

的垂线

NM，再根据入射角等于反射角，且关于

MN

对称即可得到答案。下列命题中是假命题的是（ ）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【知识点】真命题与假命题【解析】【解答】解：A.

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B.

如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C.

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D.

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；故答案为：B【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）A．等边三角形 B．矩形 C．正方形【答案】DD．圆【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：等边三角形有三条对称轴，矩形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴，所以对称轴条数最多的图形是圆.故答案为：D.【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，折迹所在的直线就是对称轴，据此可得等边三角形每条边的垂直平分线所在的直线就是其对称轴，故等边三角形有三条对称轴；过矩形每组对边中点所在的直线是其对称轴，故矩形有两条对称轴；过正方形每组对边中点所在的直线及对角线所在的直线是其对称轴，故正方形有四条对称轴；过圆心的任意一条直线是其对称轴，故圆有无数条对称轴，据此即可得出答案.6．如图，在矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=

3，将△𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷折叠到

△𝐵𝐸𝐷位置，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐹，则𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐹的值为（ ）C．15A．

8

B．

7

D．

8

15 17 1517【答案】C【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：

∵

四边形

ABCD

是矩形，∴∠𝐴=90°，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=𝐶𝐷=

5，∴∠𝐵𝐷𝐶=

∠𝐷𝐵𝐹，由折叠的性质可得∠𝐵𝐷𝐶

=

∠𝐵𝐷𝐹，∴∠𝐵𝐷𝐹=

∠𝐷𝐵𝐹，∴𝐵𝐹=

𝐷𝐹，设𝐵𝐹

=

𝑥，则𝐷𝐹

=

𝑥，𝐴𝐹

=

5−𝑥，在𝑅𝑡

△

𝐴𝐷𝐹中，32

+

(5−𝑥)2

=

𝑥2，5∴𝑥=

17，

351517∴𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐹

=17

= ，故答案为：C.【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出

BF=DF，设

BF=x，则

DF=x，AF=5-x，然后在

Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.7．2022

年

4

月

16

日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有

B

选项的图形绕着某点旋转

180°后能与原来的图形重合，故答案为：B．【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。下列四种图形中，对称轴条数最多的是（ ）A．等边三角形 B．圆C．长方形D．正方形【答案】B【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，每条边垂直平分线所在的直线就是其对称轴，故它有

3条对称轴；B、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是其对称轴，故有无数条条对称轴；C、长方形是轴对称图形，过每组对边中点的直线就是其对称轴，故有

2

条对称轴；D、正方形是轴对称图形，过每组对边中点的直线就是其对称轴，每条对角线所在的直线也是其对称轴，故有4

条对称轴；故对称轴条数最多的图形是圆．故答案为：B.【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．9．

现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性.下列汉字是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、劳不是轴对称图形，故不符合题意；B、动不是轴对称图形，故不符合题意；C、光不是轴对称图形，故不符合题意；D、荣是轴对称图形，故符合题意.故答案为：D.【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此分析即可.10．下列英文字母为轴对称图形的是（A．W B．L【答案】A）C．SD．Q【知识点】轴对称图形【解析】【解答】解：A、W

是轴对称图形，符合题意；B、L

不是轴对称图形，不合题意；C、S

不是轴对称图形，不合题意；D、Q

不是轴对称图形，不合题意.故答案为：A.【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此一一判断得出答案.11．平面直角坐标系中，点

P(2，1)关于

x

轴对称的点的坐标是（A．(2，1) B．(2，−1) C．(−2，1)【答案】B）D．(−2，−1)【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：点

P（2，1）关于

x

轴对称的点的坐标是（2，-1）.故答案为：B.【分析】关于

x

轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此解答.12．如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机

B、C

所在直线为

x

轴、队形的对称轴为

y

轴，建立平面直角坐标系．若飞机

E的坐标为（40，a），则飞机

D的坐标为（ ）A．(40，−𝑎) B．(−40，𝑎) C．(−40，−𝑎) D．(𝑎，−40)【答案】B【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征【解析】【解答】解：∵战机在空中展示的轴对称队形．∴点

D

和点

E

关于

y

轴对称，∴点

D（-40，a）.故答案为：B.【分析】利用已知条件可知点

D

和点

E

关于

y

轴对称，利用关于

y

轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点

D

的坐标.下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（A．可回收物 B．其他垃圾 C．有害垃圾）D．厨余垃圾【答案】C【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A、此图案不是轴对称图形，不是中心对称图形，故

A

不符合题意；B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故

B

不符合题意；C、此图形是轴对称图形，又是中心对称图形，故

C

符合题意；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故

D

不符合题意；故答案为：C.【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转

180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.14．如图，∠𝐴𝑂𝐵

=30°，点

M、N

分别在边𝑂𝐴、𝑂𝐵上，且𝑂𝑀=3，𝑂𝑁=5，点

P、Q

分别在边𝑂𝐵、𝑂𝐴上，则𝑀𝑃+𝑃𝑄

+𝑄𝑁的最小值是（ ）A．

34 B．

35 C．

34−2 D．

35−2【答案】A【知识点】轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：作

M

关于

OB

的对称点

M′，作

N

关于

OA的对称点

N′，如图所示：连接

M′N′，即为

MP+PQ+QN

的最小值．根据轴对称的定义可知：𝑂𝑁′

=𝑂𝑁=

5，𝑂𝑀′

=𝑂𝑀=3，∠N′OQ=∠M′OB=30°，∴∠NON′=60°，∠𝑀𝑂𝑀′=

60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在

Rt△M′ON′中，M′N′=32+52=

34．故答案为：A．【分析】作

M

关于

OB的对称点

M′，作

N关于

OA的对称点

N′，连接

M′N′，即为

MP+PQ+QN

的最小值，再利用勾股定理求出

M′N′=

32

+52

=

34即可。15．如图，已知

BD

是矩形

ABCD

的对角线，AB=6，BC=8，点

E，F

分别在边

AD，BC上，连结

BE，DF．将△ABE

沿

BE

翻折，将△DCF

沿

DF

翻折，若翻折后，点

A，C分别落在对角线

BD

上的点

G，H

处，连结

GF．则下列结论不正确的是（ ）A．BD=10 B．HG=2【答案】DC．EG∥FHD．GF⊥BC【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵BD

是矩形

ABCD

的对角线，AB=6，BC=8，∴AD=BC=8，∴BD=𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=62+

82=10，∴A

选项不符合题意；∵△ABE

沿

BE

翻折，△DCF

沿

DF翻折，翻折后点

A，C

分别落在对角线

BD

上的点

G，H

处，∴BG=AB=6，HD=CD=6，∴HG=HD-（BD-BG）=6-（10-6）=2，∴B

选项不符合题意；∵∠EGB=∠A=90°，∠FHD=∠B=90°，∴∠EGB=∠FHD=90°，∴EG∥FH，∴C

选项符合题意；若

GF⊥BC，则∠HGF+∠HFG=90°，又∵∠GBF+∠BFH=90°，∴∠HGF=∠GBF=45°，∵无法确定

BF=GF，∴GF⊥BC

不一定成立，∴D

选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据矩形性质得

AD=BC=8，由勾股定理求得

BD=10，可判断

A

选项；由图形折叠的性质得，BG=AB=6，HD=CD=6，再由线段和差关系求出

HG=2，可判断

B选项；由∠EGB=∠FHD=90°，可判断EG∥FH，可判断

C选项；若

GF⊥BC，推出∠HGF+∠HFG=90°，再结合∠GBF+∠BFH=90°，从而得∠HGF=∠GBF=45°，因为无法确定

BF=GF，故

GF⊥BC

不一定成立，可判断

D

选项.

据此逐项分析，即可得出正确答案.二、填空题16．如图，在正方形

ABCD中，

𝐴𝐵=4

2

，对角线

𝐴𝐶，𝐵𝐷

相交于点

O.点

E

是对角线

AC上一点，连接BE，过点

E作

𝐸𝐹

⊥𝐵𝐸

，分别交

𝐶𝐷，𝐵𝐷

于点

F、G，连接

BF，交

AC

于点

H，将

△𝐸𝐹𝐻

沿

EF

翻折，点

H的对应点𝐻′

恰好落在

BD上，得到

△𝐸𝐹𝐻′

若点

F为

CD的中点，则

△𝐸𝐺𝐻′

的周长是

.【答案】5

+

5【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：过点

E

作

PQ∥AD

交

AB

于点

P，交

DC

于点

Q，∵AD∥PQ，∴AP=DQ，∠𝐵𝑃𝑄=∠𝐶𝑄𝐸

，∴BP=CQ，∵∠𝐴𝐶𝐷=45°

，∴BP=CQ=EQ，∵EF⊥BE，∴∠𝑃𝐸𝐵+∠𝐹𝐸𝑄=

90°∵∠𝑃𝐵𝐸+∠𝑃𝐸𝐵=

90°∴∠𝑃𝐵𝐸=∠𝐹𝐸𝑄，在△𝐵𝑃𝐸与

△𝐸𝑄𝐹中∠𝐵𝑃𝑄=

∠𝐹𝑄𝐸𝑃𝐵=

𝐸𝑄∠𝑃𝐵𝐸=

∠𝐹𝐸𝑄∴△𝐵𝑃𝐸≌△𝐸𝑄𝐹

，∴BE=EF，又∵𝐵𝐶

=

𝐴𝐵

=

4

2

，F

为中点，∴𝐶𝐹=22，∴𝐵𝐹=𝐵𝐶2+𝐶𝐹2=210

，∴𝐵𝐸=𝐸𝐹=210

=25

，2又∵𝐵𝑂=

4

2

=

4

，2∴𝐸𝑂=𝐵𝐸2−𝐵𝑂2=2

，∴AE=AO-EO=4-2=2，∵AB//

FC，∴

△𝐴𝐵𝐻∽△𝐶𝐹𝐻，𝐶𝐹 𝐶𝐻∴𝐴𝐵

=𝐴𝐻

，∴2

2𝐶𝐻 142

=𝐴𝐻

=2

，∵𝐴𝐶=2𝐴𝐵=8

，∴𝐴𝐻=2

×8=16

，3 3𝐶𝐻=1

×8=8

，3 3∴EH=AH-AE=

16

=3

−2 310

，∵∠𝐵𝐸𝑂+∠𝐹𝐸𝑂=90°

，∠𝐵𝐸𝑂+∠𝐸𝐵𝑂=90°

，∴∠𝐹𝐸𝑂=∠𝐸𝐵𝑂，又∵∠𝐸𝑂𝐵

=

∠𝐸𝑂𝐺

=

90°

，∴

△𝐸𝑂𝐵∽△𝐺𝑂𝐸∴𝐸𝐺

=𝑂𝐺

=𝑂𝐸

，𝐵𝐸

𝑂𝐸

𝑂𝐵𝐸𝐺2

5

2

4

2=𝑂𝐺

=2

=1

，∴EG= 5

，OG=1，过点

F

作

FM⊥AC

于点

M，𝐹𝐶∴FM=MC== 2=2

，8∴MH=CH-MC= −2

=3作

FN⊥OD

于点

N，23，𝐷𝐹𝐹𝑁

= =2，

，2在Rt△𝐹𝐻′𝑁与Rt△𝐹𝑀𝐻

中𝐹𝐻′=

𝐹𝐻𝐹𝑁=

𝐹𝑀∴Rt△𝐹𝐻′𝑁≌Rt△

𝐹𝐻𝑀∴𝐻′𝑁=𝑀𝐻=2

，3∴ON=2，NG=1，∴𝐺𝐻′=2

+1=5

，3 310

5∴𝐶△𝐸𝐺𝐻′=𝐸𝐻′+𝐸𝐺+𝐺𝐻′=𝐸𝐻+𝐸𝐺+𝐺𝐻=3+5+3=5

+5故答案为：5

+

5.【分析】过点

E作

PQ∥AD

交

AB

于点

P，交

DC于点

Q，易得

AP=DQ，∠BPQ=∠CQE，则

BP=CQ，根据正方形的性质可得∠ACD=45°，则

BP=CQ=EQ，由同角的余角相等可得∠PBE=∠FEQ，证明△BPE≌△EQF，得到BE=EF，根据中点的概念可得

CF，利用勾股定理可得

BF，然后求出

BE、EF、EO、AE，证明△ABH∽△CFH，根据相似三角形的性质可得

AH、CH，然后求出

EH，由同角的余角相等可得∠FEO=∠EBO，证明△EOB∽△GOE，根据相似三角形的性质可得

EG、OG，过点

F

作

FM⊥AC

于点

M，作

FN⊥OD于点

N，易得

FM、MH′、FN的值，证明△FH′N

≌△FHM，得到

H′N=MH，进而求出

GH′，据此不难求出△EGH′的周长.17．如图，折叠边长为

4cm

的正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，折痕是𝐷𝑀，点𝐶落在点𝐸处，分别延长𝑀𝐸、𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐹、𝐺，若点𝑀是𝐵𝐶边的中点，则𝐹𝐺

=

cm.【答案】53【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：连接𝐷𝐹，如图，∵四边形

ABCD

是正方形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=4，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐶𝐷𝐴=

90°.∵点

M

为

BC

的中点，1

12 2∴𝐵𝑀=𝐶𝑀=

𝐵𝐶= ×4=

2由折叠得，𝑀𝐸=𝐶𝑀

=2，𝐷𝐸=𝐷𝐶=4，∠𝐷𝐸𝑀=∠𝐶=90°，°∴∠𝐷𝐸𝐹=90，∠𝐹𝐸𝐺=

90°，设𝐹𝐸

=

𝑥，则有𝐷𝐹2

=

𝐷𝐸2

+𝐸𝐹2∴𝐷𝐹2=42+

𝑥2又在𝑅𝑡𝛥𝐹𝑀𝐵中，𝐹𝑀

=

2

+

𝑥，𝐵𝑀

=

2，∵𝐹𝑀2=𝐹𝐵2

+𝐵𝑀2∴𝐹𝐵=𝐹𝑀2−𝐵𝑀2=(2+

𝑥)2−22∴𝐴𝐹=𝐴𝐵−𝐹𝐵=4−(2+

𝑥)2−22在𝑅𝑡𝛥𝐷𝐴𝐹中，𝐷𝐴2

+𝐴𝐹2

=

𝐷𝐹2，∴42+(4−(2+𝑥)2−22)=42+

𝑥2，解得，𝑥=

43𝑥1 ，

2=

−8（舍去）∴𝐹𝐸=

43，∴𝐹𝑀=𝐹𝐸+𝑀𝐸=4

+2=

103 3∴𝐹𝐵=(2+)

−24

2 2=

83 3∵∠𝐷𝐸𝑀=

90°∴∠𝐹𝐸𝐺=

90°∴∠𝐹𝐸𝐺=

∠𝐵，又∠𝐺𝐹𝐸

=

∠𝑀𝐹𝐵.∴△𝐹𝐸𝐺∼

𝛥𝐹𝐵𝑀∴ =𝐹𝐺

𝐹𝐸𝐹𝑀 𝐹𝐵𝐹𝐺34，即

10

=

383∴𝐹𝐺

=53，故答案为：53【分析】连接

DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出

BM，CM

的长；利用折叠的性质可得到

ME，DE

的长，同时可证得∠DEM=90°，设

FE=x，利用勾股定理建立关于x

的方程，可表示出

DF2，从而可表示出

FB的长，再表示出

AF的长；在

Rt△DAF

中，利用勾股定理可得到关于

x

的方程，解方程求出符合题意的

x

的值，可得到

FE，FM，FB

的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出

FG

的长.𝐴𝐵

218．如图，在矩形

ABCD

中 = .动点

M

从点

A

出发，沿边

AD

向点

D

匀速运动，动点

N

从点

B

出发，𝐵𝐶 3沿边

BC

向点

C

匀速运动，连接

MN.动点

M，N

同时出发，点

M

运动的速度为

𝑣1

，点

N

运动的速度为𝑣2

，且

𝑣1

<

𝑣2

.当点

N到达点

C

时，M，N

两点同时停止运动.在运动过程中，将四边形

MABN沿

MN

翻𝑣1折，得到四边形

𝑀𝐴′𝐵′𝑁

.若在某一时刻，点

B

的对应点

𝐵′

恰好在

CD

的中点重合，则

𝑣2的值为

.【答案】35【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）【解析】【解答】解：如图所示：在矩形

ABCD中

𝐴𝐵

=2

，设

𝐴𝐵=2𝑎，𝐵𝐶

=3𝑎

，运动时间为

𝑡

，𝐵𝐶 3∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=2𝑎，𝐴𝐷=𝐵𝐶=3𝑎，𝐵𝑁=𝑣2𝑡，𝐴𝑀=𝑣1𝑡，在运动过程中，将四边形

MABN沿

MN翻折，得到四边形

𝑀𝐴′𝐵′𝑁

，∴𝐵′𝑁=𝐵𝑁=𝑣2𝑡，𝐴′𝑀=𝐴𝑀=𝑣1𝑡

，若在某一时刻，点

B

的对应点

B'恰好在

CD

的中点重合，∴𝐷𝐵′=𝐵′𝐶=𝑎

，53在𝑅𝑡𝛥𝐵′𝐶𝑁

中，∠𝐶=90°，𝐵′𝐶=𝑎，𝐵′𝑁=𝑣2𝑡，𝐶𝑁

=3𝑎−𝑣2𝑡

，则𝑣2𝑡=

𝑎=𝐵𝑁

，∵∠𝐴′𝐵′𝑁=∠𝐵=90°

，∴∠𝐴′𝐵′𝐷+∠𝐶𝐵′𝑁=90°

，∵∠𝐶𝑁𝐵′+∠𝐶𝐵′𝑁=90°

，∴∠𝐴′𝐵′𝐷=∠𝐶𝑁𝐵′

，∴𝛥𝐸𝐷𝐵′∼𝛥𝐵′𝐶𝑁

，𝐷𝐸∴ = =𝐵′𝐶

𝐵′𝐶𝐷𝐵′ 𝐶𝑁 𝐵𝐶−𝐵𝑁=5

𝑎

3𝑎−

3

𝑎=34，∵𝐷𝐵′=𝐵′𝐶=𝑎

，43

34′ ′∴𝐷𝐸=𝐷𝐵=𝑎，则𝐵𝐸

=2 2=234(𝐷𝐵′)

+𝐷𝐸 𝑎+( 𝑎)254=𝑎

，5

334∴𝐴′𝐸=𝐴′𝐵′−𝐵′𝐸=2𝑎−𝑎=𝑎，即𝐷𝐸=𝑎=𝐴′𝐸

，4 4在

𝛥𝐴′𝐸𝑀

和

𝛥𝐷𝐸𝐵′

中，∠𝐴′=∠𝐷=

90°𝐴′𝐸=

𝐷𝐸∠𝐴′𝐸𝑀=

∠𝐷𝐸𝐵′∴𝛥𝐴′𝐸𝑀≅𝛥𝐷𝐸𝐵′(𝐴𝑆𝐴)

，∴

𝐴′𝑀

=

𝐵′𝐷=

𝑎

，即

𝐴𝑀=

𝑣1𝑡=

𝑎

，∴ =𝑣1 𝑣1𝑡=3= =𝐴𝑀

𝑎

3𝑣2 𝑣2𝑡 𝐵𝑁 5

𝑎 5故答案为：35.【分析】设

AD与

A′B′交于点

E，设

AB=2a，则

BC=3a，根据矩形的性质可得

CD=AB=2a，AD=BC=3a，BN=v2t，AM=v1t，根据折叠的性质可得

B′N=BN=v2t，A′M=AM=v1t，由题意可得

DB′=B′C=a，根据线段的和5差关系可得

v2t=

a=BN，根据同角的余角相等可得∠A′B′D=∠CNB′，证明△EDB′∽△B′CN，利用勾股定理可得3B′E，然后表示出

A′E、DE，证明△A′EM≌△DEB′，得到

A′M=B′D=a，据此求解.19．如图，一束光沿

CD

方向，先后经过平面镜

OB、OA反射后，沿

EF

方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF=

【答案】40°【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质【解析】【解答】解：由反射定律得：∠FDO=∠CDB=20°，∴∠DFO=180°-∠FDO-∠DOE=180°-20°-120°=40°，∴∠AEF=∠DFO=40°.故答案为：40°.【分析】根据入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO，∠DEO=∠AEF，根据三角形内角和定理求出∠OED

的度数，从而求出结果.20．如图，将⊙O

沿弦

AB

折叠，𝐴𝐵恰经过圆心

O，若

AB＝2

3，则阴影部分的面积为

.【答案】2𝜋3【知识点】三角形的面积；垂径定理；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：过点

O

作

OD⊥AB于点

D，交劣弧

AB于点

E，如图所示：2由题意可得：𝑂𝐷

=

𝐷𝐸

=

𝑂𝐸

=21

1

123𝑂𝐵，𝐴𝐷=𝐵𝐷=

𝐴𝐵= ，∴∠𝑂𝐵𝐷=

30°，cos30°∴∠𝐷𝑂𝐵=60°，𝑂𝐷=𝐵𝐷⋅tan30°=1，𝑂𝐵=

𝐵𝐷

=

2，4360

2

3∴弓形

AB

的面积为2

×𝑆扇形𝑂𝐵𝐸−2𝑆△𝑂𝐷𝐵

=2

×60

×

2

×𝜋−2×1

×

3×1

=

𝜋−23，4

1

2∴阴影部分的面积为1𝑆弓形𝐴𝐵

+

𝑆△𝑂𝐵𝐷

=

1

×

(

𝜋−

3)+ ×3×1=

𝜋；2 2 3 2 33故答案为：

𝜋2

.【分析】过点

O作

OD⊥AB于点

D，交劣弧

AB

于点

E，由题意可得

OD=DE=1OE=1OB，AD=BD=12 2 22弓形

AB△OBD

2AB=3，则∠OBD=30°，∠DOB=60°，利用三角函数的概念可得

OD、OB，然后根据1S +S =1×2S扇形OBE-2S +S△ODB △OBD进行计算.三、解答题21．根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图

1

中有一座拱桥，图

2

是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽

20m

，拱顶离水面

5m

．据调查，该河段水位在此基础上再涨

1.8m

达到最高．素材2为迎佳节，拟在图

1

桥洞前面的桥拱上悬挂

40cm长的灯笼，如图

3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于

1m

；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为

1.6m

；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图

2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】解：【任务

1】以拱顶为原点，建立如图

1

所示的直角坐标系，则顶点为

(0，0)

，且经过点

(10，−5)

．设该抛物线函数表达式为

𝑦

=

𝑎𝑥3(𝑎

≠

0)

，20则−5=100𝑎，∴𝑎=−

1

，

1

20∴该抛物线的函数表达式是𝑦=− 𝑥2

．【任务

2】∵水位再上涨

1.8𝑚

达到最高，灯笼底部距离水面至少

1𝑚

，灯笼长

0.4𝑚

，∴悬挂点的纵坐标

𝑦

≥

−5+

1.8

+

1

+

0.4

=−1.8

，∴悬挂点的纵坐标的最小值是

−1.8

．当𝑦=−1.8

时，

−1.8=−

1

，解得

𝑥1

=

6

或

𝑥2

=−6

，𝑥220∴悬挂点的横坐标的取值范围是

−6

≤

𝑥

≤

6

．【任务

3】有两种设计方案．方案一：如图

2（坐标系的横轴，图

3

同），从顶点处开始悬挂灯笼．∵−6

≤

𝑥

≤

6

，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为

1.6𝑚

，∴若顶点一侧挂

4

盏灯笼，则

1.6

×

4

>

6

，若顶点一侧挂

3

盏灯笼，则

1.6

×

3

<

6

，∴顶点一侧最多可挂

3

盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂

7

盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-4.8．方案二：如图

3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为

0.8𝑚

，∵若顶点一侧挂

5

盏灯笼，则

0.8

+

1.6

×

(5−1)

>

6

，若顶点一侧挂

4

盏灯笼，则

0.8

+

1.6

×

(4−1)

<

6

，∴顶点一侧最多可挂

4

盏灯笼．∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂

8

盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是-5.6．注：以下为几种常见建系方法所得出的任务答案．方法任务

1任务

2任务

3建立坐标系函数表达式最小值取值范围灯笼数量横坐标一𝑦=−

1

𝑥2203.24≤𝑥≤

1675.284.4二

1

𝑦=− 𝑥2203.2−6≤𝑥≤

67-4.88-5.6三

1

𝑦=− 𝑥2203.2−16≤𝑥≤

−7-14.88-15.6【知识点】二次函数的最值；坐标与图形变化﹣对称；二次函数的实际应用-拱桥问题【解析】【分析】【任务

1】以拱顶为原点，建立如图

1

所示的直角坐标系，可得到抛物线的顶点坐标及抛物线经过点（10，-5），利用待定系数法求出抛物线的解析式.【任务

3】方案一：如图

2（坐标系的横轴，图

3

同），从顶点处开始悬挂灯笼．利用

x

的取值范围可知相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为

1.6m，可得到顶点一侧最多可挂

3

盏灯笼；再利用挂满灯笼后成轴对称分布，可得到一共可挂

7

盏灯笼，由此可得到最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标；方案二：如图

3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为

0.8m，

可得到顶点一侧最多可挂

4

盏灯笼，利用对称性可知共可挂

8盏灯笼，由此可得到最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.四、综合题22．如图

1，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=

8，点

P

在边𝐵𝐶上，且不与点

B、C重合，直线𝐴𝑃与𝐷𝐶的延长线交于点

E.（1）当点

P

是𝐵𝐶的中点时，求证：

△

𝐴𝐵𝑃≌

△

𝐸𝐶𝑃；（2）将△

𝐴𝑃𝐵沿直线𝐴𝑃折叠得到

△

𝐴𝑃𝐵′，点𝐵′落在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的内部，延长𝑃𝐵′交直线𝐴𝐷于点

F.①证明𝐹𝐴

=

𝐹𝑃，并求出在（1）条件下𝐴𝐹的值；②连接𝐵′𝐶，求△

𝑃𝐶𝐵′周长的最小值；③如图

2，𝐵𝐵′交𝐴𝐸于点

H，点

G

是𝐴𝐸的中点，当∠𝐸𝐴𝐵′

=

2∠𝐴𝐸𝐵′时，请判断𝐴𝐵与𝐻𝐺的数量关系，并说明理由.【答案】（1）证明：如图

9-1，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵

∥

𝐷𝐶，即𝐴𝐵∥𝐷𝐸，∴∠1=∠𝐸，∠𝐵=

∠2.∵点

P是𝐵𝐶的中点，∴𝐵𝑃=𝐶𝑃.∴

△𝐴𝐵𝑃≌△𝐸𝐶𝑃(𝐴𝐴𝑆)（2）解：①证明：如图

9-2，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷

∥

𝐵𝐶，∴∠3=∠𝐹𝐴𝑃.由折叠可知∠3=∠4，∴∠𝐹𝐴𝑃=∠4.∴𝐹𝐴=

𝐹𝑃.在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶=𝐴𝐷=

8，∵点

P

是𝐵𝐶的中点，∴𝐵𝑃=1

=1

×8=

4.𝐵𝐶2 2由折叠可知𝐴𝐵′

=𝐴𝐵=6，𝑃𝐵′

=𝑃𝐵=4，∠𝐵=∠𝐴𝐵′𝑃=∠𝐴𝐵′𝐹=90°.【任务

2】根据水位再上涨

1.8m

达到最高，灯笼底部距离水面至少

1m，灯笼长

0.4m

，可得到悬挂点的纵坐设𝐹𝐴

=

𝑥，则𝐹𝑃

=

𝑥.标的最小值，将其最小值代入函数解析式，可得到对应的

x的值，即可得到悬挂点的横坐标的取值范围.∴𝐹𝐵′=

𝑥−4.在𝑅𝑡

△

𝐴𝐵′𝐹中，由勾股定理得𝐴𝐹2

=

𝐵′𝐴2

+

𝐵′𝐹2，∴𝑥2=62+

(𝑥−4)2，2∴𝑥=

13，即𝐴𝐹

=

13.2②解：如图

9-3，由折叠可知𝐴𝐵′

=𝐴𝐵=

6，𝐵′𝑃

=

𝐵𝑃.∴𝐶△𝑃𝐶𝐵′=𝐶𝑃+𝑃𝐵′+𝐶𝐵′=𝐶𝐵+𝐶𝐵′=8+

𝐶𝐵′.由两点之间线段最短可知，当点𝐵′恰好位于对角线𝐴𝐶上时，𝐶𝐵′

+𝐴𝐵′最小.连接𝐴𝐶，在𝑅𝑡

△

𝐴𝐷𝐶中，∠𝐷

=

90°，∴𝐴𝐶=𝐴𝐷2+𝐷𝐶2=82+62=

10，∴𝐶𝐵′最小值

=

𝐴𝐶−𝐴𝐵′

=10−6=

4，∴𝐶△𝑃𝐶𝐵′最小值

=

8+

𝐶𝐵′

=8

+

4=12.③解：𝐴𝐵与𝐻𝐺的数量关系是𝐴𝐵

=

2𝐻𝐺.理由是：如图

9-4，由折叠可知∠1=

∠6，𝐴𝐵′

=

𝐴𝐵，𝐵𝐵′

⊥𝐴𝐸.过点𝐵′作𝐵′𝑀

∥

𝐷𝐸，交𝐴𝐸于点

M，∵𝐴𝐵∥

𝐷𝐸，∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸∥

𝐵′𝑀，∴∠1=∠6=∠5=

∠𝐴𝐸𝐷.∴𝐴𝐵′=𝐵′𝑀=

𝐴𝐵，∴点

H

是𝐴𝑀中点.∵∠𝐸𝐴𝐵′

=

2∠𝐴𝐸𝐵′，即∠6

=

2∠8，∴∠5=

2∠8.∵∠5=∠7+

∠8，∴∠7=

∠8.∴𝐵′𝑀=

𝐸𝑀.∴𝐵′𝑀=𝐸𝑀=𝐴𝐵′=

𝐴𝐵.∵点

G

为𝐴𝐸中点，点

H

是𝐴𝑀中点，∴𝐴𝐺

=1

12 2𝐴𝐸，𝐴𝐻=

𝐴𝑀.1212∴𝐻𝐺=𝐴𝐺−𝐴𝐻=(𝐴𝐸−𝐴𝑀)=𝐸𝑀.12∴𝐻𝐺=

𝐴𝐵.∴𝐴𝐵=

2𝐻𝐺.【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得

AB∥DC，由平行线的性质可得∠1=∠E，∠B=∠2，根据中点的概念可得

BP=CP，然后根据全等三角形的判定定理

AAS

进行证明；（2）①根据矩形以及平行线的性质可得∠3=∠FAP，由折叠可知∠3=∠4，则可推出

FA=FP，根据矩形以及中点的概念可得

BC=AD=8，BP=1BC=4，由折叠得

AB′=AB=6，PB′=PB=4，∠B=∠AB′P=∠AB′F=90°，设2FA=x，则

FP=x，FB′=x-4，利用勾股定理可得

x；②由折叠可知

AB′=AB=6，PB′=PB，则

C△PCB′=8+CB′，由两点之间线段最短可知：当点

B′恰好位于对角线AC

上时，CB′+AB′最小，利用勾股定理可得

AC，根据

CB′最小值=AC-AB′可得

CB′的最小值，据此解答；③由折叠可知∠1=∠6，AB′=AB，BB′⊥AE，过点

B′作

B′M∥DE，交

AE

于点

M，根据平行线的性质可得∠1=∠6=∠5=∠AED，则

AB′=B′M=AB，结合已知条件可得∠5=2∠8，由外角的性质可得∠5=∠7+∠8，则∠7=∠8，2推出

B′M=EM，结合中点的概念可得

HG=AG-AH=1EM，据此解答.5223．在平面直角坐标系中，已知一次函数𝑦1

=

𝑘1𝑥

+

𝑏与坐标轴分别交于𝐴(5，0)，𝐵(0，

)两点，且与反比例函数𝑦2

=

𝑘2的图象在第一象限内交于

P，K

两点，连接𝑂𝑃，

△

𝑂𝐴𝑃的面积为5．𝑥 4（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当𝑦2

>𝑦1时，求

x的取值范围；（3）若

C

为线段𝑂𝐴上的一个动点，当𝑃𝐶

+

𝐾𝐶最小时，求

△

𝑃𝐾𝐶的面积．25【答案】（1）解：∵一次函数𝑦1

=

𝑘1𝑥

+

𝑏与坐标轴分别交于𝐴(5，0)，𝐵(0，

)两点，52∴把𝐴(5，0)，𝐵(0，

)代入𝑦1

=

𝑘1𝑥

+

𝑏得，2𝑏=5

，，解得，5𝑘1+𝑏

=0 𝑘1=−

1𝑏=

22，5𝑦∴一次函数解析式为

1

=

−

𝑥

+1

52 2，过点

P

作𝑃𝐻

⊥

𝑥轴于点

H，∵𝐴(5，0)，∴𝑂𝐴=

5，又𝑆𝛥𝑃𝐴𝑂=

54，∴1

×5×𝑃𝐻=

5

2

4∴𝑃𝐻=

12，1

5

1∴−

𝑥+ =

，2 2 2∴𝑥=

4，12∴𝑃(4，

)2)∵𝑃(4，1

在双曲线上，1∴𝑘2=4×2=

2，𝑦22𝑥∴ =

.（2）解：联立方程组得，1

5𝑦=−2

𝑥+22𝑦=

𝑥𝑥1=

1解得，

𝑦1𝑥2=

4=2，

𝑦2=

12∴𝑘(1，2)，根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有0

<

𝑥

<

1或𝑥

>

4，∴当𝑦2

>𝑦1时，求

x的取值范围为0

<𝑥<1或𝑥>

4，（3）解：作点

K

关于

x

轴的对称点𝐾′，连接𝐾𝐾′交

x

轴于点

M，则𝐾′（1，-2），OM=1，连接𝑃𝐾′交

x轴于点

C，连接

KC，则

PC+KC

的值最小，设直线𝑃𝐾′的解析式为𝑦

=

𝑚𝑥

+

𝑛，12′把𝑃(4，

)，𝐾

(1，−2)代入得，4𝑚+𝑛

=𝑚+𝑛=

−212解得，𝑚=

56𝑛=−

176′∴直线𝑃𝐾

的解析式为𝑦

=65

17𝑥−6

，65

17

17当𝑦

=

0时，

𝑥−

6

=

0，解得，𝑥

=

5

，17∴𝐶(5

，0)∴𝑂𝐶=

175∴𝑀𝐶=𝑂𝐶−𝑂𝑀

=17

=

125

−1 5

，𝐴𝐶=𝑂𝐴−𝑂𝐶

=5− =17

85 5𝐴𝑀=𝑂𝐴−𝑂𝑀=5−1=

4，∴𝑆𝛥𝑃𝐾𝐶=

𝑆𝛥𝐴𝐾𝑀−𝑆𝛥𝐾𝑀𝐶−𝑆𝛥𝑃𝐴𝐶11 12= ×4×2− × ×2− × ×1 8 12 2 5 2 5 2=4− −12 25 56=5【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题𝑘1 1【解析】【分析】（1）将点

A、B的坐标代入𝑦= 𝑥

+

𝑏求出1𝑘=

−125𝑏=

2可得一次函数解析式，再求出点𝑃(4，1

𝑘22 𝑥)，然后将点

P的坐标代入𝑦2

= 求出𝑘2

=

4

×12=

2，即可得到答案；（2）先求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，再结合函数值大的图象在上方的原则求解即可；65

17（3）连接𝑃𝐾′交

x

轴于点

C，连接

KC，则

PC+KC的值最小，先求出直线𝑃𝐾′的解析式为𝑦

=

𝑥−

6

，再求出5点

C

的坐标可得𝑂𝐶=

17，最后利用割补法可得𝑆𝛥𝑃𝐾𝐶

=

𝑆𝛥𝐴𝐾𝑀−𝑆𝛥𝐾𝑀𝐶−𝑆𝛥𝑃𝐴𝐶，再计算即可。24．问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图

1，已知𝐴𝐷是

△

𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶

𝐶𝐷的角平分线，可证𝐴𝐵

=

𝐵𝐷.小慧的证明思路是：如图

2，过点𝐶作𝐶𝐸//𝐴𝐵，交𝐴𝐷的延长线于点𝐸，构造相似三𝐴𝐵

𝐵𝐷角形来证明 = .𝐴𝐶 𝐶𝐷尝试证明：𝐴𝐵

𝐵𝐷请参照小慧提供的思路，利用图

2证明： = ；𝐴𝐶 𝐶𝐷应用拓展：如图

3，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵